指數(shù)收益率的波動(dòng)率預(yù)測

張?jiān)平?/p>

摘要：本文以具有代表性的9個(gè)中國股市指數(shù)的高頻價(jià)格和每日收盤價(jià)（時(shí)間窗口是2013年至2018年）作為數(shù)據(jù)源，比較廣義自回歸條件異方差模型（簡稱GARCH模型，下同）和high-frequency-basedvolatilitymodels（簡稱HEAVY模型，Shephard和Sheppard（2010），下同）的預(yù)測精度。把整體數(shù)據(jù)源分為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)和樣本外數(shù)據(jù)，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)用于參數(shù)估計(jì)，樣本外數(shù)據(jù)用于模型預(yù)測。然后通過損失函數(shù)計(jì)算損失值，損失函數(shù)值越小，則模型的預(yù)測效果越好。最后通過Diebold-Mariano檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量判定兩個(gè)模型優(yōu)劣的顯著性。結(jié)果是HEAVY模型整體比GARCH模型預(yù)測效果要好。

關(guān)鍵詞：GARCH ?HEAVY ?最大似然估計(jì) ?損失函數(shù) ?Diebold-Mariano檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

一、引言

20世紀(jì)90年代以后，隨著信息技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的迅速發(fā)展，市場交易信息和資產(chǎn)價(jià)格信息獲取也更加方便和及時(shí)。因此，通過信息技術(shù)的幫助，研究人員可以獲得高頻的交易數(shù)據(jù)，例如10分鐘、5分鐘、1分鐘的交易數(shù)據(jù)。同理，獲取數(shù)據(jù)的頻率越高，獲取的交易信息就越多，分析者做出精準(zhǔn)預(yù)測的把握性就越大，使得研究結(jié)果更精確、更有說服力，可以提高相關(guān)領(lǐng)域的風(fēng)險(xiǎn)管理能力。金融風(fēng)險(xiǎn)的大小通常是由標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格或收益的波動(dòng)率來衡量的，而潛在風(fēng)險(xiǎn)是需要預(yù)測相關(guān)資產(chǎn)的波動(dòng)率來衡量的。本文波動(dòng)率預(yù)測模型主要是Shephard和Sheppard（2010）引進(jìn)的high-frequency-basedvolatilitymodels（簡稱HEAVY模型，下同）。以GARCH模型（見Bollerslev（1986））作為參照，對(duì)中國股市的代表性指數(shù)數(shù)據(jù)分別進(jìn)行GARCH模型和HEAVY模型建模，分析并對(duì)比它們各自的預(yù)測值和預(yù)測精度，為相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)投資者和決策者提供更加科學(xué)、精準(zhǔn)的預(yù)測方法。

二、文獻(xiàn)回顧

（一）GARCH模型研究

資產(chǎn)的波動(dòng)率被廣泛地應(yīng)用在期權(quán)定價(jià)、風(fēng)險(xiǎn)管理中。這種指標(biāo)的確立促進(jìn)了自回歸條件異方差模型（簡稱ARCH模型，Engle（1982）和GARCH模型的發(fā)展。GARCH模型是在ARCH模型的基礎(chǔ)上增加了異方差函數(shù)的P階自相關(guān)性。在GARCH模型的結(jié)構(gòu)里，關(guān)鍵成分就是條件方差。當(dāng)GARCH模型中自回歸多項(xiàng)式部分存在單位根時(shí)，就可以將模型變成intergratedGARCH（簡稱IGARCH模型），見Engle和Bollerslev（1986）。其他的對(duì)GARCH模型的研究可以參見Bollerslev（2010）.

