廣東省東莞市麻涌中學(523130)吳貞霞

對于廣義Fibonacci 數(shù)列的通項表示一般有三種方法,使用最多的便是采用特征方程或采用發(fā)生函數(shù)求解而得[1-5],其次還有不少學者采用類似文獻[1]的行列式表示方法,且方法具有一般性.然而筆者發(fā)現(xiàn)很少有人采用組合分析法表示廣義Fibonacci 數(shù)列通項,是否存在這樣的表示方法呢?答案是肯定的,本文將采用組合分析法給出二階廣義Fibonacci數(shù)列的通項公式,并且進一步采用組合分析法研究了高階廣義Fibonacci 數(shù)列通項表示法.

1 準備

定義1數(shù)列Fn若滿足Fn+1=uFn+vFn?1(u,v ∈+),F0=0,F1=1,則稱數(shù)列Fn為二階廣義Fibonacci 數(shù)列.我們熟知的Fibonacci 數(shù)列實則當u=v=1 的情況.

定義2數(shù)列Fn若滿足Fn=u1Fn?1+u2Fn?2+u3Fn?3,F0=0,F1=0,F2=1,則稱數(shù)列Fn為三階廣義Fibonacci 數(shù)列.

定義3數(shù)列Fn若滿足Fn=u1Fn?1+···+ukFn?k,F0=0,···,Fk?2=0,Fk?1=1,則稱數(shù)列Fn為k階廣義Fibonacci 數(shù)列.

2 主要結論及證明

定理1若數(shù)列Fn為二階廣義Fibonacci 數(shù)列,則.

證明(用組合分析法進行證明)設G(n)表示一個司機要行駛到第n個城市的方法總數(shù),規(guī)定

1.相鄰兩個城市間有u條路線可選擇,稱之為1 路.任意間隔一個城市的兩個城市間有v條路可選擇,稱之為2 路,且2 路均不經(jīng)過中間那個城市.

2.司機從第i個城市開至i+1 或開至i+2 個城市時都必須停車加油后才能繼續(xù)前進.

3.司機每次加油后只能行駛1 個2 路,或行駛1 個1 路.

顯見G(1)=1,G(2)=u,且

令G(0)=0,則

因此數(shù)列(2)與二階廣義Fibonacci 數(shù)列有相同的初始值和相同的遞推關系,從而可知G(n)=Fn(n=0,1,2,···).

事實上,我們還可以采用數(shù)學歸納法證明.這類二階廣義Fibonacci 數(shù)列在現(xiàn)實生活中有著數(shù)學建模的作用,并且更加貼近生活.對其研究就顯得更加重要了.我們將上述定理證明過程中的模型簡單地應用于該類數(shù)列的性質(zhì)定理,易得以下若干結論.

定理2若數(shù)列Fn為二階廣義Fibonacci 數(shù)列,則

Fm+n=FmFn+1+vFm?1Fn.

證明由定理1 證明過程中的模型,Fm+n表示司機到達第m+n個城市的線路總數(shù),則我們可將其分類,即司機恰好在第m個城市加油的路線總數(shù)為FmFn+1,而恰好不在第m個城市加油的路線總數(shù)為vFm?1Fn,故Fm+n=FmFn+1+vFm?1Fn,證畢.

例1數(shù)列Fn二階廣義Fibonacci 數(shù)列,且滿足u=2,v=3,求數(shù)列通項公式(采用組合分析法表示)

自然會問,對于高階廣義Fibonacci 數(shù)列的通項是否也能采用組合分析法進行表達呢?

本文所給出的結論均是在初始值給定的情況下而得,其實對于任意的初始值都能用組合分析法得出相關結論,只需要將上述的模型中改變前k個城市的路線數(shù)量即可,此處從略.

3 小結

采用組合分析法不僅給出了二階廣義Fibonacci 數(shù)列的通項公式,還進一步研究了高階廣義Fibonacci 數(shù)列通項公式.