關(guān)于一維量子散射中一些問題的簡單說明

應(yīng)文祥，彭凱玥，曹 龍

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 化學(xué)物理系，安徽 合肥 230026)

一維方勢壘穿透是本科量子力學(xué)課程的一個(gè)重要內(nèi)容.大多數(shù)教材采用求解定態(tài)薛定諤方程的方法[1-4].它本質(zhì)是個(gè)一維定態(tài)散射問題(如無特殊說明，本文均指定態(tài)彈性散射)，我們也可以求解一維Lippmann-Schwinger方程——這是一種更普適的方法，理論上可以程序化解決任意形狀勢壘的一維散射問題.早在2001年，陸曉[5]就補(bǔ)充了這種思路，并通過迭代求出了反射、透射概率幅，但是其過程的數(shù)學(xué)存在瑕疵.王琴惠[6]在2004年給出的求解過程數(shù)學(xué)上沒有問題，但透射、反射系數(shù)項(xiàng)中仍含有ψ(x)，須通過代入試探解來求解實(shí)際問題.

鑒于前人對(duì)一維散射問題處理方法的一些理解誤區(qū)，本文給出了較為清晰的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和說明.簡單討論了迭代法求解一維Lippmann-Schwinger方程的手續(xù)，指出前人的錯(cuò)誤.

1 一維散射問題常見處理手法的簡單討論

一維散射問題的定態(tài)薛定諤方程為

(1)

最常規(guī)的思路就是直接求解一維定態(tài)薛定諤方程.參考文獻(xiàn)[1]中列舉了很多種一維可解勢——對(duì)于這類勢函數(shù)，可以解析求解.但局限性是，這不是一種通用的方法.對(duì)復(fù)雜的勢函數(shù)V(x) 很難解析求解薛定諤方程.例如一維有限深方勢阱[2]，薛定諤方程為超越方程，無法寫出解的顯示表達(dá)式.

第二種思路仍然是處理微分方程，但略有差異.對(duì)薛定諤方程做變量代換：

(2)

則薛定諤方程形式簡化為

(3)

可以發(fā)現(xiàn)這是個(gè)二階變系數(shù)齊次線性方程，并且屬于下面這種類型：

y″+r(x)y=0

(4)

因此只要能夠一般化處理 (4) 這種類型的二階變系數(shù)齊次線性方程，寫出通解并代入邊界條件，則問題可以完全解決.基于這種思路的相關(guān)研究也有不少[7-10]，但是依舊存在困難和局限性，有時(shí)需數(shù)值求解[8].能夠?qū)懗鐾ń獾膬H是一些特殊情形[9,10].

第三種思路見參考文獻(xiàn)[4].作者Franz Schwabl把任意形狀勢壘分成無窮多個(gè)窄的一維方勢，并且認(rèn)為總透射系數(shù)是這些小方勢的透射系數(shù)之積.這是一種粗糙的數(shù)學(xué)處理，難以保證計(jì)算的可靠性.這里指出兩點(diǎn)問題.其一，F(xiàn)ranz使用如下近似公式 (5) 處理每小段的一維方勢：

(5)

但是該近似是對(duì)于高且寬的勢壘才成立的[2].其二，按照這種模型，可能存在粒子在勢壘內(nèi)部經(jīng)過多次反射、透射后最終通過勢壘的情況.

還有不少其他處理思路，例如相移分析[11,12]等，還有人開發(fā)了處理一維耗散問題(非彈性散射)的方法[13]，在此不一一列舉和討論了.

通過Lippmann-Schwinger方程來處理一維散射問題是一種很好的思路[5,6,14,15].方程可以基于式 (3) 通過格林函數(shù)方法導(dǎo)出[6,15,16]，這里不再花費(fèi)篇幅介紹.一維的Lippmann-Schwinger方程形式如下

(6)

其中G(x,x′)為一維非齊次亥姆霍茲方程邊值問題的格林函數(shù)解：

(7)

把代換的變量代回，式(6) 也可以寫成如下形式：

(8)

此方程為積分方程，無法直接求解，一般要借助于迭代算法.記

(9)

并把積分寫成分段式以去掉絕對(duì)值

(10)

ψ(x) 為全空間上的解.考察ψ(x) 的漸進(jìn)行為,當(dāng)x→ +∞ 時(shí)， 有

(11)

2 對(duì)參考文獻(xiàn) [5]誤區(qū)的說明、拓展討論

2.1 迭代法和代入試探解法

參考文獻(xiàn) [5] 給出波函數(shù)的漸進(jìn)行為是正確的，對(duì)應(yīng)一維散射問題的邊界條件.但是，作者錯(cuò)在使用漸進(jìn)解迭代，混用了迭代法和代入試探解法.作者首先使用迭代法，并認(rèn)為經(jīng)過多次迭代后的真實(shí)解就是

ψ(x)=sAeikx

(12)

(見參考文獻(xiàn) [5] 式 (19) ，其中s為透射概率幅)，這是錯(cuò)誤的.這種做法就相當(dāng)于代入試探解，但是這個(gè)解的形式又太簡單，不能包括x軸上波函數(shù)的全部信息——式 (12) 形式的波函數(shù)僅僅能夠描述無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)的行為，而Lippmann-Schwinger方程中的ψ(x)為全空間的波函數(shù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤.例如可以檢驗(yàn)，參考文獻(xiàn) [5] 給出的理論無法對(duì)一維方勢散射給出正確結(jié)果.