（二）已實(shí)現(xiàn)測度模型研究

標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型采用每日收益的平方值來刻畫目前資產(chǎn)的波動(dòng)率水平，比較適合波動(dòng)率低頻變化的情況，不適合用于波動(dòng)率快速變化的情形，因?yàn)樵谟泻芏嗥诓▌?dòng)率變化時(shí)，GARCH模型擬合波動(dòng)率變化就很慢，見Andersenetal.（2003）。隨著日間交易數(shù)據(jù)越來越多，一些研究者提出一系列用于度量日間波動(dòng)率的指標(biāo)realizedmeasures（已實(shí)現(xiàn)測度，簡稱RM，下同）。本文主要使用其中的一種，即已實(shí)現(xiàn)方差（realizedvariance，簡稱RV，下同）。Andersen和Bollerslev（1998）選擇已實(shí)現(xiàn)測度為RV的波動(dòng)率模型來研究噪音的方差和波動(dòng)率之間的關(guān)系。Andersenetal.（2001）使用高頻數(shù)據(jù)研究不同國家匯率的波動(dòng)率和相關(guān)性，認(rèn)為存在著持續(xù)的波動(dòng)率和相關(guān)性的動(dòng)態(tài)變化，且波動(dòng)率和相關(guān)性是已實(shí)現(xiàn)的指標(biāo)而不是潛在的指標(biāo)。Barndorff-Nielsen和Shephard（2002）使用已實(shí)現(xiàn)測度RV來研究收益的隨機(jī)性，得出了RV誤差的漸近分布特性，通過這些特性來估計(jì)模型中的待估參數(shù)。

（三）基于高頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)率預(yù)測模型研究

隨著已實(shí)現(xiàn)測度模型的快速發(fā)展，波動(dòng)率預(yù)測模型的發(fā)展也日新月異，呈現(xiàn)出豐富發(fā)展態(tài)勢。Engle（2002）在估計(jì)GARCHX類型的模型時(shí)，在GARCH方程右側(cè)加入一個(gè)RM指標(biāo)，但他的模型是不完整的，不能夠呈現(xiàn)收益率和波動(dòng)率在超過一個(gè)周期之外的情形。Engle和Gallo（2006）引進(jìn)了第一個(gè)完整的波動(dòng)率預(yù)測模型，這個(gè)模型對(duì)每一個(gè)RM都確定一個(gè)GARCH結(jié)構(gòu)。Corsi（2009）提出了HAR-RV預(yù)測模型來研究已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的長期記憶性特征，波動(dòng)率在不同的時(shí)間段中有著不同的成分，結(jié)果顯示了金融資產(chǎn)收益率具有厚尾、長期性、自相關(guān)性的特點(diǎn)。Shephard和Sheppard（2010）引進(jìn)了另一個(gè)完整的模型，即HEAVY模型，相比于傳統(tǒng)的GARCH模型，HEAVY模型融進(jìn)了多重潛在的波動(dòng)過程，包含高頻價(jià)格信息，即能得出高頻的波動(dòng)率水平，可以進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)RM中的額外信息，能夠產(chǎn)生樣本外的收益。

三、模型介紹

（一）GARCH模型形式

經(jīng)典的GARCH模型（GARCH1）：

（1）

具有單位根的GARCH模型（GARCH2）：

（2）

（二）HEAVY模型形式

計(jì)算RV的公式：

表示第t天交易的第j個(gè)時(shí)段的個(gè)體。是第t天，時(shí)刻交易價(jià)格的對(duì)數(shù)值，是相鄰兩個(gè)時(shí)刻指數(shù)交易價(jià)格取對(duì)數(shù)值的差，即時(shí)刻收益率。

HEAVY1模型主要公式：

（3）

（4）

是第t天收益率的條件方差，是第t天已實(shí)現(xiàn)測度的條件期望值。是t-1時(shí)刻的信息集，包含低頻的收益率（，，…，）和高頻的已實(shí)現(xiàn)測度（，，…，）。方程（3）中限制條件為ω，α≥0，β∈[0，1）;方程（4）中的限制條件為，，≥0，+∈[0，1）。

