胡聽春， 孫宇鋒， 趙廣燕

(北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院, 北京 100191)

0 引言

武器裝備建設(shè)中，開展配套產(chǎn)品的可靠性設(shè)計、分析和試驗(yàn)是其研發(fā)工作中的基本要求。可靠性預(yù)計是預(yù)先評價產(chǎn)品可靠性水平，并確保產(chǎn)品可靠性設(shè)計方案滿足其規(guī)定可靠性合同要求的一個專項(xiàng)工作。為保證項(xiàng)目研制中的產(chǎn)品可靠性與控制風(fēng)險，國家軍用標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定產(chǎn)品可靠性預(yù)計值應(yīng)高于合同的規(guī)定值[1-2]，型號規(guī)范提出預(yù)計值應(yīng)大于規(guī)定值1.1～1.2倍[3]，動力和液壓系統(tǒng)提出預(yù)計值應(yīng)滿足規(guī)定值1～1.2倍[4]，航空機(jī)載設(shè)備一般則要求可靠性預(yù)計值不低于規(guī)定值1.25倍[5-7]甚至1.5倍[8]。上述規(guī)定明確了裝備可靠性預(yù)計值應(yīng)至少滿足合同規(guī)定值1～1.5倍(以下簡稱設(shè)計保證系數(shù))的要求，研制過程中的產(chǎn)品可靠性設(shè)計評審也都嚴(yán)格按照這一要求執(zhí)行，并作為產(chǎn)品技術(shù)方案通過可靠性設(shè)計的一項(xiàng)評判準(zhǔn)則。然而在工程實(shí)踐中，如何準(zhǔn)確量化與選擇設(shè)計保證系數(shù)則缺少理論指導(dǎo)，給工程應(yīng)用帶來了較大困擾且多年一直存在。

本文針對設(shè)計保證系數(shù)取值難以精確量化的難題，在廣泛調(diào)研國家軍用標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范及相關(guān)文獻(xiàn)基礎(chǔ)上論述了相關(guān)指標(biāo)的內(nèi)涵與相互關(guān)系，包括可靠性預(yù)計值、規(guī)定值、最低可接受值及鑒定試驗(yàn)檢驗(yàn)上下限。在產(chǎn)品詳細(xì)預(yù)計階段預(yù)計值能反映真實(shí)可靠性水平的條件下，采用威布爾分布和指數(shù)分布描述產(chǎn)品的壽命；利用更新過程和泊松分布理論研究設(shè)計保證系數(shù)與可靠性鑒定試驗(yàn)預(yù)期接收概率的關(guān)系。考慮到可靠性提升成本對設(shè)計保證系數(shù)取值的上限約束，以及規(guī)定值、檢驗(yàn)上限對設(shè)計保證系數(shù)的下限約束，本文給出了設(shè)計保證系數(shù)取值規(guī)則。進(jìn)而針對可靠性設(shè)計評審需求，給出了工程適用的驗(yàn)收保證系數(shù)取值表，以期更好地推進(jìn)工程應(yīng)用。

1 可靠性預(yù)計值、合同指標(biāo)及鑒定試驗(yàn)指標(biāo)的內(nèi)涵及關(guān)系

可靠性預(yù)計是設(shè)計階段根據(jù)產(chǎn)品組成零部件、元件的可靠性歷史數(shù)據(jù)，考慮結(jié)構(gòu)及工作環(huán)境等因素，估計產(chǎn)品可靠性水平的過程[1]。可靠性預(yù)計分為可行性預(yù)計、初步預(yù)計和詳細(xì)預(yù)計三類。

可靠性預(yù)計值θp用于檢驗(yàn)產(chǎn)品可靠性是否達(dá)到其研制合同規(guī)定的指標(biāo)要求，并為后續(xù)開展產(chǎn)品可靠性鑒定試驗(yàn)提供依據(jù)[9]。盡管預(yù)計值θp與真實(shí)值θ之間存在一定誤差[10]，但對比各類常用標(biāo)準(zhǔn)發(fā)現(xiàn)軍用標(biāo)準(zhǔn)預(yù)計結(jié)果更為嚴(yán)格[11]。在詳細(xì)預(yù)計階段已包括產(chǎn)品工作環(huán)境和應(yīng)力的信息，其預(yù)計值可較真實(shí)地反映產(chǎn)品可靠性水平。隨著可靠性預(yù)計的反復(fù)迭代、模型的細(xì)化和數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的提升，可靠性預(yù)計精度不斷提升[12]。因此，在研制任務(wù)后期的詳細(xì)預(yù)計階段，可認(rèn)為預(yù)計值θp能夠反映產(chǎn)品的真實(shí)壽命水平θ.

