史寶軍 程澄 孟原 楊美德 張德權

摘要 為提升嚙合傳動的傳動準確性與平穩(wěn)性，提出了一種改善嚙合傳動性能的策略，分析了接觸參數對嚙合傳動的影響。首先，采用基于赫茲接觸理論的沖擊函數法，推導了接觸力的計算公式;其次，以含有側隙的齒輪傳動為例進行仿真分析，研究了接觸力對傳動準確性及平穩(wěn)性的影響;最后，通過仿真分析及多項式擬合技術，研究了接觸參數對傳動性能的影響，進行了參數的敏感性分析。分析結果表明，較小的接觸力可獲得較為準確及平穩(wěn)的嚙合傳動，對傳動準確性和平穩(wěn)性影響最敏感的參數為接觸剛度，最不敏感的參數為摩擦系數。以嚙合力最小為優(yōu)化目標，通過優(yōu)化擺線針輪及RV減速器中嚙合的接觸參數，獲得了準確又平穩(wěn)的傳動，驗證了所提分析方法的有效性。

關 鍵 詞 接觸力;接觸參數;嚙合傳動;敏感性;擺線針輪

中圖分類號 TH132.4? ? ?文獻標志碼 A

文章編號：1007-2373（2021）06-0023-07

Abstract In order to improve the accuracy and stability of the meshing transmission， a strategy to improve the meshing transmission performance is proposed， and the influence of contact parameters on the meshing transmission is analyzed. Firstly， the impact function method based on Hertz contact theory is used to derive the formula of contact force. Secondly， taking the gear transmission with side gap as an example， the simulation analysis is carried out to study the influence of contact force on the accuracy and stability of the transmission. Finally， through a simulation analysis and polynomial fitting technology， the influence of contact parameters on transmission performance was studied， and the sensitivity of parameters was analyzed. The analysis results show that a relatively accurate and stable meshing transmission can be achieved with a small contact force. The contact stiffness is the most sensitive parameter to the accuracy and stability of the transmission， and the friction coefficient is the least sensitive parameter. Taking the minimum meshing force as the optimization objective， the accurate and stable transmission is obtained by optimizing the contact parameters of cycloidal needle wheel and RV reducer， and the effectiveness of the proposed analysis method is verified.

Key words contact force; contact parameters; meshing transmission; sensitivity; cycloidal needle wheel

0 引言

嚙合傳動在機械領域中十分常見，利用一定形狀的輪廓做相對運動實現動力傳遞，一般使用在傳動設備中。嚙合傳動中最重要的是保證傳動具有良好的平穩(wěn)性及準確性。嚙合傳動中，通過控制傳動過程的振動程度、瞬時傳動比的變化范圍以及實際傳動比相對于理論傳動比的變化范圍，得到性能優(yōu)良的嚙合傳動。嚙合傳動中，影響傳動的平穩(wěn)性及準確性的因素主要是嚙合產生的接觸沖擊，傳動速度越高，接觸沖擊力也越大[1]。

接觸沖擊現象在傳動嚙合過程中常見，沖擊也是造成傳動不平穩(wěn)、不準確的主要因素。文獻[2]建立了齒輪嚙合接觸沖擊模型并提出求解算法，分析了沖擊轉速、沖擊位置對沖擊力及沖擊應力的影響，結果表明沖擊轉速、沖擊位置對沖擊力的影響較大。

文獻[3]利用一種非線性有限元方法模擬了齒輪的接觸特性，提出可以減少表面接觸疲勞破壞的微觀幾何形狀，經過微觀幾何形狀修正的齒輪已經成功應用在汽車變速器中。文獻[4]利用有限元分析軟件分析了輪齒之間的接觸，分析了圓柱直齒齒輪的接觸力、輪齒變形及嚙合剛度的變化。文獻[5]提出了一種綜合考慮嚙合傳動條件及齒輪形狀參數多種因素的接觸有限元分析方法。

