追求平均數(shù)的統(tǒng)計味

朱孟迪

【摘 ? 要】平均數(shù)作為一個統(tǒng)計量，是學(xué)生易學(xué)會用，但對其統(tǒng)計意義卻難以理解的一個數(shù)學(xué)概念。就統(tǒng)計的意義而言，學(xué)習(xí)平均數(shù)是學(xué)生第一次接觸“代表性”;就學(xué)生數(shù)感的發(fā)展而言，學(xué)習(xí)平均數(shù)意味著學(xué)生開始涉及虛擬數(shù)的理解。圍繞“代表”與“虛擬”展開教學(xué)，可以幫助學(xué)生更全面地認(rèn)識平均數(shù)，進(jìn)而積累數(shù)據(jù)分析的相關(guān)經(jīng)驗。

【關(guān)鍵詞】平均數(shù);代表;虛擬;統(tǒng)計

一、現(xiàn)象篇——學(xué)生之現(xiàn)狀

學(xué)生雖然沒有學(xué)習(xí)過平均數(shù)，但經(jīng)常與“平均分”打交道，不少學(xué)生已經(jīng)能用“求和平均”計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。但當(dāng)問及平均數(shù)是不是平均分時，許多學(xué)生果斷地認(rèn)為“是”。可見，學(xué)生頭腦中的平均數(shù)與統(tǒng)計視角下的平均數(shù)是有偏差的。

（一）誤把“平均數(shù)”等同于“平均分”

為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，上課之前，筆者對兩個班65位學(xué)生進(jìn)行了前測，結(jié)果分析如表1。

史寧中教授指出，平均數(shù)的概念有兩個要點：第一，它代表一組數(shù)的整體水平。第二，它具有虛擬的特征。前測表明，學(xué)生簡單地將“平均數(shù)”等同于“平均分”，這是對平均數(shù)的一種片面的理解。學(xué)生對平均數(shù)具有的“代表性”和“虛擬性”一無所知。

（二）誤把“虛擬數(shù)”理解成“具體數(shù)”

為了解學(xué)生是否理解生活中的平均數(shù)，筆者設(shè)計了如下問題：“金灣小區(qū)有80戶家庭，共有私家車120輛，平均每戶家庭擁有1.5輛汽車?！笨磳W(xué)生能否從以下兩個維度來回答問題：（1）代表性——能不能說出1.5輛代表金灣小區(qū)汽車擁有的整體水平;（2）虛擬性——能不能說出1.5輛不是一個真實的數(shù)據(jù)，是因為計算得不到整數(shù)的結(jié)果。訪談中，許多學(xué)生不理解1.5輛的真正含義，最多只能這樣解釋：1.5輛表示“1輛半”汽車。

通過前測、訪談與分析，筆者認(rèn)為平均數(shù)是學(xué)生易學(xué)會用，但對其統(tǒng)計意義卻難以理解的一個數(shù)學(xué)概念——平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，是一個虛擬的數(shù)。

二、思考篇——學(xué)生之困因

（一）縱向——歷史原因

20世紀(jì)80年代以前，中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的平均數(shù)概念，常以典型應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)。隨著時間的推移，平均數(shù)作為統(tǒng)計概念進(jìn)入小學(xué)課程。表2是筆者查閱的我國中小學(xué)教學(xué)大綱和課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)“平均數(shù)”的闡述。

由此可見，在小學(xué)對平均數(shù)的教學(xué)，經(jīng)歷了縱橫兩個方向?qū)λ阈g(shù)平均數(shù)的深入。橫的方向是指平均數(shù)思想的發(fā)展，從利用平均數(shù)估計總數(shù)，到重復(fù)測量取平均數(shù)減少誤差，發(fā)展為平均數(shù)作為總體的代表值，實現(xiàn)了代數(shù)概念到統(tǒng)計概念的飛躍。因此，人們對平均數(shù)的認(rèn)識，受著歷史的影響。

（二）橫向——教材原因

現(xiàn)行教材的編排是否基于“統(tǒng)計視角”呢？筆者查找了四套教材對“平均數(shù)的定義”，進(jìn)行了整理對比（見表3）。

小學(xué)教材對平均數(shù)的定義以“描述性”居多，人教版、北師大版則關(guān)注“用哪個數(shù)字代表這組數(shù)據(jù)”的“找代表”的過程，有些教材還只停留在“算法理解”的層面上，沒有上升到“統(tǒng)計理解”的層次。這給學(xué)生真正領(lǐng)會平均數(shù)的統(tǒng)計意義帶來不利影響。