可靠性合同指標(biāo)從實(shí)際作戰(zhàn)需求引出，由使用指標(biāo)轉(zhuǎn)換而確定，通常包括規(guī)定值θs與最低可接受值θm. 國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 1909A—2009裝備可靠性維修性保障性維修論證指出：規(guī)定值θs為合同和研制任務(wù)書中規(guī)定的期望設(shè)備達(dá)到的合同指標(biāo)，取值依據(jù)應(yīng)為目標(biāo)值；最低可接受值θm為合同和研制任務(wù)書中規(guī)定、設(shè)備必須達(dá)到的合同指標(biāo)，取值依據(jù)為門限值，是進(jìn)行驗(yàn)證的依據(jù)[13]?？煽啃院贤笜?biāo)一般在制訂合同或研制任務(wù)書中提出，是承制方在研制中必須通過設(shè)計滿足的可靠性指標(biāo)。

可靠性鑒定的檢驗(yàn)指標(biāo)是指在規(guī)定生產(chǎn)方風(fēng)險α和使用方風(fēng)險β條件下，對應(yīng)產(chǎn)品試驗(yàn)考核指標(biāo)(通常是平均故障間隔時間(MTBF))的檢驗(yàn)下限θ1和檢驗(yàn)上限θ0. 國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB899A—2009可靠性鑒定和驗(yàn)收試驗(yàn)明確要求可靠性預(yù)計值θp應(yīng)高于θ0，以保證產(chǎn)品在可靠性試驗(yàn)期間能以高概率接收[2]?？煽啃院贤笜?biāo)與可靠性檢驗(yàn)指標(biāo)是通過最低可接受值聯(lián)系的，美國軍用標(biāo)準(zhǔn)MIL-STD-785B系統(tǒng)、設(shè)備的研制與生產(chǎn)可靠性大綱明確規(guī)定了產(chǎn)品的MTBF檢驗(yàn)下限應(yīng)等于其最低可接受MTBF值。我國早期可靠性軍用標(biāo)準(zhǔn)由美國軍用標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)化而來，通過論證也明確將最低可接受值作為驗(yàn)證受試產(chǎn)品的考核指標(biāo)[14]，即將可靠性鑒定試驗(yàn)的檢驗(yàn)下限θ1的取值等于θm，且不隨檢驗(yàn)方案的變化而改變[10]。

設(shè)計保證系數(shù)s是可靠性預(yù)計值與合同規(guī)定值的比值，即

s=θp/θs，

(1)

各項(xiàng)可靠性指標(biāo)的關(guān)系如圖1所示。圖1中，預(yù)計值θp反映真實(shí)值θ，最低可接受值θm與檢驗(yàn)下限θ1相等，是可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)的確定指標(biāo)，設(shè)計保證系數(shù)的選取將影響試驗(yàn)的接收概率。

圖1 可靠性指標(biāo)關(guān)系示意圖Fig.1 Reliability index relationship diagram

2 威布爾定時截尾試驗(yàn)中保證系數(shù)取值分析

在詳細(xì)預(yù)計階段產(chǎn)品可靠性預(yù)計值θp能反映產(chǎn)品真實(shí)可靠性水平的基礎(chǔ)上，針對壽命服從威布爾分布的產(chǎn)品，研究設(shè)計保證系數(shù)與可靠性鑒定試驗(yàn)接收概率的關(guān)系，并給出設(shè)計保證系數(shù)的計算方法。

2.1 威布爾分布模型

威布爾分布是可靠性工程中廣泛使用的連續(xù)型壽命分布，其累計失效分布函數(shù)一般形式為

(2)

式中：t為產(chǎn)品使用時間；γ為位置參數(shù)；η為尺度參數(shù)；m為形狀參數(shù)。

由于產(chǎn)品從t=0 h時刻開始就有失效發(fā)生的概率，本文取位置參數(shù)γ=0.形狀參數(shù)m取決于產(chǎn)品本身失效機(jī)理與載荷條件，因此可認(rèn)為設(shè)計定型階段產(chǎn)品壽命取決于尺度參數(shù)η，考慮對產(chǎn)品壽命進(jìn)行提升時改變的值為尺度參數(shù)。

服從兩參數(shù)威布爾分布時，產(chǎn)品平均壽命θ為

(3)

其方差為

(4)

