黃俊革，漆玉茂，劉 宇，張 彧，盧思同

(上海應用技術大學 城市建設與安全工程學院，上海 201418)

0 引言

鋼筋銹蝕會對混凝土結構造成巨大破壞，給人民的生產、安全帶來嚴重影響，為了了解混凝土內部介質腐蝕、鋼筋銹蝕程度、深度及位置等情況，需對混凝土內部鋼筋進行檢測，目前鋼筋銹蝕檢測的方法主要有化學分析法[1-2]、電化學和物理法三種方法。電化學法[3]包括電化學阻抗譜法、半電池電位法、線性極化法等；物理法包括紅外熱像技術法[4]、超聲波檢測法[5]、電阻率法[3]等。

半電位電池法[6]利用鋼筋銹蝕的電化學過程中陽極區(qū)和陰極區(qū)之間存在電位差,使電子流動并導致鋼筋的腐蝕，通過測定鋼筋、混凝土與在混凝土表面上參考電極之間的電位差，定性評定鋼筋的銹蝕狀態(tài)。線性極化法[7]通過對混凝土內部鋼筋加一個很小的電化學擾動并測量混凝土內鋼筋線性極化區(qū)的極化電阻，再使用Stern-Geary公式計算出鋼筋腐蝕速率。超聲波方法檢測方便簡單，內部缺陷檢測能力強、檢測速度快[8]，但對鋼筋截面積的減小測量不準確，一般用來檢測結構內鋼筋的位置[9]。電阻率法是近年來測試混凝土結構性能的新方法，其按接觸方式可分為接觸式和非接觸式兩類[10]，接觸式又可分為二電極法和四電極法[11-12]，采用二電極法測量混凝土電阻率時，易受電極與混凝土的接觸面積影響[13-15]。四電極法所測得混凝土電阻率值受骨料尺寸影響較小，測量結果較二極法準確，但直流電流的極化作用對測量結果的影響無法消除[16-17]。電阻率法的基礎在于對混凝土內部電場分布的了解，是根據人工電流場下混凝土內部產生的電場分布，來分析混凝土內部介質腐蝕及鋼筋銹蝕的情況與位置，因此對混凝土內部電場分布的理論進行研究十分必要。而混凝土結構、構件、試塊大都為有限空間介質，對混凝土內部電場，很難套用半空間或全空間的邊值問題進行分析，給出解析解。為此，筆者采用物理模型試驗、鏡像法和數值模擬的方法進行研究，并相互印證，得出混凝土內部有限空間電場分布規(guī)律。

1 電阻率法基礎

1.1 電流源的正常電場

地下人工直流電場建立時，電極A(+I) 和電極B(-I) 接地，直流電源通過電極A將電流輸入地下，電流通過電極B從地中流出，構成閉合回路。電極A、B稱為供電電極。供電電極大小跟供電電極到觀測點的距離相比很小，可看作兩個“點”，因此又稱A、B為點電流源。而直流電源通過電極A向地下供電，電極B放置于在無窮遠處，B極電場對電極A附近的電場影響不大，甚至可以忽略不計，即為一個點電源的電場[18]。

1.2 單個點電流源的電場

在電阻率為ρ的均勻各向同性介質中，電流強度為I的點電流源的電位表達式如式1所示[19]；若點電流源位于電阻率為ρ的均勻半空間表面，其電場則相當于均勻全空間中2倍電流強度的點電流源的電場，其電位表達式為式(2)。[19]。

(1)

(2)

式中：r為觀測點到點電流源的距離。

1.3 兩個異性點電流源的電場

設地表點電源A( +I)和點電源B(-I)相距 2L，根據電位疊加原理，可得到A、B兩電極在M、N點的電位公式為[18-19]：

(3)

(4)

式中：rAM、rAN分別為A到M、N的距離；rBM、rBN分別為B到M、N的距離。

1.4 均勻大地電阻率的測定

進行均勻大地電阻率的測量時，電極排列形式可任意選擇，在地表任意兩點(A、B)供電，然后在任意兩點(M、N)來測量其間的電位差。求M、N兩點之間的電位差見公式5[19-20]，地表采用任意電極排列形式測量的均勻大地電阻率基本公式見式(6)、式(7)[19-20]，其中K為電極裝置系數，K是一個只與電極的空間位置有關的物理量。圖1為對稱四極裝置的測量示意圖[19]，該裝置的特點是rAM=rBN，rAN=rBM。

