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(南京航空航天大學航天學院,江蘇 南京 210016)

0 引言

跳躍運動是自然界中常見的動物運動方式。受到動物和人類跳躍運動敏捷性的啟發(fā)，越來越多的國內外研究者開始研究跳躍運動并著手開發(fā)了各種各樣的跳躍機器人。跳躍機器人的基本設計原理，是通過能量的積蓄在跳躍階段完成快速的釋放，短時間內克服機器人本體的重力勢能，完成跳躍。跳躍的運動方式具有良好的越障功能，拓展了機器人的探索范圍，在野外偵查、深空探測等領域有著廣闊的應用前景。

跳躍機器人的分類方式有很多。依照產生跳躍的能量來源，跳躍機器人驅動方式可以分為機械能驅動、化學能驅動和場力作用等。利用機械彈性能的機器人常采用的是利用彈性元件和鎖死釋放機構結合完成能量儲存釋放[1-2]?；瘜W能驅動利用化學反應過程中伴隨著的能量變化，以及化學產物的生成，通過氣體膨脹或者產生的熱能進行驅動[3-4]。場力驅動的跳躍機器人往往是微小型的，利用如電磁場作用實現(xiàn)跳躍[5]。依據跳躍方式可以分為連續(xù)跳躍和間隔跳躍。連續(xù)跳躍機器人在完成一次跳躍之后馬上進行下一次跳躍過程，這樣可以利用上一次跳躍落地之后的動能等，提高能量的利用，但增加控制難度，對復雜跳躍環(huán)境的適應能力弱[6]。間隔跳躍的機器人在每次跳躍之間有時間間隔，往往可以進行姿態(tài)或者方向上的調整，設計難度相對較低，但是落地過程有大量能量浪費。

利用彈性元件儲能實現(xiàn)跳躍功能具有結構簡單、可靠性高和技術成熟等優(yōu)點，而間隔式跳躍雖然有能量浪費，但是設計難度和控制難度都較小，具有較好的實用性。因此，項目組設計了一種具有間隔跳躍的機械能驅動跳躍機器人。

本文將進行該跳躍機器人的動力學分析，從機器人的結構和執(zhí)行元件出發(fā)，目標是為了獲得機器人的運動特點，了解機器人的運動性能，分析跳躍過程以及影響跳躍的因素，獲得跳躍結果與控制量之間的關系[7-8]，從而提高機器人越障能力。

1 跳躍機器人結構設計

本文設計的跳躍機器人是一種利用壓縮彈簧進行跳躍的機器人，機器人的結構如圖1所示。

圖1 跳躍機器人結構

該機器人由外殼框架和內部跳躍結構組成。外殼框架為多邊形鏤空結構，跳躍時，支撐腿從鏤空孔伸出，接觸地面完成跳躍。跳躍機構由跳躍支撐桿、儲能彈簧、嚙合齒輪、驅動電機、連接板和單向軸承等部分組成。彈簧彈性勢能的儲存和釋放機構，由齒輪和單向軸承組成，實現(xiàn)該過程的原理是利用單向軸承內外圈正反轉運動狀態(tài)的不同，控制齒輪嚙合和分離的不同狀態(tài)。結構中的能量輸出由2個電機負責：一個電機用于儲能過程，拉動齒輪轉動；另一個電機控制整個內部跳躍結構相對于地面的角度，通過調向機構，該機器人可以精確調整起跳角度。所設計的機器人基本參數如表1所示。

表1 機器人結構基本參數

2 跳躍機器人動力學分析

2.1 跳躍過程動力學建模

依據跳躍中機器人所處的位置狀態(tài)，跳躍過程可以分為起跳過程、滯空過程和落地過程。

2.1.1 起跳過程

為了獲得更清晰的機器人運動過程，沿跳躍支撐腿軸線所在平面對機器人結構進行剖視，獲得如圖2所示的簡化結構。機器人的有效運動部分有2個:一個是可以改變內部跳躍結構相對地面夾角的轉向結構P;另一個是可以在設定長度內進行壓縮拉伸的彈簧結構Q。按照跳躍支撐腿相對于初始狀態(tài)的位置，起跳過程又分為以下3個階段。