一般來說，迭代法和代入試探解法都可以解方程，但是參考文獻(xiàn) [5] 的作者此處混淆了這兩種方法.如果迭代，就不能隨意舍去波函數(shù)的重要信息，要考慮全空間范圍，從低階到高階一步步進(jìn)行，最終會(huì)收斂于真實(shí)解；如果代入試探解，那么為得到正確結(jié)果，這個(gè)試探解必須包括該束縛定態(tài)下所有可能的物理態(tài)——即：全空間范圍內(nèi)的解，包括勢壘內(nèi)部、外部，進(jìn)而確定試探解的前系數(shù).如前文所述，如果僅僅代入無窮遠(yuǎn)處的漸進(jìn)解，就會(huì)缺失大量信息，特別是如圖1所示勢壘內(nèi)部的波函數(shù)的真實(shí)態(tài)——這是問題的難點(diǎn).

圖1 散射問題圖示說明[17]

迭代法求解Lippmann-Schwinger方程時(shí)，迭代次數(shù)對(duì)應(yīng)玻恩近似的階數(shù)[18].并且，一維散射問題引入玻恩近似將不受“低能散射”條件[18]的束縛，因?yàn)楦鶕?jù)彈性散射問題的邊界條件，無窮遠(yuǎn)處入射波和透射波的波矢相等，因此不存在高維情形時(shí)由于波矢方向變化帶來的額外的相位差.高階玻恩近似能夠較好地描述波函數(shù)的行為.后面我們給出的例子將說明這一情形，在高能段玻恩近似的結(jié)果更好.而低能段可能出現(xiàn)由于截?cái)鄬?dǎo)致的紅外發(fā)散.

2.2 S矩陣，反射、透射系數(shù)

一般在高維散射問題中，問題可化為求解時(shí)間相關(guān)的散射S矩陣.求解S一個(gè)很好的方法是微擾展開法，可以用戴森級(jí)數(shù)加以表示[19].基于此，本文一位作者曾提出由式 (11) 進(jìn)行迭代，并引入相應(yīng)正規(guī)乘積算符[19]——位置編序算符加以表示以統(tǒng)一積分上限

V(x2)…V(xn)}≡

(13)

定態(tài)問題不含時(shí)，位置算符兩兩對(duì)易，所以去掉編序算符.這種方式給出的s也是錯(cuò)誤的，錯(cuò)在用近似了的積分方程迭代，因此只能給出極限形式的s，而真實(shí)的s可能會(huì)非常復(fù)雜.事實(shí)上式 (13) 就是一維情形的s的戴森級(jí)數(shù)表示，只是把時(shí)間序列改為空間序列(無本質(zhì)差別，但時(shí)間編序不能直接去掉編序算符).

繼續(xù)考察一維散射的反射、透射系數(shù).假設(shè)粒子從一個(gè)方向入射

(14)

其中s為透射概率幅，r為反射概率幅.對(duì)于給定的定態(tài)勢函數(shù)，r、s均為復(fù)常數(shù).參考文獻(xiàn) [5] 在原文式 (13) 處給了兩者之間存在關(guān)系式s= 1 +r.這也是錯(cuò)誤的.r、s之間的關(guān)系由波函數(shù)的邊界條件確定.例如一維δ勢、一維階梯勢等，x= 0 的左側(cè)和右側(cè)分別對(duì)應(yīng)波函數(shù)的兩個(gè)漸進(jìn)解，在此處根據(jù)連續(xù)性條件令x= 0，即可直接得出s= 1 +r.但是對(duì)于復(fù)雜一些的情形例如一維方勢散射，此關(guān)系式不再成立，由更復(fù)雜的邊界條件給出r、s之間的關(guān)系.筆者猜測，作者此處是想尋找r、s與更高維量子散射中R、S矩陣之間的聯(lián)系.量子散射的S矩陣是描述無窮遠(yuǎn)處散射態(tài)的厄米算符，反應(yīng)矩陣R是人為引入的，定義兩者關(guān)系R+ 1 =S，是為了更方便地導(dǎo)出躍遷幾率[17,20].但是退化為一維情形時(shí)，R、S并不對(duì)應(yīng)著反射、透射概率幅r、s.一維的S作用在入射初始態(tài)上，仍然將給出所有的散射態(tài)——包括反射波和透射波，而不僅僅是透射概率幅s所描述的透射波.而一維情形中彈性散射的粒子數(shù)守恒關(guān)系T+R= 1是根據(jù)概率守恒得證的[21].

