◇東華理工大學(xué)理學(xué)院 胡康秀 丁 云 楊 揚(yáng) 魏 艷

正定矩陣是從二次型的正定性中抽象出來(lái)的一個(gè)概念，由于其良好的性能，使其不僅在代數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，同時(shí)在函數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、圖像處理學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)和物理學(xué)等其他學(xué)科中也都有很好的拓展。本文主要從幾個(gè)不同的角度探討正定矩陣的構(gòu)造方法，并給出相應(yīng)的理論原理。

1 引言

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，往往側(cè)重于對(duì)數(shù)學(xué)概念的熟悉、相關(guān)性質(zhì)的理解以及對(duì)解題方法的掌握，而運(yùn)用數(shù)學(xué)原理中構(gòu)造性思維進(jìn)行創(chuàng)新訓(xùn)練不多。正定矩陣是一類(lèi)非常特殊的矩陣，作為對(duì)稱(chēng)矩陣的子類(lèi)，除了具備對(duì)稱(chēng)矩陣可對(duì)角化的性能之外，在矩陣分解理論中也有很好的的結(jié)論。大家在高等代數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中關(guān)注的更多的是正定矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用，但是如何構(gòu)造滿(mǎn)足需求的特殊的正定矩陣也值得大家思考與探究。本文從矩陣運(yùn)算的角度入手，利用相關(guān)性質(zhì)，從三個(gè)方面探究正定矩陣的構(gòu)造思路及方法。

2 對(duì)稱(chēng)矩陣的幾點(diǎn)性質(zhì)

因?yàn)檎ň仃噷儆趯?duì)稱(chēng)矩陣的范疇，為構(gòu)造正定矩陣，下面分別從一般矩陣和對(duì)稱(chēng)矩陣的角度探究對(duì)稱(chēng)矩陣的構(gòu)造方法。依據(jù)【性質(zhì)1】可以由一般矩陣構(gòu)造出對(duì)稱(chēng)矩陣。

如果想在已有對(duì)稱(chēng)矩陣的基礎(chǔ)上構(gòu)造出新的對(duì)稱(chēng)矩陣，那么則下面兩條性質(zhì)是很好的思路和啟發(fā)。

接下來(lái)從矩陣元素、矩陣運(yùn)算及特征值等三個(gè)角度分別給出正定矩陣的構(gòu)造方法。

3 對(duì)稱(chēng)矩陣的三種典型的構(gòu)造方法

（1）元素構(gòu)造法：從矩陣內(nèi)部元素從發(fā)，通過(guò)選取特殊的數(shù)來(lái)構(gòu)造滿(mǎn)足特定需要的正定矩陣。

（2）矩陣運(yùn)算構(gòu)造法：通過(guò)矩陣各類(lèi)運(yùn)算組合構(gòu)造出滿(mǎn)足特定需要的正定矩陣。

（3）特征值構(gòu)造法：特征值是正定矩陣一個(gè)非常直觀的屬性，依據(jù)矩陣運(yùn)算特征值相關(guān)的性質(zhì)來(lái)構(gòu)造出滿(mǎn)足特定需要的正定矩陣。

4 結(jié)語(yǔ)

本文僅僅在數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上探究了正定矩陣的三類(lèi)典型的構(gòu)造方法，在實(shí)際應(yīng)用中，要結(jié)合不同學(xué)科背景以及具體研究目標(biāo)綜合運(yùn)用。