基于線性規(guī)劃建模的投資組合問題研究

周聞野 黃瀚元 徐邵陽(yáng)

1.人大附中朝陽(yáng)分校； 2.北京海淀外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校； 3.橘郡美高

一、引言

投資理財(cái)是現(xiàn)代人增加收入的重要方式。在購(gòu)買理財(cái)產(chǎn)品或者投資的過程中，需要投資人進(jìn)行抉擇。在本金一致的前提下，不同的組合會(huì)帶來(lái)不同的收益。我們希望通過線性規(guī)劃的方式，以建模的思想嘗試預(yù)測(cè)投資組合中最優(yōu)的投資組合選擇，以達(dá)到收益最大化的目的。

投資組合問題的優(yōu)化建模已在文獻(xiàn)[1,2,3,4]中做過研究,可以看出純粹的線性規(guī)劃在簡(jiǎn)單的金融投資問題時(shí)適合使用，而在建模多目標(biāo)，投資項(xiàng)目間不獨(dú)立，或市場(chǎng)波動(dòng)大的較復(fù)雜情況中需要進(jìn)行特定變化。本文將研究線性規(guī)劃在單一目標(biāo)，平穩(wěn)的市場(chǎng)中的應(yīng)用。

據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，我國(guó)國(guó)民中已有許多家庭購(gòu)買儲(chǔ)蓄理財(cái)及債權(quán)等投資產(chǎn)品，全國(guó)比例中少部分人選擇股票，極少數(shù)人選擇投資古玩、黃金等?？梢钥闯?，投資在國(guó)民中，尤其是較富有的國(guó)民中占有很重要的地位。我們認(rèn)為，作為國(guó)民經(jīng)濟(jì)生活的重要組成部分，投資組合以求利益最大化的主題是被長(zhǎng)期關(guān)注與探討的。以符合現(xiàn)實(shí)的條件進(jìn)行統(tǒng)籌規(guī)劃，并且獲得具有正確性的指導(dǎo)性投資建議是許多國(guó)民十分需要的。因此，研究投資組合的利益最大化具有重要的現(xiàn)實(shí)意義及應(yīng)用價(jià)值。

二、問題描述

我們引用了9個(gè)國(guó)際上較為熱門的理財(cái)和投資項(xiàng)目，設(shè)定每個(gè)項(xiàng)目的投資金額百分比作為決策變量。出于現(xiàn)實(shí)中投資者對(duì)于平衡性的要求，我們考慮了項(xiàng)目方差、投資品類等因素，并對(duì)這些因素做出了限制。為了使模型具有可操作性，我們以一些假設(shè)限制了市場(chǎng)上可能出現(xiàn)的狀況。最終，我們的優(yōu)化目標(biāo)則是在以上條件下最大化年回報(bào)率。

這一模型中的數(shù)據(jù)均為真實(shí)信息，涉及到的可選項(xiàng)目、考慮因素及其約束均可以作為參數(shù)，就個(gè)人判斷作調(diào)整，因此該模型的框架具有可拓展性及現(xiàn)實(shí)意義，可以協(xié)助解決實(shí)際問題。

三、模型假設(shè)和符號(hào)聲明

（1）市場(chǎng)上只有9個(gè)投資項(xiàng)目。（1-9）

（2）所有投資項(xiàng)目沒有最小投資額度。

（3）過去十年的股票趨勢(shì)會(huì)持續(xù)到將來(lái)。

變量xi為投資項(xiàng)目i的資金量，以占總資金的百分比來(lái)計(jì)算。

四、模型建立和求解

（一）數(shù)據(jù)列表

平均年回報(bào)率項(xiàng)目方差地區(qū)投資品類投資金額（%）最大回撤（%）S&P MidCap 400 9.60 15.50 North America Equity X1 42.2 S&P 500 12.59 12.96 North America Equity X2 33.7 SPDR S&P 600 Small Cap 9.91 17.35 North America Equity X3 42.5 iShares 20+ Year Treasury Bond 9.58 15.11 North America Bond X4 15.7 SPDR Gold Trust 2.98 14.32 Global Commodity X5 12.5 Vanguard Real Estate 8.29 14.22 North America Real estate X6 42.2 iShares TIPS Bond 3.45 6.12 North America Bond X7 11.2 iShares JP Morgan USD Em Mkts Bd 5.17 8.33 Emerging Markets Bond X8 26.5 Vanguard Total World Stock 8.19 13.80 Developed markets Equity X9 34.2

＊該數(shù)據(jù)來(lái)自雅虎財(cái)經(jīng)從2010.7.19到2020.7.17的每日股價(jià)

“最大回撤”指描述投資者可能面臨的最大虧損，衡量資產(chǎn)價(jià)格從最高值到最低值的跌幅。用來(lái)衡量股票風(fēng)險(xiǎn)。（如：股票最高值為1000，最低到過500，最大回撤為50%）

最大化目標(biāo)為平均年回報(bào)率，其中我們做了以下限制：

每類資產(chǎn)至少投資百分之五；

每類資產(chǎn)至多投資百分之四十；

最大回撤小于百分之三十；

在北美的投資不能超過百分之七十；

投資金額不超出總金額。

（二）線性規(guī)劃模型

Maximize: 0.096X1 + 0.1259X2 + 0.0991X3 + 0.0958X4 +0.0298X5 + 0.0829X6 + 0.0345 X7+ 0.0517X8 +0.0819X9

S.t.