(5)

(6)

(7)

圖1 對稱四極法的電極排列方式示意圖Fig.1 Schematic diagram of electrode arrangement of symmetrical quadrupole method

圖2 測定標本電阻率裝置原理圖Fig.2 Schematic diagram of specimen resistivity measurement device

1.5 巖石標本電阻率的測定

用標本法測定巖石的電阻率方法較多，采用與露頭法相似的方法，小尺度的對稱四極裝置即用小對稱四極法測量；也可采用以下方法進行測量，以四極法為例，其原理圖如2所示[20]。在長方形巖、礦石標本兩端，其橫截面積為S，金屬片狀電極A和B與標本緊密接觸，A、B極的外路與電流表、干電池等聯(lián)成回路。在巖石標本的中部，繞有兩個相距為L的環(huán)形電極M和N，其由金屬絲做成并與標本緊靠，M、N的外路與電位計和導電線連通。測量時，A、B回路中供電電流為I，若M、N極間測的的電位差為ΔUMN，則計算巖石標本電阻率的公式為式(8)[20]。

(8)

而用上述測定巖石標本電阻率的方法測定混凝土試塊電阻率時，小對稱四極法的測量結果與四極法的測量結果相差較大。由于混凝土試塊為有限空間介質，采用對稱四極法在其表面觀測時，受其內部電場分布的影響，使其觀測結果與半空間觀測結果存在較大差異，為了探究內部電場分布是如何對觀測點進行影響，需對有限體內部的電場分布進行研究，為現場實驗提供理論基礎。實驗采用四極法測定混凝土試塊電阻率的裝置如圖3所示，采用重慶奔騰數控技術研究所研制的WDCB-1巖石標本電性測試儀配合PDJB-1 巖石標本電性測試架進行混凝土試塊的測量，其測定巖石標本電阻率原理同四極法測定巖礦石標本電阻率方法原理一致，通過測量試塊兩端的電壓和電流值，根據歐姆定律計算試塊的電阻值，從而計算電阻率。其左邊為巖石標本電性測試架，測試架上放置的是兩個復合電極罐，兩復合電極罐之間放置所需觀測標本，右邊為WDCB-1巖石標本電性測試儀，可完成供電、發(fā)射、接收功能。

圖3 巖石標本電性測試架測量裝置圖Fig.3 Measurement device of electrical test stand for rock specimen

2 有限體模型構建及觀測

2.1 構建物理模型

采用標本架法及對稱四極法測量試塊模型的電阻率和電位等數據時，實驗采用的為鋼筋混凝土模型。為了使試塊模型與標本架尺相適應，試塊模型的大小設定為90 mm×70 mm×70 mm，試塊配合比為水：水泥：砂：碎石=0.44:1:1.312:2.666。

2.2 數據觀測及處理

用標本測試儀測量試塊電阻率時，將試塊放置在標本支撐座適當位置，通過調整旋轉螺母使試塊中心與兩個復合電極罐上的標本測量區(qū)域接觸良好，測試前連接好電極，并在測試儀面板上輸入模型尺寸、供電周期、疊加次數等參數，點擊開始測量，一定時間后，儀器面板上出現電壓、電流、電阻率等參數。記錄好電壓、電流、電阻率參數。對同一試塊測量10次，取其平均值作為測量數據。標本架測量混凝土試塊時，試塊兩端與供電電極A、B接觸，電流從試塊兩端流入或流出，可消除邊界效應的影響，因此可認為標本架法測量試塊模型的電阻率值為試塊的正常電阻率值。

