李其宸，趙禮輝，付道琪

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

向心球軸承廣泛用于各類機(jī)械設(shè)備中，能夠承受徑向載荷和一定的軸向載荷，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造精度高和摩擦系數(shù)小等優(yōu)點(diǎn)[1]。在大多數(shù)應(yīng)用場(chǎng)合中，可以僅考慮部分主要載荷，如徑向載荷、軸向載荷或軸向載荷與徑向載荷共同作用下聯(lián)合的負(fù)荷，而當(dāng)有很重的載荷作用時(shí)，安裝在軸承上的軸就會(huì)發(fā)生彎曲，從而在軸承上產(chǎn)生一個(gè)不可忽視的彎矩載荷。在聯(lián)合載荷作用下，軸承中滾動(dòng)體的載荷分布將發(fā)生顯著變化，它們將引起軸承位移、接觸應(yīng)力和疲勞壽命的顯著改變。

作用在軸承上的負(fù)荷由滾動(dòng)體通過一個(gè)套圈傳遞到另一個(gè)套圈，大多數(shù)情況下，軸承內(nèi)部各滾動(dòng)體所受到的負(fù)荷是不同的，負(fù)荷的大小、滾動(dòng)體與套圈之間的接觸應(yīng)力和循環(huán)次數(shù)都會(huì)直接影響軸承的性能和壽命[2-3]。

針對(duì)軸承接觸載荷的計(jì)算求解主要有3 類方法，包括有限元、數(shù)值仿真以及試驗(yàn)3 類方法。本文考慮軸承接觸角的變化，基于擬靜力法建立向心球軸承在承受徑向、軸向以及較小彎矩聯(lián)合載荷作用下的力學(xué)平衡方程，研究了不同載荷對(duì)載荷分布的影響，并以此為基礎(chǔ)結(jié)合軸承額定壽命理論研究了不同載荷疲勞壽命的影響。

1 建立數(shù)學(xué)模型

1.1 變形與負(fù)荷關(guān)系

球軸承的滾動(dòng)體與套圈接觸處的變形量與負(fù)荷關(guān)系為

式中：v1，v2——軸承滾珠和套圈材料的泊松比；E1，E2——軸承滾珠和套圈材料的彈性模型；——系數(shù)，可通過計(jì)算主曲率函數(shù)Fρ查表得到。

軸承的主曲率函數(shù)定義為

鋼球在接觸點(diǎn)處的主曲率為

套圈在接觸點(diǎn)處的主曲率分別為

每一個(gè)主曲率有2 個(gè)數(shù)字下角標(biāo)，第1 個(gè)下角標(biāo)表示所指的物體，第2 個(gè)下角標(biāo)表示物體所在的主平面。式（5）中的正號(hào)代表內(nèi)圈，負(fù)號(hào)代表外圈。

其中，γ為軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)

fn為滾道溝曲率半徑系數(shù)

式中：rn——滾道溝曲率半徑，其中n=i、e，分別代表軸承的內(nèi)圈、外圈；Db——軸承滾珠的直徑；Dm——軸承平均直徑。

1.2 接觸角變化的考慮

軸承實(shí)際工作時(shí)，滾珠與套圈之間的接觸角不是一個(gè)固定值，而是不斷變化的，且每個(gè)滾珠與套圈之間的接觸角是不同的。初始狀態(tài)時(shí)，軸承滾珠與內(nèi)外圈的接觸角相等。如圖1 所示，α0為初始接觸角，受軸向負(fù)荷后，內(nèi)外套圈沿軸向有相對(duì)趨近量δa，此時(shí)實(shí)際接觸角為α。

圖1 向心球軸承的接觸角Fig.1 Contact angle of centripetal ball bearing

由圖1 可得內(nèi)外溝曲率中心之間的距離為

式中：G=fe+fi-1。

由圖1 可得任意角位置ψ處

式中：δψ——軸承不同角位置處的實(shí)際接觸角。

1.3 受徑向、軸向和彎矩聯(lián)合負(fù)荷的軸承

軸承同時(shí)承受徑向負(fù)荷、軸向負(fù)荷和彎矩時(shí)，內(nèi)外圈會(huì)產(chǎn)生相對(duì)位移，包括軸向位移δa、徑向位移δr和相對(duì)傾角θ。如圖2 所示，假設(shè)外圈固定，軸承受負(fù)荷后，內(nèi)圈相對(duì)于外圈產(chǎn)生相對(duì)位移。