a.第1階段為彈跳支撐腿自由伸長階段。在彈簧鎖定機構打開之后，如圖2a所示，彈簧推動跳躍支撐腿沿彈簧的軸線方向運動，直至跳躍支撐腿末端接觸地面，達到圖2b所示的狀態(tài)。鎖定結構打開之后，彈簧將處于可以伸展的狀態(tài)，支撐腿接觸地面的一端為自由端，彈簧會在這個方向上伸展。這個過程中，設彈簧長度由完全壓縮情況下的rmin伸長至接觸地面時的長度rtouch。當彈簧原長為r0，彈性系數為k，機器人整體的質量為M，跳躍支撐腿的質量為m時，接觸瞬間支撐桿獲得的能量為

(1)

整個過程理想地認為彈簧的彈性勢能完全傳遞給一端自由的跳躍支撐腿，且不會對機器人產生影響。

b.第2階段為跳躍腿與地面碰撞的過程。其發(fā)生在跳躍腿與地面的撞擊過程，支撐腿的動量通過撞擊的方式改變了方向，與此同時，支撐桿的一端接觸地面，彈簧的另一端作用在球形機器人本體上，推動機器人本體向上運動。因為跳躍支撐腿在自由伸長階段變化的長度很小，跳躍支撐腿獲得的動能很少，若假設該碰撞過程為純彈性碰撞，則支撐腿的動能會在之后的階段轉化為機器人的動能。

c.第3階段為機器人球形本體起跳的過程，如圖2c所示。該過程持續(xù)直至機器人完全脫離地面，從而進入之后的滯空過程。為了分析該過程中機器人的動力學狀況，可以將機器人抽象為雙質點彈簧模型，如圖3所示。

圖2 起跳過程彈簧狀態(tài)變化

圖3 雙質點起跳模型

本文依據拉格朗日方程建立跳躍機器人起跳過程的動力學模型，首先假設跳躍支撐腿在起跳的過程中不發(fā)生滑動，在起跳過程中，彈簧推動機器人本體向上運動，同時在重力的作用下，機器人與地面的夾角也會發(fā)生變化，這里取系統(tǒng)的廣義坐標為彈簧的長度r和機器人跳躍腿與地面的夾角θ，系統(tǒng)的動能T為機器人本體的動能，系統(tǒng)勢能為彈簧勢能與機器人本體重力勢能之和，則有：

(2)

(3)

機器人本體的質量為M；跳躍腿的質量為m；機器人與地面起跳的夾角為θ；跳躍過程中彈簧的長度為r；彈簧的原長為r0。已知拉格朗日量L=T-V滿足方程

(4)

qα為系統(tǒng)的廣義坐標系r和θ；Qα為系統(tǒng)的廣義力。不受其他外力影響的情況下，機器人的廣義力為0，代入可得

(5)

得到系統(tǒng)的動力學方程為

(6)

為求解上述微分方程的值，需要分析系統(tǒng)的邊界值。

在起跳結束的瞬間，因為機械結構的影響，機器人本體與跳躍支撐腿的速度會保持一致，也就是說，在那一瞬間，機器人本體的動能會分散到原本并沒有運動的跳躍支撐腿上，即滿足方程

v·M=vk·(M+m)

(7)

從而得到起跳之后真正的起跳瞬時速度，當支撐腿的質量很小時，該過程對速度的影響可以忽略不計。

2.1.2 滯空過程

假設起跳瞬間的狀態(tài)設定為k，即文中所有下標為k的變量都是表示起跳瞬間的狀態(tài)。此狀態(tài)下機器人初始速度、角速度和角度分別為vk、ωk和θk。理想狀態(tài)下，機器人起跳滯空過程的運動可等效為力學平拋模型，跳躍滯空的過程，豎直方向上的動能轉化為重力勢能，在達到最高點處，豎直方向上速度為0，由能量守恒可得

(8)

則小球起跳初始動能滿足

(9)

機器人下落過程重力勢能轉化為動能，直至落地，理想狀態(tài)下，整個平拋運動過程的軌跡為拋物線曲線，依據運動學公式

(10)

可以計算出運動的拋物線公式為

(11)

