陳元千，徐佳倩，2，傅禮兵

（1.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083；2.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249）

非常規(guī)頁(yè)巖氣藏由超致密的基質(zhì)和次生裂縫組成。頁(yè)巖氣分別以吸附狀態(tài)和自由狀態(tài)儲(chǔ)存于這兩種介質(zhì)中。頁(yè)巖氣的產(chǎn)量及其遞減的快慢除與基質(zhì)的吸附氣含量和次生裂縫發(fā)育程度有關(guān)外，還與水平井的鉆井、完井和壓裂效果有關(guān)。頁(yè)巖氣井的開采表現(xiàn)為定容、封閉、消耗式和投產(chǎn)即進(jìn)入遞減的特點(diǎn)。因此，利用線性遞減模型［1-2］、廣義遞減模型［3］和冪函數(shù)遞減模型［4］預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井產(chǎn)量和可采儲(chǔ)量均取得了較好效果。為此，基于廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型［5］，建立預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井產(chǎn)量和可采儲(chǔ)量的泛指數(shù)遞減模型，并介紹該模型的派生、無(wú)因次產(chǎn)量曲線和模型的求解方法。

1 泛指數(shù)遞減模型的建立

在廣義翁氏模型［6］、威布爾模型［7］、陳-郝模型［5］和瑞利模型［8］的基礎(chǔ)上，陳元千等建立了廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型［5］，其中產(chǎn)量、峰值產(chǎn)量、峰值出現(xiàn)時(shí)間和可采儲(chǔ)量計(jì)算式分別為：

由（1）式—（4）式可以看出，廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型有a，b，c和m四個(gè)常數(shù)。其中常數(shù)a控制峰值的高低，a值愈大峰值產(chǎn)量愈高，反之愈低。常數(shù)b控制峰位，b值愈大，峰位距縱軸愈遠(yuǎn)，反之愈近。常數(shù)c控制峰值后產(chǎn)量遞減的快慢，c值愈大產(chǎn)量遞減愈慢，反之愈快。時(shí)間指數(shù)m用于判別模型的類別：當(dāng)m=1 時(shí)可得廣義翁氏模型；當(dāng)m=2 時(shí)可得陳-郝模型；當(dāng)m=b+1 時(shí)可得威布爾模型；當(dāng)m=2 且b=1時(shí)可得瑞利模型。對(duì)于廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型，當(dāng)b=0時(shí)即得投產(chǎn)進(jìn)入遞減的泛指數(shù)遞減模型。

泛指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量和可采儲(chǔ)量計(jì)算公式分別為：

由（6）式可見，GR與a和均成正比，與m成反比。

在（6）式中的Γ(1)值可查伽馬函數(shù)表或由相關(guān)經(jīng)驗(yàn)公式［9］求得，相關(guān)經(jīng)驗(yàn)公式為：

將（9）式代入（10）式得泛指數(shù)遞減模型的遞減率為：

由（11）式可以看出，泛指數(shù)遞減模型的遞減率與m成正比，與c成反比。當(dāng)t=0 時(shí)，初始遞減率趨近于無(wú)窮大。

2 泛指數(shù)遞減模型的派生

當(dāng)m=0.5 時(shí)，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得具有實(shí)用價(jià)值的0.5 型泛指數(shù)遞減模型，其產(chǎn)量、可采儲(chǔ)量和遞減率計(jì)算式分別為：

當(dāng)m=1 時(shí)，Γ(1)=1.0，由（5）式、（6）式和（11）式可得著名的指數(shù)遞減模型，其產(chǎn)量、可采儲(chǔ)量和遞減率計(jì)算式分別為：

3 泛指數(shù)遞減模型的無(wú)因次關(guān)系

為了建立泛指數(shù)遞減模型的無(wú)因次產(chǎn)量曲線，首先將（5）式改寫為：

泛指數(shù)遞減模型的無(wú)因次產(chǎn)量和無(wú)因次時(shí)間分別為：

將（19）式和（20）式代入（18）式，且由（15）式可以看出，當(dāng)t=0 時(shí)，q=a=q0，由此得泛指數(shù)遞減模型的無(wú)因次產(chǎn)量與無(wú)因次時(shí)間之間的關(guān)系式為：

由（21）式可以看出：當(dāng)m=0時(shí)，qD為常數(shù)；當(dāng)m=1 時(shí)，qD=etD，qD為指數(shù)遞減。當(dāng)取c=5 時(shí)，由（21）式求得不同m值時(shí)qD與tD的無(wú)因次關(guān)系（圖1）；當(dāng)m=0.5 時(shí)，由（21）式求得不同c值時(shí)qD與tD的無(wú)因次關(guān)系（圖2）。由圖1 和圖2 可以看出，m值比c值對(duì)qD的影響明顯。

