基于改進(jìn)TOPSIS與哈斯圖耦合的水質(zhì)評價(jià)模型

彭琪 張宇 張強(qiáng) 曾開帥 唐金平

摘 要：將KL散度與TOPSIS結(jié)合優(yōu)化了傳統(tǒng)TOPSIS水質(zhì)評價(jià)模型，為了使評價(jià)結(jié)果直觀、可視化，將優(yōu)化后的TOPSIS模型與哈斯圖技術(shù)耦合，建立了基于KL散度的TOPSIS與哈斯圖耦合的水質(zhì)評價(jià)模型。北京某廠區(qū)周邊村落地下水水樣的實(shí)例分析表明，建立的水質(zhì)評價(jià)模型的評價(jià)結(jié)果與實(shí)際情況相符，證明了該評價(jià)模型的有效性及合理性;最終評價(jià)結(jié)果以圖的形式展現(xiàn)出來，可視化更強(qiáng);相對于傳統(tǒng)TOPSIS水質(zhì)評價(jià)模型評價(jià)結(jié)果更精細(xì)化，且有利于提高評價(jià)結(jié)果的精確度。

關(guān)鍵詞：KL散度;TOPSIS評價(jià)模型;哈斯圖;水質(zhì)評價(jià)

中圖分類號：X824;TV211.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

doi：10.3969/j.issn.1000-1379.2021.01.018

引用格式：彭琪，張宇，張強(qiáng)，等.基于改進(jìn)TOPSIS與哈斯圖耦合的水質(zhì)評價(jià)模型[J].人民黃河，2021，43（1）：93-96，128.

Model of Water Quality Assessment Based on Improved TOPSIS Coupled with Hasse Diagram

PENG Qi， ZHANG Yu， ZHANG Qiang， ZENG Kaishuai， TANG Jinping

（State Key Laboratory of Geohazard Prevention and Geoenvironment Protection，

Chengdu University of Technology， Chengdu 610059， China）

Abstract： The traditional TOPSIS water quality evaluation model was optimized by combining KL （Kullback-Leibler） divergence and TOPSIS. In order to make the evaluation results intuitive and visual， the optimized TOPSIS model was coupled with the Hasplot technology and a coupling based on KL divergence and TOPSIS established water quality evaluation model. An example analysis of groundwater samples from a village around a plant in Beijing shows that the evaluation results of the established water quality evaluation model are consistent with the actual situation， proving the validity and rationality of the evaluation model; the final evaluation results are displayed in the form of a graph and visualized stronger; Compared with the traditional TOPSIS water quality evaluation model， the evaluation results are more refined and it is helpful to improve the accuracy of the evaluation results.

Key words： Kullback-Leibler divergence; TOPSIS evaluation model; Hasse Diagram; water quality evaluation

隨著我國城市化與工業(yè)化進(jìn)程的不斷加快，水環(huán)境問題日益突出，已成為制約社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素，而水質(zhì)評價(jià)是水環(huán)境問題研究的基礎(chǔ)，客觀有效的水質(zhì)評價(jià)對水資源的開發(fā)利用及城市的發(fā)展具有重大意義，因此建立合理有效的水質(zhì)評價(jià)模型是非常必要的。常用的水質(zhì)評價(jià)方法有單因子評價(jià)法、F值評價(jià)法、層次分析法、模糊綜合評價(jià)法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、灰色關(guān)聯(lián)評價(jià)法、TOPSIS評價(jià)法[1-7]等。在信息論中，KL散度又稱為相對熵，用于衡量給定任意分布偏離真實(shí)分布的程度，其取值為0～∞，KL散度越小，真實(shí)分布與近似分布之間的匹配程度越好[8-9]。歐氏距離又稱為歐幾里得度量，用于衡量多維空間中兩點(diǎn)間的絕對距離，距離越短代表相似度越好。筆者利用KL散度的相似度概念代替?zhèn)鹘y(tǒng)TOPSIS模型中歐氏距離的相似度概念，以此優(yōu)化TOPSIS評價(jià)模型，提升水質(zhì)評價(jià)結(jié)果的精確性。為了使評價(jià)結(jié)果直觀、可視化，將優(yōu)化后的TOPSIS模型與哈斯圖技術(shù)耦合，結(jié)合各自優(yōu)點(diǎn)，建立基于KL散度的TOPSIS與哈斯圖耦合的水質(zhì)評價(jià)模型。

1 傳統(tǒng)TOPSIS評價(jià)模型

TOPSIS評價(jià)法亦稱理想解法，主要依靠樣品的理想方案和負(fù)理想方案進(jìn)行排序評級，是一種有效的多指標(biāo)評價(jià)方法。TOPSIS評價(jià)法步驟[10]：①構(gòu)建評價(jià)數(shù)據(jù)矩陣A=（aij）mn，經(jīng)無量綱化處理得到B=（bij）mn;②構(gòu)建加權(quán)規(guī)范化矩陣C=（cij）mn，并確定樣品的理想方案S+和負(fù)理想方案S-;③計(jì)算各樣品與理想方案、負(fù)理想方案的歐氏距離d+、d-;④計(jì)算各樣品與理想方案的相對貼合度T，按T值大小排序評級。