嚙合傳動過程中材料、物理參數的變化都十分復雜，為了更加準確又高效地分析嚙合傳動過程，需要建立分析模型。文獻[6]基于材料在彈性階段到塑性階段的變化是連續(xù)光滑的假設下，提出了一種新型的粗糙表面彈塑性微觀接觸模型。文獻[7]推廣了一種用于接觸模型建模的靜態(tài)模態(tài)切換方法，該方法的精度與全模態(tài)加靜態(tài)增強的方法具有相同的精度，提高了求解效率。文獻[8]建立對數螺旋斜齒輪三維模型和嚙合模型，對嚙合角速度和切向接觸力進行仿真，仿真結果表明：與常規(guī)螺旋斜齒輪相比，對數螺旋斜齒輪的傳輸穩(wěn)定性較好。文獻[9]基于分形理論和赫茲接觸理論建立含有微凸體的圓柱齒輪滑動摩擦接觸力學模型，在載荷一定的條件下，發(fā)現微凸體的分形維數和特征尺度對接觸面積存在影響。文獻[10]建立了結合面法向靜、動態(tài)接觸模型，得到接觸剛度和接觸阻尼參數，利用泰勒公式對靜態(tài)接觸載荷和接觸剛度展開，得到動態(tài)載荷下的能量損耗。文獻[11]建立了三維機械結合面切向分形接觸剛度的理論模型，為表面接觸的動力學研究提供了基礎。

分析傳動性能的目的是將嚙合傳動理論用于分析實際工程中，并對工程問題進行優(yōu)化。文獻[12]通過數值模擬手段獲得了減變速一體化齒輪動態(tài)接觸軌跡，進而研究了節(jié)圓參數和安裝誤差對齒面接觸的影響規(guī)律及接觸應力分布。文獻[13]利用接觸理論分析了動車組牽引螺旋齒輪在多種工況下的接觸情況，通過對齒輪基本參數的優(yōu)化，通過減小齒輪接觸應力的方式改善了齒輪嚙合沖擊，提高了齒輪傳動性能。

國內外研究大都針對嚙合傳動中的齒輪傳動情況進行接觸分析，其分析對改善齒輪傳動性能具有重要意義。但是，對于擺線針輪等特殊的嚙合傳動研究較少，因此本文從嚙合傳動中的接觸力角度出發(fā)對嚙合傳動進行分析，使其結果對于提升特殊的嚙合傳動性能具有重要意義。建立基于赫茲接觸理論的沖擊函數，借助多體動力學軟件進行運動仿真，研究嚙合傳動中接觸力和傳動情況之間的關系以及接觸參數與傳動情況之間的關系，獲得傳動優(yōu)良的接觸條件。

1 赫茲接觸理論與沖擊函數法

1.1 赫茲接觸理論

赫茲接觸理論在彈性力學范圍內揭示了法向接觸力[FK]的大小和接觸變形[δ]之間的關系，即研究彈性接觸問題。彈性接觸示意圖如圖1所示：半徑為[r]的球A與地面B接觸，產生彈性變形[δ]和法向彈性力[FK]，赫茲接觸理論描述彈性碰撞力[FK]的大小和接觸變形[δ]之間的關系為

1.2 沖擊函數法

赫茲接觸理論是純彈性接觸理論，未考慮摩擦兩物體之間的能量損耗。若考慮接觸物體之間的能量損耗計算兩接觸物體之間接觸力的大小則有兩種計算方法[14]：補償法和沖擊函數法。為了更好的探究彈性部分、阻尼部分對接觸力、傳動的影響，本文利用沖擊函數法計算兩物體之間的接觸，沖擊函數由彈性力部分和阻尼力部分兩部分組成，可以研究線接觸情況?；诤掌澖佑|理論的沖擊函數的表達式[15]為：