2.3 勢函數(shù)積分的斂散性

由于代入的是漸進(jìn)解，式(13) 只是正確的s的表達(dá)式的一部分，其中含有對(duì)勢函數(shù)V(x) 的多重積分.為使得對(duì)應(yīng)的s有意義，我們不得不考慮該積分的斂散性問題.例如對(duì)于一維冪函數(shù)勢：

(15)

當(dāng)冪指數(shù)ν在 (0 ,1 ] 內(nèi)時(shí)積分發(fā)散，迭代發(fā)散，無法給出透射概率幅.我們?cè)跇?gòu)造勢函數(shù)時(shí)，要構(gòu)造正規(guī)勢函數(shù)，例如盡量避免涉及無窮奇點(diǎn)等.總之使得s是有意義的.另外，對(duì)于這類因?yàn)橛袩o窮間斷點(diǎn)導(dǎo)致積分發(fā)散的情形，張永德給出了很好的觀點(diǎn)[22]：這種情形是人為的定義造成的，物理實(shí)際上并不存在，我們不必過于糾結(jié)由于這類非正規(guī)勢函數(shù)性質(zhì)帶來的不必要的困惑.

推廣到更一般的情形，如果使用微擾展開來求S矩陣，在把全哈密頓量分為自由粒子部分哈密頓量H0和相互作用部分V時(shí)，就涉及H0選取的問題[19].散射理論中H0并非通常微擾意義下的，選取的H0及其本征態(tài)要求包含所有可能存在的物理態(tài)，例如平面波、勢壘中的束縛態(tài)等.正如S.Weinberg在其《量子場論》第一卷中指出[19]，需要使得H0和全哈密頓量H有相同的頻譜，H中的任何相關(guān)束縛態(tài)都應(yīng)該像一個(gè)基本粒子一樣被引入H0.由此H0的譜中也可能包含一些束縛態(tài)(非平面波)成分；由此也要求了勢函數(shù)滿足相關(guān)條件,例如一定的漸進(jìn)行為等等.

3 應(yīng)用：一維δ勢散射的迭代法求解

一維δ勢散射問題，代入試探解的方法可見參考文獻(xiàn) [6]，此處對(duì)迭代法舉例說明.勢函數(shù)：

V(x)=λδ(x)

(16)

λ為參數(shù).把式 (16) 代入式 (10) ，并根據(jù)δ函數(shù)的積分性質(zhì)得

(17)

下面使用迭代法求解，迭代關(guān)系為

(18)

0 階近似為自由平面波：ψ(0)(x)=Aeikx.此時(shí)0 階透射概率幅：s(0)=1.

把自由平面波ψ(0)(x)=Aeikx代入式 (18) 右邊即得一階玻恩近似結(jié)果：

(19)

s(1)=λB+1

進(jìn)一步迭代可以給出

(20)

s(2)=λB(λB+1)+1

等等.可以注意到透射概率幅有遞推關(guān)系：

s(n)=λBs(n-1)+1

(21)

當(dāng)n取無窮大時(shí)s已經(jīng)收斂.把B代換回去，可以反解出一維δ勢散射的透射概率幅為

(22)

從而透射系數(shù)為

(23)

與文獻(xiàn)中代入試探解得到的結(jié)果[6,14]完全一致.

下圖2 給出了透射系數(shù)的前幾階玻恩近似結(jié)果，并與解析解進(jìn)行比較.

圖2 δ勢散射問題的前7階玻恩近似下透射系數(shù)隨入射能量變化情況，以及與解析解的比較.Bn表示第n階玻恩近似的結(jié)果，加粗線條為解析解.這里相關(guān)參數(shù)取自然單位制：λ= 1,m=1,?=1

對(duì)于更為復(fù)雜的勢函數(shù)例如一維冪函數(shù)勢[5]、一維高斯型勢壘[8]可借助計(jì)算機(jī)通過上述固定步驟數(shù)值求解.

4 總結(jié)

解決一維定態(tài)勢散射問題，幾種方法各有優(yōu)劣.對(duì)于勢函數(shù)簡單的情形，例如一維方勢、一維階躍勢等，我們?nèi)菀捉o出正確的試探解的形式，此時(shí)直接代入試探解求解定態(tài)薛定諤方程更方便；對(duì)于勢函數(shù)復(fù)雜而無法解析求解的情況，考慮迭代法，數(shù)值求解 Lippmann-Schwinger方程.