傳統(tǒng)TOPSIS水質(zhì)評價(jià)模型中采用的是線性歐氏距離，由于該測度不考慮評價(jià)指標(biāo)間的差異，精確度相對較差，而指標(biāo)間差異大小直接影響評價(jià)結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此傳統(tǒng)TOPSIS水質(zhì)評價(jià)模型的穩(wěn)定性有所欠缺。

2 建立改進(jìn)的TOPSIS評價(jià)模型

建立基于KL散度的TOPSIS與哈斯圖耦合的水質(zhì)評價(jià)模型，具體建模步驟如下。

（1）數(shù)據(jù)處理。根據(jù)評價(jià)區(qū)域?qū)嶋H情況，將采集的m個(gè)樣品，合理選取n個(gè)評價(jià)指標(biāo)，構(gòu)成評價(jià)數(shù)據(jù)矩陣A=（aij）mn。為了后續(xù)數(shù)據(jù)處理方便，將矩陣A無量綱化處理后得到矩陣B=（bij）mn，無量綱化處理公式為

bij=aija1j2+a2j2+…+amj2 （1）

（2）構(gòu)建加權(quán)規(guī)范化矩陣。利用熵權(quán)法計(jì)算各評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，得到各指標(biāo)權(quán)重向量W=（w1，w2，…，wn）T ，并構(gòu)建加權(quán)規(guī)范化矩陣C=（cij）mn=WB。

（3）確定樣品的理想方案S+和負(fù)理想方案S-。水質(zhì)最優(yōu)的一組水樣為理想方案，水質(zhì)最差的一組水樣為負(fù)理想方案，結(jié)合水質(zhì)評價(jià)的特點(diǎn)，其理想方案和負(fù)理想方案分別為

S+={c+1，c+2，…，c+m}，c+m=min（cj）（2）

S-={c-1，c-2，…，c-m}，c-m=max（cj） （3）

（4）分別確定S+和S-的KL散度矩陣K+、K-。通過式（4）、式（5）獲得理想方案S+的KL散度矩陣K+=（k+ij）mn和負(fù)理想方案S-的KL散度矩陣K-=（k-ij）mn。

k+ij=c+jlnc+jcij+（1-c+j）ln1-c+j1-cij （4）

k-ij=c-jlnc-jcij+（1-c-j）ln1-c-j1-cij（5）

（5）構(gòu)建等級決策矩陣。結(jié)合文獻(xiàn)[11]的研究成果，將KL散度矩陣K+、K-，按各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重大小排序，在各評價(jià)指標(biāo)的權(quán)重滿足ω11>ω12>…>ω1n條件下，經(jīng)式（6）、式（7）換算獲得樣品等級決策矩陣P=（pij）mn、Q=（qij）mn。

pij=∑nj=1k+ij（6）

qij=∑nj=1k-ij（7）

（6）建立比較關(guān)系矩陣。在矩陣P、Q中每一行均代表一個(gè)樣品，對矩陣P、Q中任意兩行x、y進(jìn)行比較：①矩陣P中x行任意一個(gè)數(shù)均小于或等于y行中任意一個(gè)數(shù);②矩陣Q中x行任意一個(gè)數(shù)均大于或等于y行中任意一個(gè)數(shù)。當(dāng)①、②同時(shí)滿足時(shí)，記作Ps（x）≥Ps（y），此時(shí)rxy=1，否則rxy=0，比較關(guān)系矩陣R為

R=（rxy）mm（8）

（7）獲得HASSE矩陣，繪制哈斯圖。將比較關(guān)系矩陣參照文獻(xiàn)[12]處理過程，經(jīng)式（9）進(jìn)行布爾運(yùn)算，獲得無回路的HASSE矩陣HR，利用帶有標(biāo)識的圓將存在覆蓋關(guān)系的樣品用線連接起來[13]，繪制可視化哈斯圖。

HR=R-（R-I）2-I（9）

式中：I為單位矩陣。

（8）分析哈斯圖，獲得評價(jià)結(jié)果。

3 實(shí)例分析

利用16組取自北京某廠區(qū)周邊村落的地下水水樣，將Cl-、SO2-4、NO-3、TDS、Fe3+、Zn、Mn、NO-2作為評價(jià)指標(biāo)，運(yùn)用上述水質(zhì)評價(jià)模型對其進(jìn)行水質(zhì)評價(jià)，并將評價(jià)結(jié)果與傳統(tǒng)TOPSIS水質(zhì)評價(jià)模型評價(jià)結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證評價(jià)模型的合理性。