上述分析是將整個機器人看作質點，利用質點的平移來完成運動軌跡的計算。但實際上因為起跳階段重力作用產生了初始的角速度，所以速度的方向角是不斷變化的，起跳之后重力等效作用于質心上，角動量守恒，所以角速度會影響實際轉化為重力勢能的能量，即

θ=θk-ωkdt

(12)

在只考慮XY平面內的情況，這里假設機器人是由3個部分組成的，即本體、支撐腿和連接兩者之間的短桿，本體的質量M要大于支撐腿的質量m，連桿的長度為l，質心O的位置位于本體和支撐腿之間，距離機器人本體和支撐腿質心的距離分別為l1和l2。假設起跳的瞬間機器人獲得的速度大小為vk，起跳過程中，由于機器人同時受到彈簧彈力和自身重力的影響，vk并不經過質心，這樣就會和機器人的軸線方向產生一定的夾角β。機器人的滯空過程如圖4所示。

圖4 存在初始角速度時的滯空過程

滯空過程中，機器人的運動可分解為平移和旋轉兩部分。機器人與水平面的夾角為

θ=θk-ωkt=θ0-β-ωkt

(13)

則滯空過程中，機器人水平和豎直運動速度分別為

(14)

質心的運動方程，直到第一次與地面碰撞的瞬間，豎直方向上應當滿足高度變化為0，即表示為

(15)

求解出運動時間代入水平運動方程可以得到水平運動的公式，從而求得拋物線方程為

(16)

根據式(11)和式(16)，繪制并對比有無旋轉情況下的跳躍軌跡，如圖5所示。

圖5 有無旋轉情況下的運動軌跡

通過圖5可以發(fā)現(xiàn)，有轉動的軌跡最大跳躍高度降低，但水平移動距離增加，這是因為在旋轉情況下，機器人滯空過程中，垂直方向上獲取的速度分量隨角度變化逐漸減少，而水平分量相應增加。但角度變化對機器人滯空過程的軌跡形狀整體影響并不大。

2.1.3 落地過程

因為該過程發(fā)生的是球體與地面的沖擊，可以利用恢復系數[9]的方法對該情況進行分析。本文僅考慮跳躍機器人在滯空的過程中重力的作用，而忽略其他外部力(例如空氣阻力)的影響。當地形不發(fā)生改變時，重力勢能不變化，機器人落地時與起跳瞬間的動能不變。落地的碰撞會產生與地面垂直和平行2個方向上的速度變化，因為撞擊瞬間很短且不考慮自身形變，水平方向上機器人不會發(fā)生滑動。假設垂直方向上的恢復系數為cver，而該系數滿足0≤cver≤1。碰撞之后垂直速度vver1與碰撞之前垂直速度vver0滿足

vver1=cvervver0

(17)

在水平速度上，滿足公式

vhor1=vhor0-μ(vver0+vver1)=

vhor0-μ(1+cver)vver0

(18)

而碰撞之前的動能Tcollision為

(19)

可以得到撞擊過程的動能損失為

(20)

該能量損失，適用于考慮機器人落地碰撞之后，二次彈起的情況，但這之后的分析不在本文的研究范圍之內。

2.2 摩擦對跳躍過程的影響

機器人在跳躍時，彈簧的彈性勢能轉換為跳躍所需要的動能。提高彈性勢能到動能的有效轉換率是提升機器人跳躍能力的關鍵。

由受力分析已知，機器人跳躍過程中，受到的場力為重力，接觸力為與地面的摩擦力，且僅僅只有跳躍支撐腿與地面接觸所產生的摩擦力。摩擦力的影響主要發(fā)生在機器人跳躍支撐腿起跳開始階段與地面撞擊以及本體離開地面2個階段，即圖1b和圖1c階段。這2個階段中，跳躍支撐腿與地面接觸，并在彈簧的作用下與地面壓緊，只有不發(fā)生打滑的情況下，彈簧的彈性勢能才能傳遞給機器人本體用于跳躍，不會通過與地面的摩擦而被大量消耗。

為了保證跳躍支撐腿與地面接觸過程中不打滑，摩擦力應大于起跳過程中水平力的分量，即

f=μkΔx·sinθ>kΔx·cosθ

(21)

其中Δx表示彈簧壓縮量。從而得出不打滑的過程需要滿足

(22)