三、實踐篇——學(xué)生之體驗

平均數(shù)的教學(xué)應(yīng)該包含以下內(nèi)容：平均數(shù)的概念及蘊含的方法與應(yīng)用;平均數(shù)的計算：總數(shù)除以總份數(shù)或者移多補(bǔ)少;平均數(shù)可以代表整體水平，可以用來比較兩組數(shù)的水平，具有統(tǒng)計價值。

（一）自主探索，“交流質(zhì)疑”論虛擬

學(xué)生常以“超常發(fā)揮、正常發(fā)揮、失常發(fā)揮”來描述比賽。那么，如何判定是正常發(fā)揮呢？這就需要用一個數(shù)來代表一組數(shù)據(jù)，平均數(shù)的“代表性”就體現(xiàn)出來了;如果這個數(shù)沒有出來呢？平均數(shù)的“虛擬性”就呈現(xiàn)出來了。

【教學(xué)片段1】感知代表，初識虛擬

師：同學(xué)們請看，小紅在踢毽子，這時體育老師走過來問她：“小紅，你踢毽子的水平怎樣？”小紅看了看自己五次的成績，想：我該用哪個數(shù)來代表這五次踢毽子的水平？又該怎么回答老師呢？如果你是小紅，會怎么說？為什么？

生：5個，因為5出現(xiàn)了兩次。

生：6個，因為6是平均數(shù)。

師：可是6個沒踢出來，那不是騙人嗎？

生：她有這個水平，這是她的正常水平。

生：雖然這5次沒有踢出來，但這不代表她下一次踢不出來。

師：是呀！小紅的水平擺在那里，下一次很有可能踢出的個數(shù)就是6個。

學(xué)生圍繞“小紅該用哪個數(shù)代表這五次踢毽子的水平”展開討論與辨析，可以突出平均數(shù)的代表性。學(xué)生憑借自己的生活經(jīng)驗，能想到用“最大數(shù)或最小數(shù)”來代表不合適，于是就會從5，6，7中選一個代表。選擇代表的過程，就是不斷辨析的過程。很多學(xué)生能借助“計算經(jīng)驗”得到6個最合適。但“6”沒有踢出來，卻要用它來代表這一組數(shù)據(jù)的水平，顯然需要有更“合理的解釋”。此時，平均數(shù)“推斷分析”的功能就顯現(xiàn)出來了——下一次很有可能踢出的個數(shù)就是6個。

（二）借助起點，“自主探究”展虛擬

平均數(shù)是一個“虛擬”的數(shù)，所以平均數(shù)的獲得需要總數(shù)除以總份數(shù)或者移多補(bǔ)少。筆者通過前測與訪談知道多數(shù)學(xué)生能運用這兩種方法。因此，可借助學(xué)生的自主探究，展示這個虛擬數(shù)的“獲得”過程。

【教學(xué)片段2】基于起點，探究虛擬

教師把小紅五次踢毽子的結(jié)果制作成統(tǒng)計圖。請學(xué)生在圖上圈一圈，畫一畫，也可以寫一寫，算一算，表示自己的想法。學(xué)生獨立思考、探究。先完成的學(xué)生可與其他同學(xué)交流，接著全班進(jìn)行交流。

生：（移多補(bǔ)少）把比6多的那些移給比6少的，不多不少，剛剛好。

生：（求和平均）（5+4+7+5+9）÷5=6。

實踐表明，學(xué)生能借助“移多補(bǔ)少”與“求和平均”來得到平均數(shù)這個“虛擬數(shù)”，通過同伴互助與講解，一些不會的學(xué)生也能很快領(lǐng)會這兩種方法。該過程很好地建立了平均數(shù)與平均分之間的聯(lián)系。

（三）數(shù)形結(jié)合，“變與不變”議虛擬

在教學(xué)中，應(yīng)把抽象、靜態(tài)的數(shù)學(xué)問題設(shè)計成有形的活動。統(tǒng)計圖表的靈活使用能使學(xué)生的學(xué)習(xí)事半功倍。

