等差法解答一類走走停停行程問題

蘇蕤軒

(四川省成都?xì)W拉教育 611430)

一、引入

在很多小學(xué)畢業(yè)考試、小學(xué)杯賽或初中數(shù)學(xué)考試中常出現(xiàn)行程問題，它是普遍學(xué)生的弱項(xiàng)，同時(shí)也成為命題者偏愛的題型之一，在奧數(shù)競(jìng)賽中擁有非常顯赫的地位.走走停停行程問題屬于難點(diǎn)題型，它并不能直接用基本行程公式解決，需要經(jīng)過復(fù)雜的判斷和計(jì)算，已有文獻(xiàn)給出了路程差是休息路程整數(shù)倍時(shí)的解答方法，但是該方法并不能解決路程差不是休息路程整數(shù)倍的題型.本文重在于探索一種更具有通用性的方法.

二、難點(diǎn)突破

此類問題的難點(diǎn)在于如何判斷最終狀態(tài)，本文通過等差數(shù)列和斜率來突破難點(diǎn)，通過平移快者的路程來計(jì)算追及時(shí)間.

1.最終狀態(tài)判斷

本文把題目給定的路程差用S表示，休息路程用ΔS表示，休息時(shí)間用ΔT表示，快者的速度用vk表示，慢者的速度用vm表示.

最終追及點(diǎn)判斷需要明確到底是快者追及上行進(jìn)中的慢者還是休息中的慢者.本文將結(jié)果分為如下三類：

(1)快者最后一次休息后的行進(jìn)中，第一次追及上行進(jìn)中的慢者；

(2)快者最后一次休息后的行進(jìn)中，第一次追及上休息中的慢者；

(3)快者最后一次休息前的行進(jìn)中，第一次追及上行進(jìn)中的慢者.

圖1

圖2

判斷好斜率后，如果b斜率小于a，就還要判斷追及點(diǎn)會(huì)不會(huì)在慢者的休息區(qū)，因?yàn)榕懦祟愋?3)，還得鎖定到底是(2)還是(1)，所幸這比較容易，比較下一個(gè)休息區(qū)的時(shí)間差即可.

如果是類型(2)，那么：公差-余數(shù)<休息時(shí)間，如果是類型(1)，那么：公差-余數(shù)>休息時(shí)間，見圖3，標(biāo)注的橫線部分就是“公差-余數(shù)”.

圖3

2.追及時(shí)間計(jì)算

如果是類型(1)和類型(3)，可優(yōu)先使用平移快者的方法，快速得到連續(xù)追及的時(shí)間，我們假定追及上時(shí)快者比慢者多休息Δn次，那么連續(xù)追及時(shí)間為(S+Δn×ΔT×vk)÷(vk-vm)，這個(gè)時(shí)間恰好等于慢者的連續(xù)行進(jìn)時(shí)間，外加慢者的休息時(shí)間即為總的追及時(shí)間.

如果是類型(2)，直接通過慢者計(jì)算即可.假定慢者一共休息了n次(含最后一次)，因?yàn)樽詈笠淮螞]有休息完，離休息結(jié)束還有“公差-余數(shù)”，所以直接當(dāng)成n次計(jì)算總時(shí)間，然后減去“公差-余數(shù)”即可.

三、典例分析

例1 快慢兩人分別從相距550米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，他們每走200米都會(huì)停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是40米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

解答：快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間550÷100+2×1=7.5秒

次數(shù)7.5÷3=2次……1.5秒

(50是快者的休息區(qū)跟慢者前一次休息區(qū)的距離，因?yàn)?00的倍數(shù)減去550，最小值為50)

下一次的余數(shù)3-1.5=1.5秒，大于1秒

屬于類型①，接下來平移快者，直接計(jì)算追及時(shí)間

例2快慢兩人分別從相距550米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，他們每走200米都會(huì)停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

解答：快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間為：550÷100+2×1=7.5秒

快者已經(jīng)休息2次

例3快慢兩人分別從相距500米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，他們每走200米都會(huì)停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

解答：快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間500÷100+2×1=7秒

屬于類型③，接下來平移快者，直接計(jì)算追及時(shí)間

處理此類休息路程相同的走走停停行程問題可以按照如下思路解決：其一、通過兩者行進(jìn)休息路程的時(shí)間差計(jì)算休息次數(shù)；其二、通過斜率判斷屬于哪種類型；其三、直接計(jì)算(類型②)或通過平移法計(jì)算(類型①或類型③)追及時(shí)間.