2 接觸力與接觸參數對傳動性能的影響

為了探究接觸力與嚙合傳動之間的關系及接觸參數與嚙合傳動之間的關系，建立含有側隙的齒輪三維模型。本次研究采用一對齒輪嚙合，小齒輪齒數[Z1=9]，大齒輪齒數[Z2=27]，模數[m=1.5]。電機驅動加在小齒輪上，轉速設置為[n1=1 500 rmin]。本次研究的接觸參數有接觸剛度、接觸阻尼，穿透深度及摩擦系數。

2.1 接觸力

利用ADAMS對齒輪嚙合傳動進行仿真，通過調整嚙合傳動過程中接觸力的大小，得到不同數值接觸力下的輸出速度特性樣本，求解樣本的均值和標準差，利用多項式曲線擬合數據，獲得接觸力均值與輸出速度均值之間的關系，以及接觸力均值與輸出速度標準差之間的關系，分別如圖2a）和圖2b）所示，圖中實線為離散樣本點的擬合曲線。

由圖2a）可知，接觸力增大，輸出速度均值與理論值的誤差越大，即接觸力越小，傳動越準確。由圖2b）可知，接觸力增大，輸出速度的標準差越大，即接觸力越小，傳動越平穩(wěn)。因此，較小的接觸力可以使得嚙合傳動更準確、更平穩(wěn)。

2.2 接觸剛度

接觸剛度影響彈性力的大小，從而影響了接觸力的大小。對式（1）進行變形可得

即接觸剛度

通過仿真獲得了接觸剛度與輸出速度均值之間的關系以及接觸剛度與輸出速度標準差之間的關系，分別如圖3a）和圖3b）所示，圖中實線為離散數據點的擬合曲線。

由圖3a）可知，隨著接觸剛度的增加，輸出速度均值與理論值的誤差越來越大，較小的接觸剛度可獲得較為準確的傳動。由圖3b）可知，隨著接觸剛度的增加，輸出速度的標準差越來越大，接觸剛度的增加，使得輸出速度數值越離散。因此可以得出：較小的接觸剛度可獲得較為平穩(wěn)的傳動。

根據式（2）可知，接觸剛度與接觸法向力之間的關系為正相關，接觸剛度減小，接觸法向力減小，接觸合力減小。根據對接觸力與輸出速度均值和接觸力與輸出速度標準差之間的關系研究，可知較小的接觸力可以獲得準確又平穩(wěn)的傳動。因此，嚙合傳動中，較小的接觸剛度可得到較小的接觸法向力，進而得到較小的接觸力，最終可獲得準確又平穩(wěn)的傳動。

由式（6）可知，接觸剛度的大小與接觸物體的材料性質和曲率半徑有關系。在滿足使用條件的前提下，選擇曲率半徑小的齒形參與接觸可得到平穩(wěn)及準確的傳動。在接觸物體曲率半徑無法進行改變的情況下，合理的選擇材料參數同樣也可以提升傳動性能。根據各材料參數[16]可知，碳素低合金鋼里推薦使用25鋼，合金結構鋼里推薦使用18Cr2Ni4W鋼，冷變形鋼里推薦使用53CAS鋼，耐蝕鋼里推薦使用1Cr18Ni9鋼，鑄鐵、鋼里推薦使用HT100，有色金屬里推薦使用ZCuSn5Pb5Zn5。

2.3 接觸阻尼

沖擊函數中阻尼力部分涉及接觸阻尼。接觸阻尼的計算公式為

式中：[a]為彈性恢復系數，一般由實驗測定;[U]為碰撞速度;[n]為非線性指數。

通過仿真獲得了接觸阻尼與輸出速度均值之間的關系以及接觸阻尼與輸出速度標準差之間的關系，分別如圖4a）和圖4b）所示，圖中實線為離散數據點的擬合曲線。

根據圖4a）可知，隨著接觸阻尼增大，輸出速度的均值與理論值得誤差越來越小，接觸阻尼的增大可獲得較為準確的傳動。根據圖4b）可知，接觸阻尼增大，輸出速度的標準差越小，較大的接觸阻尼可獲得較為平穩(wěn)的傳動。