3.1 數(shù)據(jù)處理

首先采用式（1）將評價(jià)數(shù)據(jù)矩陣A=（aij）mn轉(zhuǎn)化為無量綱化矩陣B=（bij）mn，見表1，其中B1～B4為依據(jù)《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 14848—2017）構(gòu)造的水質(zhì)分級臨界水樣，這4組臨界水樣可將水質(zhì)劃分為5個(gè)級別，將其加入到待評價(jià)水樣中共同參與評價(jià)的目的是給待評價(jià)水樣的水質(zhì)進(jìn)行定級。然后運(yùn)用熵權(quán)法，獲得各個(gè)評價(jià)指標(biāo)權(quán)重信息（見表2），并構(gòu)建加權(quán)規(guī)范化矩陣C=（cij）mn。

3.2 確定理想方案S+和負(fù)理想方案S-

根據(jù)加權(quán)規(guī)范化矩陣C=（cij）mn，利用式（2）、式（3）確定樣品理想方案和負(fù)理想方案，見表3。再根據(jù)式（4）、式（5）確定S+和S-的KL散度矩陣K+、K-（表略）。

3.3 確定樣品理想等級決策矩陣P和樣品負(fù)理想等級決策矩陣Q

根據(jù)式（6）、式（7）換算獲得樣品理想等級決策矩陣P和樣品負(fù)理想等級決策矩陣Q，見表4、表5。

3.4 建立比較關(guān)系矩陣

根據(jù)式（8）建立比較關(guān)系矩陣R（見表6），再由式（9）經(jīng)布爾運(yùn)算獲得HASSE矩陣HR（表略）。

3.5 繪制哈斯圖，分析評價(jià)結(jié)果

根據(jù)HASSE矩陣，繪制水質(zhì)評價(jià)哈斯圖，見圖1。由圖1可知，20個(gè)水樣分為了6個(gè)層級，第一層級水樣為B4，第二層級水樣為B3、X16、X8，第三層級水樣為B2、X11、X10、X12，第四層級水樣為X9、X6、X1、X14，第五層級水樣為B1、X2、X13、X5、X15，第六層級水樣為X7、X3、X4。依據(jù)設(shè)定的4組（B1～B4）水質(zhì)分級臨界水樣，參照《地下水質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 14848—2017）Ⅰ類水為（0，B1）、Ⅱ類水為[B1，B2）、Ⅲ類水為[B2，B3）、Ⅳ類水為[B3，B4）、Ⅴ類水為[B4，+∞）的分級原則，16個(gè)水樣的水質(zhì)評價(jià)結(jié)果見表7。根據(jù)表7，該廠區(qū)周邊村落地下水水質(zhì)屬于中等偏上水平。

3.6 對比分析

將基于KL散度的TOPSIS與哈斯圖耦合模型評價(jià)結(jié)果與傳統(tǒng)TOPSIS水質(zhì)評價(jià)模型評價(jià)結(jié)果進(jìn)行對比，見圖2。經(jīng)比較，兩種方法評價(jià)結(jié)果大體相同，驗(yàn)證了該評價(jià)模型的可行性。從X1～X5水樣評價(jià)結(jié)果可以看出，傳統(tǒng)TOPSIS評價(jià)模型將其歸為同一類水質(zhì)級別，而基于KL散度的TOPSIS與哈斯圖耦合評價(jià)模型考慮了指標(biāo)間的細(xì)微差異，并將其進(jìn)一步細(xì)分為了兩類，由此可見，傳統(tǒng)的TOPSIS評價(jià)模型中的歐氏距離將水樣不同指標(biāo)間的差別等同看待，沒有考慮水樣指標(biāo)間差異對整體評價(jià)結(jié)果的影響，因此采用統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性最佳的KL散度來改進(jìn)TOPSIS法有利于提高評價(jià)結(jié)果的精確度。

4 結(jié) 語

將KL散度與TOPSIS法相結(jié)合，建立了基于KL散度的TOPSIS與哈斯圖耦合的水質(zhì)評價(jià)模型，該評價(jià)模型結(jié)合了KL散度、TOPSIS法和哈斯圖各自的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)用性和應(yīng)用性更強(qiáng)。北京某廠區(qū)周邊村落地下水水樣的實(shí)例分析表明，基于KL散度的TOPSIS與哈斯圖耦合的水質(zhì)評價(jià)模型評價(jià)結(jié)果與實(shí)際情況相符，證明了該評價(jià)模型的有效性及合理性;最終評價(jià)結(jié)果以圖的形式展現(xiàn)出來，可視化更強(qiáng);相對于傳統(tǒng)TOPSIS水質(zhì)評價(jià)模型評價(jià)結(jié)果更精細(xì)化，且有利于提高評價(jià)結(jié)果的精確度。但哈斯圖的引入使得該模型的計(jì)算相較于傳統(tǒng)TOPSIS評價(jià)模型略微復(fù)雜。在實(shí)例應(yīng)用中，受限于樣品數(shù)量，未能更清晰展示出用KL散度替代歐氏距離改進(jìn)的TOPSIS評價(jià)模型與傳統(tǒng)TOPSIS評價(jià)模型評價(jià)結(jié)果的差異性及優(yōu)越性。

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【責(zé)任編輯 呂艷梅】