共軛梯度算法在振動信號處理中的應用

李琪琪，莊 建，王智超，張國慶

(北京航天試驗技術研究所，北京 100074)

0 引言

在液體火箭發(fā)動機試驗過程中，當出現異常頻率振動時，由于能量集中，很容易使發(fā)動機破壞，如出現在渦輪泵轉動頻率附近的“次同步”振動，可在十分之幾秒內使渦輪泵軸承毀壞[1]?？梢?，發(fā)動機試驗振動參數的測量及數據的有效分析對于保證發(fā)動機不受損壞，預防試驗破壞性具有一定的意義[2]。

目前液體火箭發(fā)動機試驗振動信號的處理、分析主要在頻域進行[3]，分析多用傅里葉變換的譜估計方法[1]，這種方法有著分辨率低和旁瓣泄漏嚴重的固有缺點，嚴重時會將振動信號中包含的主要頻率特征掩蓋，而產生較大的失真。而現代譜估計方法可以有效地解決這個問題，現代譜的精確估計值可以當作是解一組線性方程，AR(auto—regressive)、MA和ARMA是功率譜中的主要參數模型。AR參數模型譜估計是現代譜估計中最常用的時間序列的建模方法，目前已廣泛應用于很多領域，如雷達、聲納、機械等。

在每種模型的建立中，其核心問題是其參數的求解問題。在本文中用共軛梯度算法以及線性預測的知識來求解參數，實現功率譜估計[4]。共軛梯度法是一種具有低計算復雜度和高計算效率的參數計算方法[5]。

對基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法進行了實驗數據仿真分析，并用試驗數據進行了驗證。與傳統(tǒng)的經典譜估計算法相比，本文的算法具有更好的分辨率。

1 基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法

1.1 AR模型概述

對于一個AR模型，其中輸入是白噪聲u(n)，輸出是x(n)，可表述為[6-9]

(1)

(2)

一個p階的AR模型共有p+1個參數，即σ2和a1,a2,…，ap。AR模型參數的估計是通過求解自相關矩陣方程得到的[10]，本論文中將共軛梯度算法和線性預測的算法應用到AR模型譜估計中，得到參數后將其代入式(2)即可得到x(n)的功率譜。

1.2 共軛梯度算法

共軛梯度算法的迭代公式如下[11-12]。

(3)

w(n)=w(n-1)+α(n)p(n)

(4)

(5)

(6)

p(n+1)=g(n)+β(n)p(n)

(7)

式中：x(n)為信號輸入量；R(n)為輸入信號x(n)的自相關矩陣。式(3)～式(7)中，初始條件為w(0)=0,g(0)=b(0),b(0)=1,p(1)=g(0)，λf=0.999 9，η=0.999，M=70，M=p，N=1 024。在求解過程中設初值如下R(0)為一個N×N的0陣；g(0),b(0),p(1)為M×N的全1陣，最后通過迭代求出w(n)，即式(2)中的p個參數a1,a2,…,ap。

1.3 線性預測算法

一個p階的AR模型和一個p階的線性預測器是等效的。線性預測器誤差能量的均值記為l，p階預測器對輸入x(n)預測的最小均方誤差lmin為[13-14]

(8)

對同一平穩(wěn)隨機信號x(n)，因為其自相關函數是相同的，所以有

(9)

這樣便用線性預測的算法求出了AR模型激勵白噪聲方差σ2，再由共軛梯度算法式(3)～式(7)求出p個參數ak，將這p+1個參數代入式(2)中即實現了信號x(n)的功率譜估計。

2 MATLAB算法仿真

2.1 仿真方案與條件

利用MATLAB仿真標準正弦信號，并加入白噪聲干擾信號。分別用經典譜估計算法中的直接法和基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法對仿真的標準信號進行功率譜估計仿真分析。這樣，在知道被測信號的頻率特性的前提下，分別用不同的功率譜估計算法對信號進行頻率特性分析，通過仿真結果可以驗證兩種譜估計方法的性能[15-18]。

仿真條件1：設信號采樣率為25 kHz，信號為主頻為2 kHz和4 kHz的標準正弦信號疊加，并加入白噪聲。在信噪比(SNR)為10 dB的條件下對兩種算法進行仿真分析比較，算法仿真如圖1和圖2所示。可以看出，在信噪比SNR=10 dB的情況下，基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法估計出的功率譜曲線要比經典法估計出的曲線平滑得多，后者譜線更清晰，分辨率優(yōu)于前者，能更好地顯示信號頻率特性。

圖1 SNR=10 dB，標準信號經典功率譜估計算法Fig.1 SNR=10 dB,classical power spectral estimation algorithm for standard signals

圖2 SNR=10 dB，標準信號基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法Fig.2 SNR=10 dB,spectral estimation algorithm based on conjugate gradient and AR model for standard signals

仿真條件2：設信號采樣率為25 kHz，信號為主頻為2 kHz和4 kHz的標準正弦信號疊加，并加入白噪聲。在信噪比為—10 dB的條件下對兩種譜估計算法進行仿真分析比較，算法仿真如圖3和圖4所示?？梢钥闯觯谛旁氡萐NR=—10 dB的情況下，基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法可以清楚地分辨出信號的主頻特性，譜線也要比經典法平滑得多。經典功率譜估計方法已經不能有效地分辨出信號的主頻特性。可見，在低信噪比的情況下，本文的算法仍然保持了較好性能，明顯優(yōu)于經典譜估計方法。

圖3 SNR=—10 dB，標準信號經典功率譜估算法Fig.3 SNR=—10 dB,classical power spectral estimation algorithm for standard signal

圖4 SNR=10 dB，標準信號基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法Fig.4 SNR=—10 dB,spectral estimation algorithm based on conjugate gradient and AR model for standard signal

2.2 試驗數據驗證

對液氧甲烷發(fā)動機第XX次試驗中氫泵軸向振動信號進行頻率特性分析，分析結果如圖5和圖6所示。從仿真結果可以看出，圖6的基于共軛梯度算法和AR模型譜估計方法估計的功率譜曲線要比圖5經典法估計出的功率譜分辨率好，能較好地反映振動信號的頻率特征，譜線也平滑很多。

圖5 試驗信號經典功率譜估算法Fig.5 Classical power spectral estimation algorithm for test signals

圖6 試驗信號基于共軛梯度和AR模型的譜估計算法Fig.6 Spectral estimation algorithm based on conjugate gradient and AR model for test signals

3 結論

液體火箭發(fā)動機的結構特性是通過振動信號測量處理和分析得到的，本文將共軛梯度算法和AR模型的譜估計算法應用于液體火箭發(fā)動機試驗的振動信號處理中[19]，對算法進行了仿真分析并與傳統(tǒng)的經典功率譜估計算法進行了性能比較。仿真結果表明：AR模型的分辨率和隨機信號x(n)的信噪比有著密切的關系，隨著信噪比的降低，算法性能會下降，但要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的譜估計算法。在信噪比為-10 dB的仿真環(huán)境下，經典譜估計方法已經不能有效分辨信號的頻率特征，而基于共軛梯度和AR模型譜估計算法仍能較好地分辨出已知信號的特征頻率，算法性能好。經典功率譜估計的分辨率反比于有效信號的長度，但現代譜估計的分辨率可以不受此限制[20]。在實際試驗信號處理中，基于共軛梯度和AR模型譜估計算法的譜線依然具有較好的分辨率和平滑性。