【教學(xué)片段3】在“對比”中理解平均數(shù)的虛擬性

師：同學(xué)們請看（如右圖），這兒有7，這兒也有7，你認(rèn)為這兩個7的意思一樣嗎？為什么？

生：一個是李雷真實的踢毽個數(shù)，一個是平均數(shù)。

師：看來，平均數(shù)與真實的數(shù)會有差別，所以，它常常借助這樣一條虛線。

將平均數(shù)與某個真實數(shù)據(jù)相對比，學(xué)生可以更客觀地認(rèn)識平均數(shù)，感受平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的“整體水平”，它是“移多補(bǔ)少”或是“求和平均”的結(jié)果。因此，它跟組內(nèi)每一個數(shù)據(jù)都有密切的關(guān)系，它能代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。

【教學(xué)片段4】在“數(shù)據(jù)變化”中理解平均數(shù)的虛擬性

師：（課件出示如下圖組）請看男生隊的成績。如果謝明明的成績變成了10個，你認(rèn)為平均數(shù)會變嗎？怎么變？

生：（10+4+7+8+11）÷5=8。

生：10-5=5，5÷5=1，7+1=8。

師：看來，求平均數(shù)的方法還不止一種呀。如果劉東的成績變成6個，你又想到了什么？

……

小結(jié)：經(jīng)過這兩次變化，你對平均數(shù)想說什么嗎？

生：只要一個數(shù)發(fā)生變化，平均數(shù)也會變化。

師：是呀，平均數(shù)非常敏感，會隨著某個數(shù)的變化而變化。如果再加一個同學(xué)陳明，相信平均數(shù)也會發(fā)生變化吧（出示7個）。平均數(shù)變了嗎？為什么又不變了呢？由此你想到了什么？

生：如果增加的數(shù)量與平均數(shù)同樣多，總的平均數(shù)還是不變的。

師：哦，原來如此?？磥?，變與不變還需要我們認(rèn)真地分析數(shù)據(jù)呀。

平均數(shù)是進(jìn)行統(tǒng)計分析和統(tǒng)計推斷時最常用、最主要的集中量數(shù)。實踐表明，學(xué)生理解平均數(shù)的敏感性、虛擬性并非易事。平均數(shù)的敏感性導(dǎo)致它易受極端數(shù)據(jù)的影響。教學(xué)中，直觀圖的呈現(xiàn)讓數(shù)據(jù)的變化更形象，透過平均數(shù)線的上下波動，學(xué)生在變與不變中再一次感悟平均數(shù)的虛擬性。

【教學(xué)片段5】借助小數(shù)，深化對平均數(shù)虛擬性的感悟

師：要是孫奇從4個變?yōu)?個，你覺得平均數(shù)會變嗎？

生：會變，變成7.2。

師：難道踢毽子的個數(shù)會是小數(shù)？有這么稀奇的事情嗎？

師：7.2個是他、是他（指名字）的嗎？那平均數(shù)代表的是什么？（整體水平）是呀，正因為這個平均數(shù)是我們算出來、想出來的，它代表這一組數(shù)據(jù)的整體水平，并不代表某個同學(xué)的踢毽個數(shù)，所以出現(xiàn)小數(shù)是正常的。

師：這讓我想到了一條曾讓我感到稀奇的信息。讀一讀這條信息：金灣小區(qū)住著80戶家庭，共有私家車120輛，平均每戶家庭擁有1.5輛汽車?，F(xiàn)在，你會怎樣理解它？

生：1.5輛是金灣小區(qū)每戶家庭私家車擁有量的代表。

生：這個1.5輛不是真實的車輛，是算出來的，想出來的……

創(chuàng)設(shè)平均數(shù)是小數(shù)的情境，劃清虛擬數(shù)與真實數(shù)的界線，有利于學(xué)生加深對平均數(shù)虛擬性的理解。從實踐效果來看，學(xué)生對平均數(shù)的代表性與虛擬性的理解比較到位，能站在統(tǒng)計的視角分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，進(jìn)而更準(zhǔn)確地描述生活現(xiàn)象。

教學(xué)“平均數(shù)”，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生站在統(tǒng)計的視角認(rèn)識與理解平均數(shù)，幫助他們積累數(shù)據(jù)分析的相關(guān)經(jīng)驗，不應(yīng)該囿于怎樣計算平均數(shù)。透視“代表”與“虛擬”，可發(fā)現(xiàn)學(xué)生之“難”;詮釋“代表”與“虛擬”，可解學(xué)生之“難”。只有透析平均數(shù)的代表性與虛擬性，才能彰顯平均數(shù)的統(tǒng)計味。

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（浙江省慈溪市崇壽鎮(zhèn)中心小學(xué) ? 315300）