圖1 c=5時(shí)泛指數(shù)遞減模型qD與tD的關(guān)系Fig.1 The qD-tD curves of PEDM，c=5

4 泛指數(shù)遞減模型的求解方法

圖2 m=0.5時(shí)泛指數(shù)遞減模型qD與tD的關(guān)系Fig.2 The qD-tD curves of PEDM，m=0.5

由（5）式可以看出，泛指數(shù)遞減模型是帶有a和c及m三個(gè)常數(shù)的非線性遞減模型，需根據(jù)實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)，利用線性迭代試差法進(jìn)行求解。為此，首先將（5）式等號(hào)兩端同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得：

再利用（25）式進(jìn)行線性迭代試差法求解。當(dāng)m值為0～1 時(shí)，可按步長(zhǎng)為0.05 給定不同的m值，求得相關(guān)系數(shù)最高直線的m值，即為欲求的正確m值，并由（25）式進(jìn)行線性回歸，確定直線的截距α、斜率β和相關(guān)系數(shù)R2。最后，由（23）式和（24）式分別確定a和c值。

5 應(yīng)用實(shí)例

圖3 M1和M2井q與t的關(guān)系Fig.3 The q-t curves of M1 and M2 wells

圖4 M1和M2井的lnq與tm最佳的直線關(guān)系Fig.4 The optimal linear lnq-tm relations of M1 and M2 wells

將美國(guó)賓州Marcellus 頁(yè)巖氣藏的M1和M2井投產(chǎn)后的產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)［11］繪于圖3，利用線性迭代試差法，由（25）式求得兩口井的最佳直線關(guān)系并繪于圖4。由圖4 的線性回歸求得：M1井的m值為0.5，α值為6.460 6，β值為0.280 5，相關(guān)系數(shù)為0.990 0；M2井的m值為0.5，α值為5.837 3，β值為0.277 9，相關(guān)系數(shù)為0.994 0。由（23）式和（24）式分別求得兩口井的a和c值：M1井的a和c值分別為639.44和3.57；M2井的a和c值分別為342.85 和3.60。將兩口井的a，c和m值分別代入（5）式，得M1和M2井的產(chǎn)量預(yù)測(cè)公式分別為：

由（26）式和（27）式分別預(yù)測(cè)兩口井的理論產(chǎn)量并繪于圖3。由圖3可以看出，預(yù)測(cè)曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)符合得很好。

將M1和M2井的m和c值分別代入（11）式，將預(yù)測(cè)得到的兩口井的遞減率繪于圖5。由圖5可見，兩口井的遞減率隨時(shí)間的變化基本一致，這與兩口井的m和c值均基本相同有關(guān)。

圖5 M1和M2井的D與t的關(guān)系Fig.5 The D-t relations of M1 and M2 wells

將M1和M2井的m值代入（7）式，可得兩口井的完全伽馬函數(shù)，Γ（1/m）=Γ（2）=1.0。將2口井的完全伽馬函數(shù)值以及a，c和m值分別代入（6）式，可得M1和M2井的可采儲(chǔ)量分別為：

6 結(jié)論

通過(guò)對(duì)廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型的簡(jiǎn)化，得到預(yù)測(cè)頁(yè)巖氣井投產(chǎn)即進(jìn)入遞減的泛指數(shù)遞減模型。該模型適用性較強(qiáng)，可對(duì)不同頁(yè)巖氣井的產(chǎn)量、可采儲(chǔ)量和遞減率進(jìn)行預(yù)測(cè)。泛指數(shù)遞減模型的遞減指數(shù)為0～1。隨著m值的增加，產(chǎn)量的遞減率增加，隨著c值的增加，產(chǎn)量的遞減率減小。由m=0.5和m=1 可分別得到0.5 型的泛指數(shù)遞減模型和著名的指數(shù)遞減模型。由于M1和M2井的m和c值均基本相同，因而兩口井的遞減率幾乎是重合的。實(shí)例應(yīng)用結(jié)果表明，所建立的泛指數(shù)遞減模型是實(shí)用有效的。

符號(hào)解釋

a——廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型和泛指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量常數(shù)，104m3/mon；

b——廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型的峰位指數(shù)，dim；

c——廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型和泛指數(shù)遞減模型的時(shí)間常數(shù)，mon；

D——遞減率，mon-1；

GR——頁(yè)巖氣井可采儲(chǔ)量，104m3；

m——泛指數(shù)遞減模型的時(shí)間指數(shù)，dim；

q——頁(yè)巖氣井產(chǎn)量，104m3/mon；

q0——當(dāng)t=0時(shí)的初始理論產(chǎn)量，104m3/mon；

qD——無(wú)因次產(chǎn)量，dim；

qpeak——廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型的峰值產(chǎn)量，104m3/mon；

R2——相關(guān)系數(shù)，dim；

t——生產(chǎn)時(shí)間，mon；

tD——無(wú)因次時(shí)間，dim；

tpeak——廣義單峰周期預(yù)測(cè)模型峰值出現(xiàn)的時(shí)間，mon；

Z——完全伽馬函數(shù)的變量；

α和β——泛指數(shù)遞減模型最佳直線的截距和斜率；

Γ（Z+1）——完全伽馬函數(shù)。