HEAVY2模型（reparameterization）主要公式：

（5）

（6）

在和穩(wěn)態(tài)的條件下，，。那么我們可以把截距與期望值聯(lián)系起來，這是HEAVY2的特點(diǎn)。。我們先用均值來估計(jì)，和，即，，。這樣，HEAVY1可以通過目標(biāo)參數(shù)化轉(zhuǎn)換成HEAVY2。方程（6）的限制條件為。HEAVY2模型與HEAVY1模型的差別只是方程結(jié)構(gòu)和待估參數(shù)發(fā)生了變化，估計(jì)模型和預(yù)測模型與HEAVY1模型完全一致。

HEAVY3模型（單位根條件下的HEAVY1）主要公式：

（7）

（8）

（4）在單位根條件下變成了（8）。其中，0<<1。Shephard和Sheppard（2010）引入HEAVY3，是為了提高模型多期預(yù)測的能力。

（三）HEAVY參數(shù)估計(jì)模型

方程（3）使用高斯擬似然函數(shù)來估計(jì)：

;

其中設(shè)定

方程（4）也使用類似于方程（3）的方式來估計(jì)：

;

其中設(shè)定

在HEAVY1參數(shù)估計(jì)模型中通過方程的迭代最優(yōu)化，獲得擬似然函數(shù)的最大值。令θ=（ω，，，），當(dāng)θ=時(shí)，擬似然函數(shù)達(dá)到最大值。同理，HEAVY2和HEAVY3的參數(shù)估計(jì)模型也通過上述方法進(jìn)行構(gòu)建、求解。

（四）預(yù)測模型

GARCH的預(yù)測模型：

以t時(shí)刻為預(yù)測原點(diǎn)，向前一步預(yù)測：

（11）

則，其中，為低頻信息集，包含低頻的收益率（，，…，）。s>1，向前多步預(yù)測為：

（12）

HEAVY的預(yù)測模型：

一步向前預(yù)測為（由t-1時(shí)刻預(yù)測t時(shí)刻）：

（13）

由Shephard和Sheppard（2010）可知，多步向前預(yù)測的一般式為（s≥1）：

（14）

其中，δ=（），s=4時(shí)，表示向前一周波動(dòng)率預(yù)測的總和、當(dāng)s=21時(shí)，表示向前一個(gè)月的波動(dòng)率預(yù)測總和。

（五）損失函數(shù)

參照Shephard和Sheppard（2010），我們使用擬似然損失函數(shù)（QLIK）。在一步或多步向前預(yù)測中，對(duì)于每個(gè)s值：

;

此處=（，）′，通過似然函數(shù)可以算出三組參數(shù)的估計(jì)值，分別為（，）。公式（15）適用于GARCH類模型、HEAVY類模型，本文用樣本外收益率的平方代替真實(shí)波動(dòng)率，即用代替真實(shí)的波動(dòng)率，是各個(gè)模型向前一步預(yù)測或多步預(yù)測的波動(dòng)率值，最后求出損失函數(shù)的累積值。

（六）顯著性水平檢測

判斷兩個(gè)模型預(yù)測精度的顯著性水平，是通過計(jì)算Diebold-Mariano檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（Diebold和Mariano，1995）的值，再與臨界值比較。例如A預(yù)測模型與B預(yù)測模型，定義它們各期損失函數(shù)之差的均值：。loss（A）表示A模型的累積損失值，loss（B）表示B模型的累積損失值，p表示向前預(yù)測的個(gè)數(shù)，為第t天A與B模型損失函數(shù)的差值。則模型的原假設(shè)為

DM統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造如下：（16）

公式（16）中的表示的標(biāo)準(zhǔn)差的一致性估計(jì)值，由異方差和自相關(guān)一致（HAC）（Newey和West，1987）的標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算得到。當(dāng)統(tǒng)計(jì)值小于臨界值時(shí)，則顯著，拒絕原假設(shè)。（10%、5%的顯著性水平臨界值分別是-1.28、-1.65）

四、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)來源和實(shí)證步驟

本文先從RESSET/DB（高頻數(shù)據(jù)庫）中下載了2013-2018年滬深300指數(shù)等9個(gè)指數(shù)集的實(shí)時(shí)成交價(jià)（頻率為5分鐘、10分鐘、15分鐘），再從RESSET/DB（低頻數(shù)據(jù)庫）中下載了相應(yīng)的交易日收盤價(jià)。