利用對稱四極法測量試塊電阻率時，按照順序連接好供電電極與觀測電極，以AM=MN=NB=2 cm，在混凝土表面上按照A—M—N—B的次序進行觀測為例。圖4以A(2,3,0)、M(4,3,0)、N(6,3,0)、B(8,3,0)的位置進行排列觀測。測量結束后，記錄測試儀面板上的VP(一次場)、IP(電流)、ρ(電阻率)等測量數據。由于混凝土內部介質為非均勻介質，在混凝土表面用對稱四極法測量的電阻率值電場影響范圍內各種碎石、水泥等介質電阻率的一種綜合反映，觀測的電阻率值為視電阻率。

圖4 對稱四極法在混凝土表面的觀測點圖Fig.4 Observation points of symmetrical quadrupole method on concrete surface

3 有限空間電場分布理論求解

在混凝土表面提供點電源A時，有限體四周的空氣形成固有的邊界，可用鏡像法[21-22]求解，研究混凝土內部點電源鏡像的方法和成像次數，得到有限體內部電場分布規(guī)律。鏡像對稱規(guī)則如下：混凝土模型為長方體，點電源A在混凝土模型的上表面，將長方體上表面的4條邊編號為1號邊、2號邊、3號邊、4號邊，點電源A在1號邊鏡像，得到A1，在2號邊鏡像得到A2、在3號邊鏡像得到A3、在4號邊鏡像得到A4，再考慮每個邊在同次鏡像產生的點形成的角部點，所有在同一個位置重復的鏡像只算一個鏡像，得到A12(21)、A23(32)、A34(43)、A14(41)(圖5)，邊鏡像點加上角部鏡像點則為上平面某次鏡像產生的鏡像點，然后將上述點、原點A關于底面鏡面對稱得到上表面邊與角的鏡像點在底部的鏡像點，得到A底、A1底、A2底、A3底、A4底、A12(21)底、A23(32)底、A34(43)底、A14(41)底(圖6)，上平面關于邊與角部的鏡像點加上上平面邊與角部的鏡像點在底部的鏡像點共17個鏡像點，此為第一次鏡面對稱產生的所有鏡像點。之后的第二次鏡面對稱在第一次鏡面對稱產生的上平面鏡像點基礎上按照上述規(guī)則再次鏡像，如點A1在三號邊鏡像得到A13，點A3在一號邊鏡像得到A31，點A4在二號邊鏡像得到A42，…，同時，第一次的底面所有鏡像點關于有限體頂面再次鏡像，得到的鏡像點則為第二次鏡面對稱產生的所有鏡像點。以此類推，第N次鏡像為第N-1次上平面鏡像點按照上述規(guī)則鏡像對稱，加上第N-1次的底面鏡像關于頂面再次鏡像，加上第N-2次的頂面鏡像關于底面再次鏡像，…，直至第一次，上述所有這些點則為第N次鏡像對稱的全部點。計算點電源A、B經過N次鏡面對稱后分別在點M、N的電位，預設MN兩點間的電位差變化量作為限定值，當MN兩點間的電位差變化量小于0.001 mV，可停止運算，最后輸出ΔUMN。圖5為混凝土模型上表面按照邊和角的鏡像規(guī)則經過3次鏡像后的鏡像點圖，rA為點A到觀測電極M的距離，rA′為A在底部的鏡像電源A′到觀測電極的距離。圖6是點電源A第一次鏡像產生的所有鏡像點圖的位置圖。

圖5 混凝土模型上表面3次折射鏡像點圖Fig.5 Mirror image of 3 times refraction on the upper surface of concrete model

圖6 混凝土模型鏡像1次后的所有鏡像點圖Fig.6 All mirror points after one mirror image of concrete model

根據上述鏡像規(guī)則，在編好的程序中輸入A(2,3,0)、M(4,3,0)、N(6,3,0)、B(8,3,0)的觀測點，標本架法所測混凝土試塊電阻率、電流值，運行計算點電源A、B經過25次鏡面對稱后，MN兩點間的電位差變化量小于0.001 mv，截止運算。上述觀測點鏡像25次的鏡像過程結果如表1所示，UAM0、UAN0、UBM0、UBN0、UMN0為邊界影響下的電位值。

表1 混凝土模型鏡面對稱25次后的電位表Tab.1 Potential table of concrete model after mirror symmetry 25 times