當兩物體進行碰撞時，碰撞前后的接觸法向速度方向不變的話，式（2）兩物體接觸時，接觸法向力是彈性部分與摩擦部分相加的形式;當兩物體進行碰撞時，碰撞前后的接觸法向速度方向相反的話，式（2）兩物體接觸時，接觸法向力是彈性部分與摩擦部分相減的形式。在嚙合傳動中，主動件與從動件之間進行碰撞時，碰撞前后的接觸法向速度是相反的，因此式（2）為差的形式，接觸阻尼與接觸力之間的關系為負相關，接觸阻尼增大，接觸法向力反而會減小，接觸力會減小，會獲得準確又平穩(wěn)的傳動。文獻[17]提出，改善接觸阻尼最具有可行性的方法是在結合面注入合適的介質，介質的粘度越高，接觸阻尼越大。

2.4 穿透深度

穿透深度是接觸時物體產生的最大變形深度。通過仿真獲得了穿透深度與輸出速度均值之間的關系以及穿透深度與輸出速度標準差之間的關系，分別如圖5a）和圖5b）所示，圖中實線為離散數據點的擬合曲線。

由圖5a）可知，穿透深度增加，輸出速度均值增加，在0.15 mm之后有下降的趨勢。由圖5b）可知，穿透深度增加，輸出速度數值越來越離散，傳動越不平穩(wěn)。

根據式（5）可知，力指數為1.5，由式（2）可知，穿透深度與接觸法向力之間的關系呈正相關。因此較小的穿透深度可獲得較小的接觸法向力，進而可獲得較小的接觸力，最終可獲得較為準確又平穩(wěn)的傳動。因此，其它條件相同的情況下，盡可能選擇接觸時穿透深度較小的材料作為嚙合傳動的零件材料。穿透深度與材料的硬度相關，為提升傳動性能可選用硬度較高的材料參與接觸。

2.5 摩擦系數

兩零件嚙合過程中，由于零件之間產生相對運動，產生摩擦，因此需要在兩零件之間加入潤滑劑，降低兩物體之間的摩擦系數。摩擦系數的大小會影響嚙合傳動之間的接觸力的大小，從而對嚙合傳動產生一定的影響。

通過仿真獲得了摩擦系數與輸出速度均值之間的關系以及摩擦系數與輸出速度標準差之間的關系，分別如圖6a）和圖6b）所示，圖中實線為離散數據點的擬合曲線。

由圖6a）可知，隨著摩擦系數的增大，輸出速度的均值與理論值之間的誤差越來越小。由圖6b）可知，摩擦系數增大，輸出速度的標準差呈下降趨勢。因此，較大的摩擦系數可獲得較為準確和平穩(wěn)的傳動。摩擦系數增大，即潤滑性能越來越差，因此，嚙合傳動過程中，在滿足潤滑性能的條件下，盡可能選擇較大的摩擦系數。

2.6 敏感性

通過敏感系數評價各個參數對嚙合傳動的影響，敏感系數的計算[18]如式（8）所示：

式中：[f（XL）]表示因素變化后的計算結果;[f（X）]表示因素變化前的計算結果;[XL]表示敏感性因素變化后的數值;[X]表示敏感性因素變化前的數值。

根據多體動力學仿真數據，計算影響傳動平穩(wěn)性的各個參數的敏感系數，并取敏感系數的最大值作為參數的敏感度。

根據表1，對傳動準確性的影響最敏感的參數為接觸剛度，其余依次為接觸阻尼、穿透深度，最不敏感的參數為摩擦系數;對傳動平穩(wěn)性影響最敏感的參數為接觸剛度，其余依次為穿透深度、接觸阻尼，最不敏感的參數為摩擦系數。