首先獲取各指數(shù)2013-2018年高頻條件下的交易價(jià)格，通過每日的高頻數(shù)據(jù)集和RV計(jì)算公式可以得出每日已實(shí)現(xiàn)測度，最后匯成所有年份已實(shí)現(xiàn)測度集。然后把已實(shí)現(xiàn)測度集分成兩部分，前一部分作為樣本內(nèi)數(shù)據(jù)，后一部分作為樣本外數(shù)據(jù)。樣本內(nèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合，即帶入高斯擬似然函數(shù)，通過求似然函數(shù)的最大值，可以得出各個(gè)模型的待估參數(shù)值，GARCH1模型中包括三個(gè)參數(shù)（）;GARCH2模型中包括兩個(gè)參數(shù)（）;HEAVY1模型中包括六個(gè)參數(shù)（ω，α，β，，，）;HEAVY2模型中包括四個(gè)參數(shù)（α，β，，）;HEAVY3模型中包括四個(gè)參數(shù)（，α，β，）。樣本外數(shù)據(jù)進(jìn)行模型的預(yù)測。以各模型對(duì)5分鐘頻率條件下的上證B股指數(shù)向前一步預(yù)測為例，上證B股指數(shù)的預(yù)測結(jié)果如下圖4-1所示：

圖4-1 上證B股指數(shù)各模型的預(yù)測結(jié)果

由圖4-1可看出5個(gè)模型的波動(dòng)率預(yù)測效果很接近，分辨不出哪個(gè)模型好，因此，需要損失函數(shù)模型判斷模型的優(yōu)劣，需要Diebold-Mariano檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定模型的優(yōu)劣程度。

將各個(gè)模型的預(yù)測值帶入損失函數(shù)模型中得出損失函數(shù)值，損失函數(shù)的值越小，預(yù)測模型效果越好（此時(shí)與預(yù)測值相對(duì)應(yīng)的r^2作為真實(shí)值、對(duì)照值）。最后，通過Diebold-Mariano檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量判斷兩個(gè)模型優(yōu)劣的顯著性水平。

在獲得上述5個(gè)模型的損失值之后，從GARCH模型中找出損失函數(shù)最小值對(duì)應(yīng)的模型代表GARCH模型，同理，HEAVY模型也一樣。匯總了涵蓋滬深兩市代表性的9個(gè)樣本指數(shù)的5分鐘、10分鐘、15分鐘三種交易頻率和向前1步預(yù)測、5步預(yù)測、10步預(yù)測三種預(yù)測幅度的GARCH和HEAVY模型的Diebold-Mariano檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。結(jié)果如下表4-1所示：

（二）結(jié)果分析

通過表4-1中的數(shù)據(jù)可以得出以下結(jié)論：一是就顯著性來說，顯著的都是負(fù)數(shù)，因此，HEAVY模型比GARCH模型的預(yù)測精度明顯更高、更好。二是就1步預(yù)測來看，大部分值是負(fù)數(shù)，除了純滬市指數(shù)的上證綜指和上市A股指數(shù)，因此，對(duì)于各指數(shù)向前1步預(yù)測而言，HEAVY模型的預(yù)測效果明顯比GARCH模型更好。三是就5步預(yù)測來說，除了純滬市指數(shù)的上證綜指、上證A股和上證B股，剩余指數(shù)的DM統(tǒng)計(jì)值幾乎都是負(fù)數(shù)。因此整體來看，還不能確定兩個(gè)模型中哪個(gè)模型更好。但是分開來看，純滬市指數(shù)向前5步預(yù)測，GARCH模型預(yù)測更好，除了純滬市指數(shù)外其他指數(shù)，HEAVY模型預(yù)測效果更好。四是就10步預(yù)測來說，絕大部分的DM統(tǒng)計(jì)值都為負(fù)數(shù)，除了上證B股指數(shù)（不顯著）。因此，對(duì)于各指數(shù)向前10步預(yù)測而言，HEAVY模型的預(yù)測效果明顯比GARCH模型更好，且顯著。五是從交易頻率來看，標(biāo)記“*”的統(tǒng)計(jì)值，大部分處在頻率為10分鐘和15分鐘，僅滬深300指數(shù)的5分鐘、10步預(yù)測的統(tǒng)計(jì)值達(dá)到“*”水平。因此，頻率為10分鐘和15分鐘的HEAVY模型比GARCH模型更加精確，更加顯著。六是通過純滬市指數(shù)的上證綜指、上證A股指數(shù)和上證B股指數(shù)的DM統(tǒng)計(jì)值來看，暫時(shí)還分辨不出兩類模型的優(yōu)劣，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)值有正、有負(fù)，沒有規(guī)律。

