張 進(jìn) 彭 磊 尹亞東

(中國電建集團(tuán)河北省電力勘測設(shè)計(jì)研究院有限公司, 河北 石家莊 050015)

0 引言

近年來,我國經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展,基礎(chǔ)建設(shè)速度的加快和施工難度的逐漸增大,對工程安全性的要求也是越來越高,如在地質(zhì)環(huán)境脆弱的地區(qū)建設(shè)高層建筑物,在地下水密集的地帶開挖隧道,在建筑物密集的城市中心建設(shè)地鐵軌道交通使得建筑物產(chǎn)生沉降。在工程運(yùn)營的整個過程中需要及時預(yù)測和準(zhǔn)確預(yù)報建筑物的形變量和狀態(tài),這不僅對整個工程的施工和管理至關(guān)重要,也關(guān)系到人民的生命財產(chǎn)安全[1]。

灰色模型可以利用小樣本量和少信息量對不確定的數(shù)據(jù)來進(jìn)行預(yù)測和擬合,并且由于灰色模型具有簡便和可操作性強(qiáng)的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用在多領(lǐng)域的預(yù)測和分析中[2]。傳統(tǒng)GM(1,1)模型對于具有非線性特征趨勢的數(shù)據(jù)沒有較好的預(yù)測效果[3]?；疑珒缒Ｐ蚇GBM(1,1)是傳統(tǒng)GM(1,1)模型的一種重要改進(jìn)模型,灰色冪模型是一種可以擬合和預(yù)測具有非線性特征數(shù)據(jù)序列的模型,它可以通過改變自身的參數(shù)來適應(yīng)不同變化趨勢的數(shù)據(jù)類型[4]。由于灰色冪模型是GM(1,1)模型的拓展形式,所以它具有灰色模型的性質(zhì),可以用“小樣本”和“貧信息”的數(shù)據(jù)來進(jìn)行預(yù)測,此外還在一定程度上擴(kuò)大了灰色模型的適用范圍和精度。本文將灰色冪模型應(yīng)用在基坑監(jiān)測預(yù)報中,并對應(yīng)用過程進(jìn)行分析,與傳統(tǒng)模型進(jìn)行對比。

1 灰色模型的建立

首先,是對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行累加,從第二項(xiàng)開始累加,新的序列的每個值是原始序列的第一個值到新的序列所對應(yīng)的值的累加所得,假設(shè)非負(fù)的原始數(shù)據(jù)序列為:

X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

那么X(0)的一次累加生成序列為:

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

然后,根據(jù)一次累加序列求出背景值序列,背景值生成是在求解灰色模型時,以每相鄰的兩個一次累加序列值取平均值或取兩個一次累加值中間的某一值,假設(shè)Z(1)為X(1)緊鄰均值生成序列:Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)),其中,

z(k)=px(1)(k)+(1-p)x(1)(k-1),
k=2,3,…,n

(1)

p取0到1之間的任意一值,一般情況下取p=0.5,其中Z(1)稱為背景值。

利用累加序列和背景值序列構(gòu)建如下方程:

(2)

稱式(2)為GM(1,1)模型。

2 灰色冪模型

在已經(jīng)得到的灰色GM(1,1)模型作用量b后乘背景值的γ次方,即(z(1)(k))γ,其中γ≠1,得到具有非線性特征的灰色冪模型NGBM(1,1):

(3)

式中,γ為冪指數(shù),可以根據(jù)不同的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)來調(diào)整冪指數(shù)γ,使預(yù)測的精度達(dá)到最優(yōu)。其中,GM(1,1)模型為NGBM(1,1)模型在γ=0時的形式。

灰色冪模型NGBM(1,1)的白化方程的解為:

(4)

它的解變?yōu)?

(5)

設(shè)X(0),X(1),Z(1)如上所述,建立矩陣:

將式(5)化簡成下式:

(6)

(7)

最后,用累加生成的序列和均值序列進(jìn)行計(jì)算后,需要對求解灰色模型得到的新序列進(jìn)行處理,得到其擬合和預(yù)測的數(shù)據(jù)序列,對累加生成的序列進(jìn)行逆運(yùn)算,即累減生成:

(8)

冪指數(shù)γ可以根據(jù)式(4)進(jìn)行迭代求解,除此之外,用優(yōu)化算法也可以求解冪指數(shù)值,優(yōu)化算法中比較常見的有:PSO算法、蟻群算法和遺傳算法等,利用這些算法對求解過程優(yōu)化,以此得到最佳冪指數(shù)值。

3 精度評定

對灰色冪模型的預(yù)測和擬合的精度檢驗(yàn)應(yīng)該使用殘差檢驗(yàn)、后驗(yàn)差檢驗(yàn)這兩種方法。殘差檢驗(yàn)是對每個擬合值和預(yù)測值與原始值求差得出結(jié)果,一般用其平均值來評價整體的擬合預(yù)測效果;后驗(yàn)差檢驗(yàn)是根據(jù)殘差概率統(tǒng)計(jì)方面的特性來對預(yù)測和擬合的結(jié)果進(jìn)行評價。

3.1 殘差檢驗(yàn)

假設(shè)原始的數(shù)據(jù)序列為:

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…x(0)(n))

用灰色冪模型進(jìn)行計(jì)算得到的擬合數(shù)據(jù)序列為:

(9)

每個擬合值的相對誤差為:

(10)

用其相對誤差的平均值來評價整體的精度:

(11)

3.2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

假設(shè)原始的數(shù)據(jù)序列為:

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

它與真實(shí)值的殘差序列為:

Δ(0)(k),k=1,2,…,n

然后分別計(jì)算原始數(shù)據(jù)序列的平均值和殘差序列的平均值可以分別得到:

(12)

(13)

再根據(jù)原始數(shù)據(jù)序列的平均值計(jì)算它的方差可以得到:

(14)

并計(jì)算殘差值的方差:

(15)

計(jì)算兩者之間的比值,得到式(16),稱其為后驗(yàn)差:

(16)

根據(jù)殘差值和其方差分布規(guī)律,計(jì)算得到其小誤差概率:

(17)

根據(jù)C值和P值的大小對模型的擬合精度進(jìn)行評定:

當(dāng)P>0.95,C<0.35時,擬合的精度為一級(優(yōu));

當(dāng)P>0.8,C<0.5時,擬合的精度為二級(合格);

當(dāng)P>0.7,C<0.65時,擬合的精度為三級(勉強(qiáng)合格);

當(dāng)P≤0.7,C≥0.65時,模型擬合的精度為四級(不合格)。

4 工程實(shí)例

某工程基坑挖深至墊層底為-9.6 m,基坑周長約600 m,挖深約4.1～7.6 m。在變形監(jiān)測中,采用獨(dú)立的高程系,按二等水準(zhǔn)測量的方法,對監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行測量,儀器自動記錄觀測數(shù)據(jù);觀測結(jié)束后把觀測數(shù)據(jù)輸入至計(jì)算機(jī)作后處理;使用清華山維高程網(wǎng)嚴(yán)密平差程序,在計(jì)算機(jī)上計(jì)算基準(zhǔn)點(diǎn)高程值。其中環(huán)線閉合差0.4 mm,達(dá)到《建筑變形測量規(guī)范》(JGJ8-2016)級別二級精度要求。為了驗(yàn)證灰色冪模型比灰色模型有更高的擬合和預(yù)測精度,本文取此工程坡頂沉降監(jiān)測WY2號點(diǎn)分別用灰色模型和灰色冪模型進(jìn)行擬合和預(yù)測。以基坑坡頂沉降點(diǎn)WY2號點(diǎn)為例,它的沉降數(shù)據(jù)序列為:

X(0)=[0.22 0.57 0.78 0.89 1.24 1.46 1.63 1.70 1.78 1.99 2.08 2.23 2.38 2.45 2.56 2.62];

不妨取前11項(xiàng)數(shù)據(jù),來預(yù)測后5項(xiàng)數(shù)據(jù)。根據(jù)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行求解,用灰色冪模型來對其進(jìn)行擬合預(yù)測,第一步是要根據(jù)變形監(jiān)測數(shù)據(jù)來求取最佳的冪指數(shù),本文根據(jù)前11項(xiàng)數(shù)據(jù)用等步長試探法求取灰色冪模型的最佳冪指數(shù),以0.01為步長從0到2逐個試探,得到冪指數(shù)取值和相對誤差的關(guān)系,當(dāng)相對誤差最小時的冪指數(shù)值,即待求冪指數(shù)值,相對誤差與冪指數(shù)取值的關(guān)系如圖1所示。

圖1 相對誤差與冪指數(shù)取值關(guān)系

當(dāng)冪指數(shù)γ=0時,灰色冪模型變?yōu)榛疑Ｐ?。從圖1中可以看出,灰色GM(1,1)模型(冪指數(shù)為零時)并非為誤差最小的結(jié)果。當(dāng)相對誤差最小時,冪指數(shù)的取值為γ=0.42。

因此,可以得到灰色模型GM(1,1)模型的白化方程參數(shù)為:

得到灰色冪模型NGBM(1,1),模型白化方程參數(shù)為:

精度檢驗(yàn)的結(jié)果用殘差C和后驗(yàn)差P來對比。其中,殘差C越小,后驗(yàn)差P越大說明精度越好。本文將兩種方法擬合和預(yù)測的結(jié)果繪制成表格和線狀圖,結(jié)果如表1所示。

表1 灰色模型和灰色冪模型擬合預(yù)測對比(基坑監(jiān)測點(diǎn)) 單位:mm

將表1中兩種模型擬合預(yù)測的結(jié)果繪制成線狀圖如圖2所示。

圖2 灰色冪模型與灰色模型擬合預(yù)測對比(基坑監(jiān)測點(diǎn))

根據(jù)結(jié)果可以看出,灰色冪模型NGBM(1,1)擬合預(yù)測精度比灰色模型高,在變形監(jiān)測中對非線性特征的數(shù)據(jù)預(yù)測精度比灰色模型有所提高,在基坑監(jiān)測中的應(yīng)用比較可靠。

5 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)灰色模型GM(1,1)的基礎(chǔ)上,總結(jié)了灰色冪模型NGBM(1,1),并對灰色冪模型的參數(shù)求解過程進(jìn)行了說明,結(jié)合基坑監(jiān)測的特點(diǎn),將其應(yīng)用在基坑監(jiān)測預(yù)報分析中。通過實(shí)驗(yàn)可以看出,灰色冪模型相較灰色模型在預(yù)測精度上有了較大的進(jìn)步。自從灰色系統(tǒng)理論提出以來,灰色模型得到了較大的發(fā)展,多種改進(jìn)和組合模型被提出,提高了數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測的精度,擴(kuò)大了灰色模型的適用范圍?；疑珒缒Ｐ瓦@一理論的出現(xiàn)為灰色系統(tǒng)理論又增添了新的內(nèi)容,豐富了灰色體系統(tǒng)理論體系,灰色冪模型的改進(jìn)與發(fā)展對提高變形監(jiān)測預(yù)報分析的精度有極大的幫助。