徐龍華，崔煒榮

(1.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 陜西 安康 725000；2.安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所， 陜西安康 725000；3.陜南生態(tài)經(jīng)濟(jì)研究中心， 陜西 安康 725000；4.安康學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，陜西安康 725000)

企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的產(chǎn)量需要考慮其他企業(yè)的情況[1-2]，在某時(shí)段中的產(chǎn)品價(jià)格決定于每個(gè)企業(yè)的產(chǎn)出水平.在相關(guān)聯(lián)的多個(gè)企業(yè)[3-4]的情形中，每個(gè)企業(yè)都非獨(dú)立，要么共同影響一個(gè)狀態(tài)變量，要么被定義為一個(gè)微分對(duì)策模型.對(duì)于一個(gè)由多家生產(chǎn)相同產(chǎn)品的企業(yè)所組成的行業(yè)中，每家企業(yè)都面臨一個(gè)重要決策，即應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品才能使利潤(rùn)最大化.如果兩家企業(yè)同時(shí)做出定產(chǎn)量的決策[5-6]].那么，每家企業(yè)為使自己的決策[7]合理，就都必須對(duì)另一家企業(yè)的產(chǎn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)估計(jì).每家企業(yè)通過預(yù)測(cè)制定產(chǎn)品產(chǎn)量使企業(yè)的利潤(rùn)[8-9]達(dá)到最大.本文通過一個(gè)預(yù)測(cè)均衡，假設(shè)每家企業(yè)對(duì)另一家企業(yè)的產(chǎn)量的預(yù)測(cè)得到證實(shí). 納什均衡給出了每家企業(yè)在另一家企業(yè)的產(chǎn)量給定的情況下使企業(yè)的利潤(rùn)達(dá)到最大化.1951 年John Nash 討論了靜態(tài)的情形，即每家企業(yè)都把另一家企業(yè)的產(chǎn)量視為固定，然后確定企業(yè)的產(chǎn)量水平. 實(shí)際情況是每一家企業(yè)的產(chǎn)量是不確定的[11].Fershtman[11-12]和Kamien[11-12]利用開環(huán)控制策略和反饋控制策略[12]進(jìn)一步分析了兩家企業(yè)定產(chǎn)量的微分對(duì)策模型.

文獻(xiàn)[13 -18]給出了微分對(duì)策模型在各各方面中的應(yīng)用.本文利用微分對(duì)策模型，分析討論了多家企業(yè)的定產(chǎn)量，給出在開環(huán)控制策略和反饋控制策略情況下企業(yè)的定產(chǎn)量問題.

1 兩家企業(yè)定產(chǎn)量模型

假定兩企業(yè)生產(chǎn)同一產(chǎn)品，制造費(fèi)用由總消費(fèi)函數(shù)決定:

其中ui(t) 表示第i個(gè)企業(yè)在t時(shí)刻的產(chǎn)量，每個(gè)企業(yè)在時(shí)刻t提供該產(chǎn)品產(chǎn)量給市場(chǎng)，同一產(chǎn)品的價(jià)格為p(t) 對(duì)t的微分方程為:

開環(huán)均衡策略為:

得到產(chǎn)品制造價(jià)格為:

假設(shè)兩企業(yè)均參與一個(gè)靜態(tài)，其中需求函數(shù)為:

反饋策略是指決策者具有反饋信息結(jié)構(gòu)的策略.在N 人動(dòng)態(tài)對(duì)策過程中，如果決策者具有反饋信息結(jié)構(gòu)，則其所采取的策略稱為反饋策略.反饋策略形式形下:為了尋求反饋策略u(píng)i(t，p(t)) ，定義每個(gè)企業(yè)的價(jià)值函數(shù):

靜態(tài)反饋均衡價(jià)格為:

2 多家企業(yè)定產(chǎn)量的模型

第1 部分討論了兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一產(chǎn)品下的定產(chǎn)量，但在現(xiàn)實(shí)情況下， 對(duì)于生產(chǎn)同一種產(chǎn)品一般有多個(gè)企業(yè). 假設(shè)有n家企業(yè)生產(chǎn)同一產(chǎn)品，制造費(fèi)用由總消費(fèi)函數(shù)決定為:

其中ui(t) 表示第i個(gè)企業(yè)在t時(shí)刻的產(chǎn)量，每個(gè)企業(yè)在時(shí)刻t提供該產(chǎn)品產(chǎn)量給市場(chǎng)，同一產(chǎn)品的價(jià)格為p(t) .在時(shí)刻t的產(chǎn)量為的微分方程為