威布爾分布具有良好的兼容性，適用于各類電子、機(jī)械、機(jī)電產(chǎn)品，隨著參數(shù)的變化可模擬浴盆曲線的各階段[15]。

2.2 定時截尾試驗(yàn)的保證系數(shù)接收概率模型

考慮到時間費(fèi)用等約束條件，可靠性鑒定通常采用定時截尾抽驗(yàn)方案[16]。工程中常用的及國家軍用標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的試驗(yàn)方案均基于產(chǎn)品服從指數(shù)分布的假設(shè)，具有一定局限性。近幾年對于威布爾分布受試產(chǎn)品的定時截尾試驗(yàn)方法已經(jīng)有了相關(guān)的論述[15，17-20]，提出了試驗(yàn)參數(shù)選取方法。

對于同批次產(chǎn)品，可認(rèn)為各試驗(yàn)樣品獨(dú)立同分布，為確定定時截尾試驗(yàn)參數(shù)，首先需要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或查表獲取形狀參數(shù)m.受試產(chǎn)品檢驗(yàn)下限θ1和檢驗(yàn)上限θ0以及生產(chǎn)方風(fēng)險α和使用方風(fēng)險β在試驗(yàn)前由雙方協(xié)商確定。確定試驗(yàn)方案后，從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個試驗(yàn)樣品，試驗(yàn)到規(guī)定的試驗(yàn)截止時間t停止，若故障數(shù)不高于接收判決數(shù)C則通過檢驗(yàn)。

標(biāo)準(zhǔn)及工程實(shí)踐中的試驗(yàn)方案多為有替換或可修情況，替換或維修時間不計入試驗(yàn)時間。本文針對維修或有替換定時截尾方案進(jìn)行論述，即對于每個試驗(yàn)樣品，一旦發(fā)生失效則等效為立刻替換為一個新部件，該過程可稱為更新過程。用Ni(t)表示在試驗(yàn)時間(0 h，t]內(nèi)第i個試驗(yàn)樣品的更新次數(shù)，則在試驗(yàn)截止時刻t試驗(yàn)通過的概率為

(5)

用N(t)表示試驗(yàn)時間(0 h，t]內(nèi)產(chǎn)品發(fā)生的失效總次數(shù)，其期望為E(N(t))。忽略更新時間，則在試驗(yàn)時間t內(nèi)產(chǎn)品失效次數(shù)N(t)服從參數(shù)為E(N(t))的非齊次泊松分布[20]，試驗(yàn)通過概率為

(6)

式中：r為試驗(yàn)中樣品失效的次數(shù)。

對于累計失效分布函數(shù)為F(t)的產(chǎn)品，在試驗(yàn)時間t內(nèi)失效總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

(7)

式中：q為N(t)可能的取值；F(k)(t)表示F(t)的q重卷積。

(7)式并沒有精確解法，目前的研究多采用在t足夠大假設(shè)下的近似解。引用文獻(xiàn)[21]結(jié)論，對于服從威布爾分布的產(chǎn)品，其失效總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望可近似為

(8)

考慮型號規(guī)范和工程可靠性設(shè)計慣例，一般要求可靠性預(yù)計值θp需達(dá)到合同規(guī)定值θs的1～1.5倍。則利用(6)式可以得到在設(shè)計保證系數(shù)下通過可靠性鑒定的概率Ps為

(9)

也可寫作如下積分形式：

(10)

式中：f(r，2C+2)表示自由度為2C+2的卡方分布密度函數(shù)；x為隨機(jī)變量的取值。

(9)式和(10)式給出了設(shè)計保證系數(shù)與可靠性鑒定試驗(yàn)通過概率的關(guān)系，定量說明了要求驗(yàn)收期產(chǎn)品預(yù)計水平高于規(guī)定水平對可靠性驗(yàn)收風(fēng)險的控制作用。

2.3 考慮接收概率的保證系數(shù)計算模型

得到設(shè)計保證系數(shù)接收概率模型后，可建立考慮接收概率的保證系數(shù)計算模型。

已知受試產(chǎn)品θ1(θm)、θ0、α、β，選定試驗(yàn)方案后，t、C亦已知。當(dāng)使用方期望在研產(chǎn)品在其可靠性鑒定中以不低于Ps概率通過時，研制方依據(jù)已確定的試驗(yàn)方案，由(10)式推導(dǎo)獲得設(shè)計保證系數(shù)的計算公式為

(11)

由使用方研制合同給出的指標(biāo)要求，可以確認(rèn)合同規(guī)定值θs與最低可接受值θm之間的比例關(guān)系k，并將θm作為可靠性鑒定的檢驗(yàn)下限θ1，因此設(shè)θs=kθm=kθ1.則有

(12)