4 有限體電場分布有限元數值解計算

有限單元法是將穩(wěn)定電流場的微分求解方程問題看成泛函求極值問題，將整個區(qū)域按X、Y、Z三個方向剖分為六面體網格，其中有限體位于剖分區(qū)域的中部，尺寸為90 mm×70 mm×70 mm。將每個網格賦予電阻率值。有限體單元剖分示意圖如圖7所示，圖中灰色網格代表混凝土試塊，白色網格代表空氣，在有限元模擬程序中，對代表空氣介質的網格賦予電阻率值為10 000 000或者更大。有限單元異常電位法的線性方程組為式(9)[23-24]。

圖7 有限體有限單元剖分示意圖Fig.7 Finite element subdivision diagram

(9)

其中:K、K′為積分系數矩陣;u為待求的各網格節(jié)點的異常電位向量;u0為各網格節(jié)點的正常電位向量，

(10)

式中:ρA為電源所在單元的電阻率值；rA為點A到觀測電極的距離，求解線性代數方程式(9)，得到各網格節(jié)點的異常電位ui，用式(11)計算各觀測點的視電阻率值：

(11)

其中:K為裝置系數；u0i和ui分別為第i個觀測點的正常電位和異常電位。

求解各網格節(jié)點的電位，最終得到某一觀測點的總電位。輸入實際的觀測點，在模擬程序中設定好混凝土試塊的電阻率值與電流值，經過有限元程序的模擬計算，得到電位的模擬解。將實際觀測值、理論值、數值模擬值進行對比分析，從以上3方面進行對比認證，得出有限空間電場分布規(guī)律，具體對比結果表2。其表2中試塊電阻率為標本架測試的試塊真實電阻率，UMN0為邊界影響場，UMN25為鏡像25次后的鏡像結果，模擬解為有限單元法模擬結果，模型實測為對稱四極法有限體的表面觀測值。

表2 有限空間電位差理論解、解析解、實測數據Tab.2 Theoretical solution,analytical solution and measured data of finite space potential difference

從表2中可看出：有限空間的電場較本征電場值大；有限空間電場的模擬解與鏡像解的相對誤差很??；對稱四極法模型實測電位值與鏡像解、模擬解之間的差異較大。表2第一個觀測位置的鏡像解與模擬解的相對誤差為0.59%，表2第二個觀測位置的鏡像解與模擬解的相對誤差為1.48%，按照上述有限空間的分布理論編程計算25次鏡像后的鏡像解與按有限元程序模擬的模擬解相對誤差很小，吻合度高，表明有限空間電場分布符合上述鏡像對稱規(guī)則，采用鏡像法計算有限空間的電場分布正確可行。表2第一個觀測位置的鏡像解與模型實測的相對誤差為16.50%，表2第二個觀測位置的鏡像解與模型實測的相對誤差為17.21%，不同觀測位置的鏡像解與模型實測數據之間的誤差較大，一方面與混凝土試塊為非均勻介質，加上測試時電極位置的稍微偏差以及導線與電極、電極與混凝土之間的接觸電阻有關，另一方面是鋼筋混凝土內部的極化效應會影響電阻率觀測結果，鋼筋混凝土試塊極化率觀測值為10.54%，極化效應明顯，導致電阻率觀測值偏高，兩者綜合表現為模型實測值較鏡像解、模擬解偏大。對比上表不同觀測位置的鏡像解、模擬解以及模型實測數據，在有限體表面上進行觀測時，不同觀測點之間的電位差會有一定差距，表明有限空間的電場受邊界條件的影響，進行有限體電阻率值觀測時應該綜合考慮有限體表面的觀測位置。

5 結論

為研究有限空間的電場分布規(guī)律，利用鏡像法進行理論分析，同時采用有限元程序進行模擬分析，驗證解析解的正確性。通過構建一定尺寸的實體模型進行試驗驗證，最終得出的結論：采用鏡像法計算有限空間的電場分布正確可行；受邊界條件的影響，有限體表面觀測的電位差、視電阻率，與供電和觀測電極位置關系密切，直接觀測的視電阻率不能視為有限體的電性參數。