分析跳躍過程會發(fā)現(xiàn)，跳躍過程開始，機器人本體會脫離地面，受到彈簧彈力和自身重力的同時作用，機器人本體的加速度方向并不是沿著彈簧方向，而是會偏向下，這就導致支撐腿與地面的夾角θ變小，有可能破壞發(fā)生支撐腿打滑的情況。假定打滑的邊界摩擦角θi滿足

(23)

當選取的地面摩擦因數為0.6時，依據機器人外殼框架結構，選取不發(fā)生結構干涉的起跳角度進行分析，這里選取摩擦角為59.0°，而2.1節(jié)計算的無滑動情況下夾角最終會降低到58.8°，小于邊界摩擦角。在此,總結出起跳階段產生打滑現(xiàn)象的情況：第1種情況，起跳之前，跳躍支撐腿與地面的夾角就小于摩擦角θi，導致支撐腿與地面接觸瞬間就發(fā)生打滑；第2種情況，起跳過程中在重力作用下，θ逐漸減小，直至小于θi，開始發(fā)生打滑現(xiàn)象。

針對可能存在的打滑現(xiàn)象，依據現(xiàn)有的機器人模型和各部分參數情況，為確定起跳角度θ0，需要進行數值方式求解最終角度θk，當滿足θk≥θi時，符合機器人起跳不打滑的設計要求。

3 跳躍機器人越障能力分析

3.1 障礙物的距離對越障的影響

分析跳躍機器人越障能力的評價標準，分為2種情況進行討論:一種為翻越問題，機器人跳躍的運動軌跡與地面所圍成的區(qū)域，可以完全包裹一個外形有限的障礙物，從而判斷機器人能否順利越過整個障礙，如圖6所示；另一種為爬升問題，即機器人運動的預期目標是可以達到障礙物之上，該問題應用的場景往往出現(xiàn)在1次跳躍無法翻越障礙，需要連續(xù)多次向上攀爬的過程。也就是說跳躍的目的是達到目標高度即可。

如圖6所示，分析翻越問題，為了簡化分析計算過程，將機器人的運動過程簡化為質點運動，但是在越障過程中機器人的外形是無法忽視的，在此將機器人的外形碰撞因素加入到障礙物上，即將障礙物的外形尺寸增加機器人的外形碰撞尺寸d。

圖6 翻越問題示意

若起跳過程參數已知，軌跡拋物線為

(24)

當障礙物的外形方程滿足yobstacle=f(x)，x∈(m,n)時，可以順利越過的條件為

y≥yobstacle+bx∈(m-b,n+b)

(25)

假設翻越的障礙物為一個寬度為ly，高度為lx的長方形。設障礙物距離原點起跳點的距離為x1，則翻越需要滿足的關系為

(26)

設上述2個不等式方程的結果為[λ1λ2]和[λ3λ4]，則最終可以翻越需要滿足的關系為

x1∈[max{λ1λ3} min{λ2λ4}]

(27)

爬升問題相對于翻越問題，僅僅需要考慮更靠近起跳點的障礙物點A，利用上述同樣的方法，得到的起跳距離x2滿足的條件為

x2∈[λ1λ2]

(28)

3.2 起跳角度對越障的影響

當起跳階段的起跳角度不同，導致θk和vk發(fā)生變化時，跳躍曲線隨之發(fā)生變化，上述方程說明的越障問題依舊成立，但不同的跳躍曲線在面對相同的障礙物時，所表現(xiàn)出來的越障能力是不同的。如圖7所示，很顯然曲線i能更好地適應于翻越障礙物的情況。

圖7 不同起跳角度的爬升問題

所以當機器人通過自身傳感器或者其他方式獲得了障礙物信息之后，需要規(guī)劃機器人跳躍的初始角度。2.1節(jié)中較為詳盡地考慮到整個起跳過程的動力學影響因素，為減少計算量，本文進行了如下簡化：跳躍支撐腿的質量忽略不計，并在整個過程中不發(fā)生滑動摩擦；起跳過程中支撐腿與地面的夾角不會因為重力的因素發(fā)生變化，這是通過仿真觀察，得出夾角變化量有限的情況下進行的假設；彈簧的彈性勢能轉化為機器人起跳之后的初始動能，轉化的效率為ε。即彈簧的彈性勢能以ε的效率轉化為機器人跳躍的動能和勢能，從而得到狀態(tài)k時起跳角度與初始速度的公式滿足