X1+x2+x3+x9>=0.05

x5>=0.05

x6>=0.05

X4+x7+x8>=0.05

X1+x2+x3+x9<=0.4

x5<=0.4

x6<=0.4

X4+x7+x8<=0.4

0.422X1+0.337X2+0.425X3+0.157X4+0.125X5+0.422X6+0.112X7+ 0.265X8+ 0.342X9<= 0.3

x1+x2+x3+x4+x6+x7 <= 0.7

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 <=1

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 >= 0

標(biāo)準(zhǔn)形式

Minimize: -0.096X1 - 0.1259X2 - 0.0991X3 - 0.0958X4 -0.0298X5 - 0.0829X6 - 0.0345 X7- 0.0517X8 -0.0819X9

S.t.

-X1-x2-x3-x9<=-0.05

-x5<=-0.05

-x6<=-0.05

-X4-x7+-x8<=-0.05

X1+x2+x3+x9<=0.4

x5<=0.4

x6<=0.4

X4+x7+x8<=0.4

0.422X1+0.337X2+0.425X3+0.157X4+0.125X5+0.422X6+0.112X7+ 0.265X8+ 0.342X9<= 0.3

x1+x2+x3+x4+x6+x7 <= 0.7

x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 <=1

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 >= 0

（三）Python求解結(jié)果

使用python中的Linprog函數(shù)求解上線性規(guī)劃模型。Linprog包是python語(yǔ)言中Scipy優(yōu)化算法包中利用單純形法解決線性規(guī)劃問題的函數(shù)。函數(shù)求解形如：

Min cTx

s.t.Ax <= b

Aeqx = Beq

L <=x<=u

的線性規(guī)劃問題，c,b,beq,l,u為向量，A為矩陣。算法使用的單純形法由1947年丹齊克提出，是一個(gè)通過從可行解集的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)沿著函數(shù)值下降的方向移動(dòng)的迭代算法，能保證求出最優(yōu)解，得到:

投資金額（%）X1 1.09 x 10-10 X2 0.15 X3 1.19 x 10-10 X4 0.4 X5 0.05 X6 0.15

X7 5.27 x 10-11 X8 3.37 x 10-10 X9 0.25

因?yàn)?.15+0.4+0.05+0.15+0.25=1,可以認(rèn)為X1,X3,X7,X9的投資數(shù)額為計(jì)算偏差，則最佳策略為：

百分之15總金投資S&P 500，百分之40資金投資iShares 20+Year Treasury Bond，百分之5資金投資SPDR Gold Trust，百分之15資金投資Vanguard Real Estate，百分之25資金投資Vanguard Total World Stock，最大年收益率為百分之9.16。

五、模型解釋

如上所述，項(xiàng)目1、3、7、8的結(jié)果可以作誤差考慮，直接忽略。而2、4、5、6、9則（取近似）分別以15%、40%、5%、15%、25%投入資金，即可在限制條件下取得最大回報(bào)率。

根據(jù)以上結(jié)果我們可以看出，在對(duì)品類、地區(qū)、安全性都有限制的情況下，模型得出1、3、7、8不可選?，F(xiàn)實(shí)意義上，1、3明顯地具有較大的最大回撤（一日中最大的下降幅度），這意味著這兩項(xiàng)投資項(xiàng)目有較大的可能出現(xiàn)意外，故不可選。7的年回報(bào)率過小，不適宜用于最大化收益，故不可選。8與4同屬債券品類，但回報(bào)率與最大回撤均劣于4，故而4完全有理由占有絕大多數(shù)份額。

如果暫時(shí)拋開人為對(duì)投資品類做的最低要求，我們不難看出：總體上，總回報(bào)率更高，最大回撤更低的項(xiàng)目（大盤股、國(guó)債等）更值得多投入資金；反之，則不適合投資。這符合人們對(duì)市場(chǎng)的認(rèn)識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)。

除以上結(jié)論之外，模型還給出了優(yōu)化后的最大年收益率。此項(xiàng)數(shù)據(jù)必須由算得的比例進(jìn)行投資得到，這是一般人僅靠經(jīng)驗(yàn)估測(cè)難以做到的，這意味著此模型對(duì)現(xiàn)實(shí)生活仍有特別的意義。并且，對(duì)個(gè)人資產(chǎn)的精準(zhǔn)估計(jì)有利于對(duì)財(cái)產(chǎn)進(jìn)行進(jìn)一步精算，能夠進(jìn)一步擴(kuò)大財(cái)政收益。

該模型也具有一些明顯的不足。比如，我們?cè)谠O(shè)定模型時(shí)所做的假設(shè)，例如未來(lái)的股票趨勢(shì)與過去十年相同，不一定符合現(xiàn)實(shí)。模型一定會(huì)涉及到對(duì)實(shí)際情況的簡(jiǎn)化，如果需要在現(xiàn)實(shí)生活中使用，應(yīng)盡量保證設(shè)定的假設(shè)符合實(shí)際，以提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。