五、總結(jié)與建議

（一）總結(jié)

本文通過兩類波動(dòng)率預(yù)測模型GARCH模型（兩種）與HEAVY模型（三種）對(duì)滬深兩市具有代表性的9種指數(shù)進(jìn)行建模分析。文章中另外兩個(gè)維度分別是交易頻率和預(yù)測步長，是為了更好地從縱向和橫向?qū)Ρ鹊贸龈鱾€(gè)模型的優(yōu)劣。本文用前三年的數(shù)據(jù)預(yù)測后三年的波動(dòng)率，再和代替真實(shí)波動(dòng)率的r^2進(jìn)行比較，確定損失值。在參數(shù)估計(jì)和預(yù)測過程中，先通過RV公式計(jì)算出已實(shí)現(xiàn)測度集，分成樣本內(nèi)和樣本外兩部分，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)用于參數(shù)估計(jì)，樣本外數(shù)據(jù)用于波動(dòng)率預(yù)測。然后將各個(gè)模型得出的預(yù)測值帶入損失函數(shù)方程中，得出累積損失值。最后通過Diebold-Mariano檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的正負(fù)值判斷兩類模型預(yù)測精度的優(yōu)劣，通過顯著性水平判斷，確定某個(gè)模型是否比另一個(gè)模型預(yù)測效果明顯要好。主要結(jié)果就是由表4-1得出的6條結(jié)論，整體而言，HEAVY模型比GARCH模型的預(yù)測精度更高，尤其是在10步預(yù)測，10分鐘或15分鐘的頻率下更加顯著，預(yù)測效果更好。

（二）建議

由表4-1可知，除了最后三個(gè)純滬市指數(shù)之外，其他所有指數(shù)的DM統(tǒng)計(jì)量幾乎都是負(fù)值，可以表明HEAVY模型是優(yōu)于GARCH模型的，呈現(xiàn)顯著性的地方更能說明這一點(diǎn)?？墒?，通過最后三個(gè)指數(shù)還得不出哪類模型效果好，在不同的維度下，各有各的薄弱優(yōu)勢，因?yàn)閹缀醵疾伙@著。建議：對(duì)于證券投資者和風(fēng)險(xiǎn)投資者而言，若是目標(biāo)對(duì)象是非純滬市指數(shù)標(biāo)的組合（即上證指數(shù)），則使用HEAVY模型進(jìn)行指數(shù)波動(dòng)率預(yù)測比GARCH模型效果更好，且很明顯，無論處在何種維度條件下，這個(gè)結(jié)論幾乎都成立。改進(jìn)方向：一是擴(kuò)大指數(shù)范圍，再加入滬深兩市、科創(chuàng)板、創(chuàng)業(yè)板、中小板等比較有代表性的指數(shù)進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測。二是擴(kuò)大頻率范圍，再引入20分鐘和30分鐘交易頻率的數(shù)據(jù)。三是加大預(yù)測步數(shù)，由于預(yù)測步數(shù)越長，損失值越大，預(yù)測越不精確，因此只增加一種向前22步預(yù)測即可。四是進(jìn)行數(shù)據(jù)清理，對(duì)發(fā)現(xiàn)極端值的情況下，進(jìn)行閾值約束。

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作者單位：首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)