(M+m)g(rb-ri)sinθk

(29)

r0為彈簧的原長；rb為起跳之前最大壓縮狀態(tài)下彈簧的長度；ri為彈簧能夠達到的最大伸長長度?？梢缘玫絭k與θk的關系滿足

(30)

把式(30)代入式(24)中，就可以依據越障條件式(27)和式(28)，進行越障效果分析。

4 機器人起跳動力學仿真分析

為了繼續(xù)探究起跳過程中，產生的打滑對跳躍機器人的影響，本節(jié)對球形跳躍機器人的起跳動力學進行了仿真分析?；贏DAMS軟件，添加合適約束后的模型如圖8所示。在結構繪制軟件中建立機器人的模型并導入，通過定義材料、連接方式、驅動方式和接觸方式等，搭建了該跳躍機器人的仿真平臺。

圖8 球形跳躍機器人仿真模型

仿真中，通過設置跳躍支撐桿與接觸地面之間的摩擦因數，可以獲得不同情況下機器人的運動狀況，依據3.2節(jié)中總結的出現(xiàn)支撐腿滑動的情況，在仿真過程中，分別設置了0.2、0.5和0.7的摩擦系數。機器人在起跳角度為52.6°、與地面摩擦系數μ=0.5的情況下，可以觀察到支撐腿末端有明顯的向左滑移的過程，而μ=0.7的情況下沒有滑動;在μ=0.2時，在接觸瞬間支撐腿就開始滑動。首先，繪制跳躍過程的水平和豎直方向上的位移曲線，如圖9所示。

圖9 位移-時間曲線

由圖9可以觀察到，存在滑動最嚴重的μ=0.2的曲線，水平位移大大減少，而豎直方向上最高點的位移卻有所增加，參照圖10所示的速度-時間曲線，能夠看出，跳躍過程中水平速度均保持不變，但是滑動導致水平速度的初始值大大減少，水平的位移減少。豎直方向上的加速過程3個曲線幾乎一致，但是滑動時豎直最大速度稍有增加，原因是伴隨著滑動過程的能量消耗，水平速度降低，但是水平方向動能不是100%消耗，因為在仿真以及實際情況下，受到地面、彈簧等的影響，部分動能轉化到豎直方向，從而產生了豎直方向速度的變化。

圖10 速度-時間曲線

圖11更詳細展示了打滑情況對機器人動能、勢能變化的影響。在摩擦系數不變時，動能隨跳躍過程先減少后增加、勢能先增加后減少，而隨著摩擦系數的降低，相同時間情況下，動能減少，勢能增加。機器人跳躍過程中總能量變化情況，如圖12所示。

圖11 動能勢能-時間曲線

圖12 總能量-時間曲線

由圖12可知，動能和勢能的變化趨勢符合僅有重力作用下，機器人滯空過程中的能量轉換過程，曲線初始階段存在的能量跳變，是由仿真過程中彈簧的不確定因素導致的?？偰芰康那€則更好地反映出存在滑動情況下，系統(tǒng)的能量有部分對外耗散掉了。此外，從圖12中還可以得到，隨著第1次跳躍過程的結束，時間在0.9 s時，機器人會發(fā)生2次彈起的情況，此時系統(tǒng)的機械能急劇減少，這部分能量的減少與機器人結構的力學性能和組成的材料性能有關，在仿真中并沒有體現(xiàn)，會在以后的研究中繼續(xù)探究。

5 結束語

本文基于一種可調節(jié)起跳角度的跳躍機器人，從機器人的整個跳躍過程出發(fā)，推導了任意起跳角度的跳躍過程動力學數值模型，并分析了不同摩擦存在的情況下對跳躍的影響，建立了相關的物理模型，通過仿真實驗，驗證了摩擦造成的跳躍機器人跳躍過程能量的損耗。該工作的開展有助于類似單足間歇跳躍機器人更好地規(guī)劃自身的越障方案，對跳躍機器人的后期規(guī)劃問題有著一定的幫助。