韓曉花，楊?yuàn)^林

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 吉首 416000)

圖像配準(zhǔn)問題是圖像處理應(yīng)用中具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)之一,旨在將不同時(shí)間、視角或成像設(shè)備的2幅或多幅圖像在空間域中實(shí)現(xiàn)幾何位置的完全對(duì)準(zhǔn).圖像配準(zhǔn)在計(jì)算機(jī)視覺、模式識(shí)別、遙感和醫(yī)學(xué)影像學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用[1].基于變分偏微分方程(Partial Differential Equation,PDE)的圖像配準(zhǔn)模型一般會(huì)添加一個(gè)正則項(xiàng),以確保得到一個(gè)有解的適定問題.選擇不同的正則項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致不同的變形.傳統(tǒng)的正則項(xiàng),如彈性正則項(xiàng)、擴(kuò)散正則項(xiàng)和曲率正則項(xiàng),可以產(chǎn)生全局平滑的變形[2],然而這些正則項(xiàng)在某些特定需要的變形中不保留不連續(xù)性的位移;全變分(Total Variation,TV)正則項(xiàng)更適合于保留位移場(chǎng)的不連續(xù)性[3],但會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng),形成不光滑位移場(chǎng).為了使所選擇的正則項(xiàng)能兼顧位移的全局平滑和保留不連續(xù)性,筆者受文獻(xiàn)[4-5]的啟發(fā),擬選取超曲面函數(shù)[6]作為正則項(xiàng)的核函數(shù),建立一個(gè)改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,并對(duì)非線性多重網(wǎng)格(Nonlinear Multi-Grid,NMG)算法[7-8]進(jìn)行優(yōu)化,以期快速有效地求解改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型.

1 全變分配準(zhǔn)模型的改進(jìn)

1992年,Rudin等[9]將TV配準(zhǔn)模型運(yùn)用于圖像去噪.該模型的正則項(xiàng)能有效地保留不連續(xù)性的位移場(chǎng),從而保留圖像邊緣信息,但在此過程中會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng),使圖像變得模糊.經(jīng)典的TV正則項(xiàng)可表示為

(1)

(2)

模型(2)的擴(kuò)散系數(shù)

具有以下基本性質(zhì):(1)當(dāng)|?u|→+∞時(shí),M(|?u|)→0;(2)當(dāng)|?u|→0時(shí)，M(|?u|)→2.這表明,一方面通過減少或停止非均勻區(qū)域內(nèi)的擴(kuò)散(平滑)過程來保持位移場(chǎng)的不連續(xù)性,另一方面在均勻區(qū)域內(nèi)各向同性平滑位移場(chǎng).即在非均勻區(qū)域采用類似TV的正則化,在均勻區(qū)域采用類似擴(kuò)散或二次的正則化.

模型(2)對(duì)應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程為

(3)

其中力項(xiàng)fl(u)是擬合項(xiàng)的一階導(dǎo)數(shù)且是非凸的,

fl(u)=(T(u)-R)?ulT(u),

可用一階泰勒展開轉(zhuǎn)化為凸問題進(jìn)行求解.

2 非線性多重網(wǎng)格算法的優(yōu)化

2.1 基于層析技術(shù)的NMG法

NMG算法是求解大型非線性方程組的有效方法之一.其基本思想是:利用非線性前光滑方法(一種迭代松弛技術(shù))，求出一個(gè)近似解計(jì)算殘量和誤差,使光滑的誤差項(xiàng)在一個(gè)較粗的網(wǎng)格上很好地限制和逼近;進(jìn)入V-循環(huán),在最粗網(wǎng)格上求解關(guān)于誤差的非線性殘量方程;采用粗網(wǎng)格修正,將誤差插值回細(xì)網(wǎng)格,用于細(xì)網(wǎng)格逼近的校正;使用非線性后光滑,以消除插值誤差中引入的一些新的高頻成分.