利潤(rùn)率r為常數(shù)，式(12)中，當(dāng)s→∞時(shí)，每個(gè)企業(yè)面臨遞減線性需求函數(shù)為:

假設(shè)調(diào)整速度是迅速的，企業(yè)將卷入惡性競(jìng)爭(zhēng)中.在價(jià)格調(diào)整有所延滯時(shí)，在任何時(shí)間段，每個(gè)企業(yè)將面臨一個(gè)水平需求函數(shù).對(duì)于開環(huán)均衡，定義當(dāng)前產(chǎn)量哈密頓函數(shù):

由式(15)、(16)、(17)得:

開環(huán)納什均衡策略為u'(t)＝p'(t)＝0 ，得到產(chǎn)量制造價(jià)格

對(duì)于價(jià)格p*， 假設(shè)多家企業(yè)均參與一個(gè)靜態(tài)，其中需求函數(shù)為這時(shí)每個(gè)企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品均衡量為且均衡價(jià)格為如果每個(gè)企業(yè)生產(chǎn)均衡價(jià)格為則開環(huán)均衡價(jià)格為:

開環(huán)策略下均衡策略已經(jīng)分析，下面分析反饋策略情況.為了尋求反饋策略u(píng)i(t，p(t))，i ＝1，2，…，n，定義每個(gè)企業(yè)的價(jià)值函數(shù)為:

ui(p)＝i ＝1，2，···，n.在式(20)中，對(duì)ui(p)＞0 ，當(dāng)a ＞p0時(shí)，解系統(tǒng)微分方程將得到:

為了使式(21)中的價(jià)值函數(shù)為式(20)中的解，Ei，Ki和衡量g均為正值，將式(22)代入式(20)得:

Ei為Ki和 c 的函數(shù)，gi為E1，E2的函數(shù).令

K1＝K2＝…＝Kn，則E1＝E2＝…＝En，

g1＝g2＝…＝gn，且最優(yōu)反饋策略為:

僅有最小根時(shí)，p(t) 才收斂.令有:

式(28)給出均衡反饋策略:

得到靜態(tài)反饋均衡價(jià)格為:

是在反饋策略下，靜態(tài)局部均衡分析出發(fā)求出，使邊際效用論同生產(chǎn)費(fèi)用論相結(jié)合，說明商品價(jià)值決定于供給價(jià)格和需求價(jià)格均等之點(diǎn).

當(dāng)s→ ∞時(shí)，式(29)中價(jià)格迅速調(diào)整，令

r為在反饋策略下，多家企業(yè)均衡下的利潤(rùn)，r與企業(yè)家數(shù)n有關(guān).當(dāng)在反饋情況下，靜態(tài)反饋均衡價(jià)格收斂于一個(gè)較低的價(jià)格，因?yàn)槠髽I(yè)利用反饋策略能產(chǎn)生多于開環(huán)策略所得的產(chǎn)量.

3 結(jié)束語

通過分析多家企業(yè)定產(chǎn)量微分對(duì)策模型，開環(huán)策略的情況下，均衡價(jià)格收斂于靜態(tài)壟斷市場(chǎng)價(jià)格，在反饋策略情況下，它收斂于一個(gè)較低的價(jià)格.因?yàn)槠髽I(yè)利用反饋策略能產(chǎn)生多于開環(huán)策略所得的產(chǎn)量.當(dāng)s→∞時(shí)，β所以當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格增加時(shí)，使每個(gè)企業(yè)增加其產(chǎn)量，這意味著當(dāng)企業(yè)增加產(chǎn)量時(shí)，自然會(huì)導(dǎo)致價(jià)格下降，進(jìn)而導(dǎo)致企業(yè)減少產(chǎn)品的產(chǎn)量，這趨向于部分抵消產(chǎn)品價(jià)格的下降.所以，第一個(gè)企業(yè)有足夠的動(dòng)機(jī)擴(kuò)展它的產(chǎn)量，當(dāng)部分的價(jià)格下降并被其他企業(yè)的行為所抵消.由于多家企業(yè)均知對(duì)方的行為，所以每個(gè)企業(yè)均各自擴(kuò)展企業(yè)的產(chǎn)量，使其高于產(chǎn)品產(chǎn)量的平均水平.