3 應用

3.1 擺線針輪傳動

擺線針輪傳動是嚙合傳動的一種，通過擺線輪和針齒之間的嚙合實現動力傳動，被廣泛應用在工業(yè)機器人精密減速器中。本次研究的一齒差擺線輪針齒模型如圖7所示，擺線輪齒數39，針齒數為40，傳動比為39，輸入偏心角速度為[2 900 °s]，針齒殼固定，理論上應該獲得的擺線輪公轉速度即輸出角速度為[74.380 °s]，由于角速度為偏心角速度，所以獲得的輸出角速度具有正弦周期性。

通過對影響傳動性能的接觸參數研究，以接觸力最小為優(yōu)化目標，對擺線針輪傳動中的接觸剛度、阻尼、穿透深度及摩擦系數進行優(yōu)化，并對優(yōu)化前與優(yōu)化后的擺線針輪之間的嚙合傳動分別進行仿真，獲得了優(yōu)化前與優(yōu)化后擺線輪輸出角速度隨時間的變化情況，如圖8所示。

通過對接觸參數的優(yōu)化，獲得了優(yōu)化后的輸出速度特性，從圖8中可以看到，優(yōu)化后的輸出速度更加接近正弦函數，且傳動期間比較平穩(wěn)，較優(yōu)化前的嚙合沖擊較少。因此，優(yōu)化后可得到更加平穩(wěn)又準確的傳動。

3.2 RV減速器

RV減速器廣泛應用在工業(yè)機器人關節(jié)處，其由2級減速組成：第1級為行星齒輪減速，第2級為擺線輪針齒減速。RV減速器的傳動原理如圖9所示。

建立RV減速器的三維模型，輸入軸速度[9 000 °s]，負載轉矩[774 Nm]，以接觸力最小為優(yōu)化目標，優(yōu)化RV減速器兩級減速中的接觸參數，對優(yōu)化后的RV減速器傳動進行仿真，獲得了優(yōu)化后的兩級傳動角速度隨時間的變化情況，如圖10所示。

在整個傳動周期，兩級減速的角速度都很平穩(wěn)，傳動過程無沖擊。根據傳動原理的相關理論可分別計算出每一級減速后的角速度，并與仿真結果進行比較，比較結果見表2。

由表2可知，理論計算結果與仿真結果相對誤差較小，傳動的準確性較高。通過優(yōu)化接觸參數優(yōu)化RV減速器的兩級減速，可獲得較平穩(wěn)又準確的傳動。

4 總結與結論

本文基于赫茲接觸理論的沖擊函數法，對含有側隙的齒輪傳動進行運動學仿真分析，研究了接觸力等接觸參數對嚙合傳動準確性及平穩(wěn)性的影響，分析了各主要參數對嚙合傳動性能的敏感性，并將主要結論推廣應用于擺線輪針齒嚙合傳動。

1）基于赫茲接觸理論的沖擊函數法描述嚙合傳動中的接觸力，通過運動學仿真獲得接觸力和輸出速度之間的關系，嚙合零件間的接觸力越大，輸出速度的準確性越差，傳動平穩(wěn)性越差。

2）影響接觸力大小的因素有接觸剛度、接觸阻尼、穿透深度、摩擦系數，通過模擬仿真驗證了主要接觸參數對嚙合傳動的影響。結果表明，較低的接觸剛度、較大的接觸阻尼、較小的穿透深度、較大的摩擦系數，會使嚙合傳動更加準確及平穩(wěn)。

3）根據嚙合傳動仿真結果，對影響嚙合傳動性能的參數進行了敏感性評價，發(fā)現對傳動準確性和平穩(wěn)性的影響最為敏感的是接觸剛度，最不敏感的是摩擦系數。

4）將主要結論應用在擺線針輪傳動及RV減速器的兩級減速中，以接觸力最小為優(yōu)化目標優(yōu)化接觸參數，獲得了較為平穩(wěn)及準確的傳動。

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