為了在計(jì)算過程中避免產(chǎn)生額外誤差,配準(zhǔn)精度更高,筆者在限制過程中采用層析技術(shù),將粗網(wǎng)格上的誤差插值回細(xì)網(wǎng)格.

優(yōu)化NMG算法的具體求解過程如下:方程(3)化為

N[u[v]]u[v+1]=G[v].

(4)

(5)

這里σll為力項(xiàng)fl(u)關(guān)于ul的一階偏導(dǎo)數(shù)，

2.2 數(shù)值離散化

給定n×n像素的離散圖像,圖像域Ω=[0,n]2(本研究中n的值均為2的冪次方),網(wǎng)格尺寸Δx=Δy=1.網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)的位置

(xi,yj)=((i-0.5)Δx,(j-0.5)Δy),i,j∈[1,n].

網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)處u的值記為ui,j.用有限差分格式離散方程(3),得到網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)處的離散方程

fl(u)i,j=(gl)i,j.

(6)

其中:

接下來,介紹用于網(wǎng)格間距為(Δx,Δy)的矩形網(wǎng)格Ωh與網(wǎng)格間距為(2Δx,2Δy)的矩形網(wǎng)格Ω2h之間的網(wǎng)格傳輸函數(shù).

2.3 平滑方法

本研究中使用的平滑方法是基于典型滯后擴(kuò)散不動(dòng)點(diǎn)方法作的改進(jìn)[10],即在不動(dòng)點(diǎn)框架中引入內(nèi)外耦合迭代方法,該迭代方法在正則化項(xiàng)和數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)中都是半隱式的.輸入圖像R和T、正則化參數(shù)α、松弛因子ω、內(nèi)部迭代次數(shù)k、最大迭代次數(shù)K、容差q,利用當(dāng)前近似計(jì)算所有(i,j)的Di,j,在每一步對(duì)非線性方程組進(jìn)行全局線性化.然后,采用逐次超松弛(Successive Over Relaxation, SOR)迭代作為內(nèi)迭代,求解每個(gè)外步驟v的相關(guān)線性系統(tǒng),使所有差分方程同時(shí)更新.定義在網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)的SOR迭代方法的第k步為

算法1平滑方法:uh←SMTV(uh,gh,R,T,K,α,ω,q).

Step 2 分別利用(4),(5)式計(jì)算N[u[v]]和G[v].

Step 3 令w←u,采用for循環(huán),執(zhí)行SOR內(nèi)部迭代求解,

算法2優(yōu)化NMG算法:uh←ENMG(uh,gh,R,T,k,α,l,N).

Step 2 計(jì)算殘量,rh=Gh-Nhvh.

Step 4 進(jìn)入V-循環(huán),在最粗網(wǎng)格上求解關(guān)于近似解v2h的殘量方程N(yùn)hu2h-Nhv2h=r2h.

Step 5 計(jì)算誤差,e2h=u2h-v2h.

Step 7 執(zhí)行后光滑(算法1),uh←SMTV(uh,gh,R,T,k,α,ω).

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

利用Matlab軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).選取像素大小為128×128的手部圖片作為測(cè)試的單模圖像,配準(zhǔn)前相似性測(cè)度為200.554 6.參考圖像、模板圖像及它們的差圖像如圖1所示.

圖1 手部測(cè)試圖像Fig. 1 Hand Test Image

分別用NMG算法和優(yōu)化NMG算法求解改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,圖2和圖3用來比較算法的有效性.用優(yōu)化NMG算法分別求解TV配準(zhǔn)模型和改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,圖3和圖4用來比較模型的優(yōu)劣性.