軸承受負(fù)荷后，內(nèi)圈滾道溝曲率中心所在的圓周半徑為

圖2 聯(lián)合負(fù)荷下的內(nèi)圈位移Fig.2 Inner ring displacement under combined load

外圈滾道溝曲率中心所在的圓周半徑為

在任意角位置ψ處，內(nèi)外套圈溝曲率中心間的距離為：

引入無量綱量

將式（17）、式（18）帶入式（13）得

角位置ψ處鋼球與內(nèi)外套圈接觸得到總的變形量為

根據(jù)式（1），軸承的接觸負(fù)荷為

此時(shí)，任意角位置處鋼球與套圈的接觸角為

根據(jù)平衡條件，若作用于軸承得徑向負(fù)荷、軸向負(fù)荷和彎矩分別Fr，F(xiàn)a和M，則有

2 軸承壽命計(jì)算模型

目前的工程應(yīng)用中，軸承制造商普遍接受的是基于Lundberg-Palmgren 軸承壽命理論改進(jìn)的ISO 標(biāo)準(zhǔn)，ISO 標(biāo)準(zhǔn)需要計(jì)算軸承的當(dāng)量等效動(dòng)載荷與額定靜載荷。根據(jù)軸承額定壽命理論，球軸承的額定壽命為

內(nèi)滾道的額定壽命為

外滾道的額定壽命為

式中：Qcμj，Qcvj——套圈的額定靜載荷。

式中：?——內(nèi)、外圈的額定動(dòng)載荷。

旋轉(zhuǎn)內(nèi)滾道的當(dāng)量動(dòng)載荷Qμi為

非旋轉(zhuǎn)外滾道的當(dāng)量動(dòng)載荷Qvj為

式中：j——軸承滾珠的編號(hào)；Z——滾珠的總數(shù)量。

3 計(jì)算結(jié)果研究與分析

接觸載荷是軸承靜力分析的重要內(nèi)容，與軸承的疲勞壽命、功率損耗以及接觸應(yīng)力有關(guān)，因此有必要對(duì)軸承的接觸載荷進(jìn)行評(píng)估。本文以6007 型號(hào)向心球軸承為例進(jìn)行分析驗(yàn)證，軸承幾何參數(shù)見表1。

表1 軸承參數(shù)Tab.1 Bearing parameters

3.1 載荷分布分析

如圖3 所示，計(jì)算了滾動(dòng)體的最大接觸載荷，軸承工作條件為：徑向載荷Fr=2 000 N，軸向載荷Fa=3 000 N，彎矩M=20 N·m。橫坐標(biāo)為軸承滾子的編號(hào)，縱坐標(biāo)為滾子最大接觸載荷，在聯(lián)合負(fù)荷作用下，滾子最大接觸載荷達(dá)到了818 N。

圖3 聯(lián)合負(fù)荷作用下滾動(dòng)體的最大接觸載荷Fig.3 Maximum contact load of rolling body under combined load

實(shí)際工作接觸角如圖4 所示，接觸載荷的增加導(dǎo)致接觸角變大，實(shí)際工作接觸角的變化趨勢(shì)與滾動(dòng)體接觸載荷的變化趨勢(shì)保持一致，且與文獻(xiàn)[5-6]中的數(shù)值結(jié)果分布一致，表明了數(shù)值迭代結(jié)果的合理性。

圖4 實(shí)際工作接觸角Fig.4 Actual working contact angle

3.1.1 徑向載荷對(duì)載荷分布的影響

由圖5 可以看出：（1）隨著徑向載荷的增加，鋼球最大接觸載荷增大，若徑向載荷持續(xù)增加，則會(huì)出現(xiàn)僅有幾個(gè)滾動(dòng)體承受負(fù)荷，導(dǎo)致軸承的載荷分布不均勻現(xiàn)象；（2）徑向載荷減小，鋼球的最大接觸載荷減小，載荷分布區(qū)域增加，但軸承內(nèi)部鋼球接觸載荷分布更加均勻。