圖2 NMG-改進(jìn)TV配準(zhǔn)圖像Fig. 2 NMG-Improved TV Registration Image

圖3 優(yōu)化NMG-改進(jìn)TV配準(zhǔn)圖像Fig. 3 Optimized NMG-Improved TV Registration Image

圖4 優(yōu)化NMG-TV配準(zhǔn)圖像Fig. 4 Optimized NMG-TV Registration Image

由圖2(a)和圖3(a)可見,相比NMG算法,優(yōu)化NMG算法對(duì)模板圖像(圖1(b))的整體配準(zhǔn)效果更好,基本接近參考圖像(圖1(a));由圖2(b)和圖3(b)可見,用NMG算法在手腕部位的網(wǎng)格折疊比較嚴(yán)重,而用優(yōu)化NMG算法的網(wǎng)格變化均勻.

由圖3(a)和圖4(a)可見,相比TV配準(zhǔn)模型,改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型對(duì)模板圖像(圖1(b))手指和手腕部位的配準(zhǔn)效果更好,更接近參考圖像;由圖3(b)和圖4(b)可見,TV配準(zhǔn)模型配準(zhǔn)圖像的位移場(chǎng)在手指部位的網(wǎng)格折疊比較嚴(yán)重,而改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型配準(zhǔn)圖像的位移場(chǎng)的網(wǎng)格更光滑.

當(dāng)各算法的參數(shù)都調(diào)為最優(yōu)(松弛因子ω=1.1)且達(dá)到相同的外部迭代步數(shù)時(shí),相似性測(cè)度與內(nèi)部迭代次數(shù)的變化趨勢(shì)如圖5所示.

圖5 相似性測(cè)度-內(nèi)部迭代次數(shù)曲線Fig. 5 Variation Trend Between Similarity Measure and Internal Iteration Number

由圖5(a)和(c)可見,分別用NMG算法和優(yōu)化NMG算法求解改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,優(yōu)化NMG算法的配準(zhǔn)時(shí)效性高于NMG算法;由圖5(b)和(c)可見,用優(yōu)化NMG算法分別求解TV配準(zhǔn)模型和改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型的配準(zhǔn)時(shí)效性明顯高于TV配準(zhǔn)模型.

相似性測(cè)度、誤差、內(nèi)部迭代次數(shù)和迭代時(shí)間見表1.

表1 相似性測(cè)度、誤差、內(nèi)部迭代次數(shù)和迭代時(shí)間

從表1可知：優(yōu)化NMG-改進(jìn)TV配準(zhǔn)手部測(cè)試圖的相似性測(cè)度、誤差和內(nèi)部迭代次數(shù)比NMG-改進(jìn)TV的分別減少3.505 8,1.748 1%,6,優(yōu)化NMG-改進(jìn)TV的迭代時(shí)間約為NMG-改進(jìn)TV的20%;優(yōu)化NMG-改進(jìn)TV配準(zhǔn)手部測(cè)試圖的相似性測(cè)度、誤差和內(nèi)部迭代次數(shù)比優(yōu)化NMG-TV的分別減少18.751 9,9.350 1%,19,優(yōu)化NMG-改進(jìn)TV的迭代時(shí)間約為NMG-TV的19%.

4 結(jié)語

筆者通過引入超曲面函數(shù)，建立了改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,該模型在全局平滑位移場(chǎng)的同時(shí)還能保留不連續(xù)性的位移.為了快速有效地求解改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,對(duì)NMG算法作了優(yōu)化.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：分別用NMG算法和優(yōu)化NMG算法求解改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,優(yōu)化NMG算法能更快速地收斂并取得穩(wěn)定的數(shù)值解,且求解耗時(shí)更短,誤差更小;用優(yōu)化NMG算法分別求解TV配準(zhǔn)模型和改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型,改進(jìn)TV配準(zhǔn)模型的配準(zhǔn)圖像的精度更高,整體配準(zhǔn)效果更令好.未來考慮將交替方向乘子法與NMG算法相結(jié)合,設(shè)計(jì)出更快速有效的數(shù)值方法,進(jìn)一步提高配準(zhǔn)時(shí)效和配準(zhǔn)質(zhì)量.