圖5 徑向載荷對(duì)載荷分布的影響Fig.5 Effect of radial load on load distribution

3.1.2 軸向載荷對(duì)載荷分布的影響

由圖6 和圖7 可以看出：（1）軸向載荷增加，鋼球的最大接觸載荷顯著增大，載荷分布區(qū)域也變大，這是因?yàn)檩S向載荷的增加導(dǎo)致接觸角的變大，軸承接觸角越大，使得載荷分布更加均勻，軸承的承載能力越高；（2）軸向載荷減小，鋼球最大接觸載荷減小，受載較小的鋼球位置接觸角顯著減小，部分滾子脫離滾道接觸，載荷分布區(qū)域也變小，容易導(dǎo)致應(yīng)力集中現(xiàn)象。

圖7 軸向載荷對(duì)接觸角的影響Fig.7 Effect of axial load on contact angle

3.1.3 彎矩對(duì)載荷分布的影響

由圖8 和圖9 可以看出：

（1）彎矩增加，鋼球最大接觸載荷增大，接觸區(qū)域顯著，且逐步呈對(duì)稱分布。彎矩使得軸承的內(nèi)、外圈之間發(fā)生傾斜，產(chǎn)生相對(duì)傾斜角θ，導(dǎo)致軸承內(nèi)部載荷的分布的變化。

圖8 彎矩對(duì)載荷分布的影響Fig.8 Effect of bending moment on load distribution

圖9 彎矩對(duì)傾斜角的影響Fig.9 Effect of bending moment on tilt angle

（2）盡管彎矩的增加直接導(dǎo)致接觸載荷變大，但較小的彎矩載荷可以消除滾子歪斜導(dǎo)致的應(yīng)力集中現(xiàn)象，使軸承內(nèi)部鋼球接觸載荷分布更加均勻。

3.2 載荷分布對(duì)軸承壽命的影響

3.2.1 徑向載荷對(duì)軸承疲勞壽命的影響

由圖10 可知，徑向載荷增加，鋼球的最大接觸載荷變大，載荷分布區(qū)域減小，軸承的疲勞壽命急劇減小。

圖10 徑向載荷對(duì)軸承疲勞壽命的影響Fig.10 Effect of radial load on bearing fatigue life

3.2.2 軸向載荷分布對(duì)軸承疲勞壽命的影響

根據(jù)圖11 可知，在較小的載荷范圍內(nèi)，軸向載荷增加，軸承的疲勞壽命減?。坏S著軸向載荷繼續(xù)變大，軸承的疲勞壽命變化幅度降低。

圖11 軸向載荷對(duì)軸承疲勞壽命的影響Fig.11 Effect of axial load on bearing fatigue life

3.2.3 彎矩對(duì)軸承疲勞壽命的影響

根據(jù)圖12 可以看出，軸承在彎矩載荷作用下，內(nèi)外圈之間產(chǎn)生相對(duì)傾斜，顯著降低軸承的疲勞壽命，這是滾動(dòng)體的接觸載荷增加導(dǎo)致的；但較小的彎矩可以消除載荷不穩(wěn)定產(chǎn)生的其他附加彎矩，改善軸承的疲勞壽命。

圖12 彎矩對(duì)軸承疲勞壽命的影響Fig.12 Influence of bending moment on bearing fatigue life

4 結(jié)論

本文建立了向心球軸承的力學(xué)行為模型，同時(shí)考慮軸承實(shí)際工作接觸角的變化，根據(jù)軸承滾動(dòng)體的變形與接觸載荷之間的變形協(xié)調(diào)關(guān)系模擬計(jì)算過程，得到軸承在聯(lián)合負(fù)荷下的軸承滾動(dòng)體接觸載荷分布狀態(tài)，研究了不同的載荷參數(shù)對(duì)接觸載荷分布以及軸承疲勞壽命影響的規(guī)律。結(jié)果表明，徑向載荷、軸向載荷以及彎矩均能顯著影響軸承的疲勞壽命；軸向載荷增加時(shí)，接觸角變大，能夠提高軸承的承載能力，較小的彎矩載荷可以改善軸承的疲勞壽命。