在實(shí)際工程應(yīng)用中，使用方給出的θm一般不低于θs的50%，即k取值范圍一般在1～2之間。

當(dāng)需要考察產(chǎn)品可靠性預(yù)計值與最低可接受值θm之間的比例ν(稱為驗(yàn)收保證系數(shù))與可靠性鑒定的預(yù)期通過概率Ps之間的關(guān)系時，可以變換(12)式，得到驗(yàn)收保證系數(shù)ν的表達(dá)式為

(13)

(12)式與(13)式分別給出了預(yù)期可靠性鑒定試驗(yàn)通過概率下設(shè)計保證系數(shù)與驗(yàn)收保證系數(shù)的取值公式，由此可知為控制驗(yàn)收風(fēng)險，需要將可靠性預(yù)計值提升至規(guī)定值或最低可接受值的多少倍。

2.4 案例1分析

以文獻(xiàn)[18]中的威布爾分布無替換定時截尾試驗(yàn)方案示例為例，對本文計算模型進(jìn)行說明。該案例中受試產(chǎn)品的形狀參數(shù)m=1.2，給定檢驗(yàn)下限θ1=500 h，檢驗(yàn)上限θ0=750 h，風(fēng)險值α=20%，β=20%，樣本數(shù)量n=8.經(jīng)確定，試驗(yàn)時長t=979 h，接收判決數(shù)C=11.依據(jù)航空行業(yè)慣例，取設(shè)計保證系數(shù)s=1.25，并假設(shè)該產(chǎn)品可靠性規(guī)定值θs=1.5θ1=750 h.

當(dāng)設(shè)計保證系數(shù)s=1.25時，產(chǎn)品通過可靠性鑒定的概率Ps為

(14)

(14)式所示結(jié)果比該產(chǎn)品MTBF剛好達(dá)到θs時的通過概率77.88%有顯著提升，因此航空工程中常見的預(yù)計值高于規(guī)定值1.25倍的經(jīng)驗(yàn)要求對產(chǎn)品驗(yàn)收風(fēng)險有控制作用。

為對本文提出的保證系數(shù)取值方法進(jìn)行驗(yàn)證，利用蒙特卡洛法對試驗(yàn)進(jìn)行仿真模擬，對不同設(shè)計保證系數(shù)對應(yīng)的產(chǎn)品壽命進(jìn)行抽樣，統(tǒng)計試驗(yàn)成功率以獲得接收概率仿真值，并與(9)式、(10)式計算的結(jié)果相對比。分別取設(shè)計保證系數(shù)s分別為1、1.1、1.2、1.25、1.5、1.75、2，得到結(jié)果如表1所示。

表1 通過概率計算與仿真結(jié)果Tab.1 Calculated and simulated results of passing probability

表1結(jié)果顯示，利用本文提出的設(shè)計保證系數(shù)接收概率公式計算得到的試驗(yàn)通過概率，與仿真結(jié)果誤差控制在1%左右，并且當(dāng)設(shè)計保證系數(shù)變大時，計算誤差會逐漸縮減到0.01%左右。

對計算誤差來源進(jìn)行分析，MTBF服從威布爾分布的更新過程屬于非齊次泊松過程，在規(guī)定的試驗(yàn)時間(0 h，t]內(nèi)產(chǎn)品失效次數(shù)N(t)小于C的概率缺乏精確解法，其數(shù)學(xué)期望E(N(t))也采用近似解法?，F(xiàn)有對威布爾產(chǎn)品的定時截尾試驗(yàn)制定方法也是基于該近似算法，具有一定局限性。但當(dāng)產(chǎn)品形狀參數(shù)取值接近1時，該方法的精度可以得到保障。

3 標(biāo)準(zhǔn)定時截尾試驗(yàn)下保證系數(shù)取值分析

指數(shù)分布為威布爾分布特殊情況，基于第2節(jié)提出的威布爾定時截尾試驗(yàn)保證系數(shù)模型，可建立產(chǎn)品服從指數(shù)分布時的標(biāo)準(zhǔn)定時截尾試驗(yàn)保證系數(shù)簡化模型。

在工程中常對產(chǎn)品壽命分布進(jìn)行簡化處理，通常都假設(shè)產(chǎn)品可靠性服從指數(shù)分布[2]。取形狀參數(shù)m=1，產(chǎn)品即服從指數(shù)分布，可直接使用國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 899A—2009提供或根據(jù)抽樣特性(OC)曲線制定的檢驗(yàn)方案。指數(shù)分布適用于描述電子元器件壽命，在許多情況下，對機(jī)械機(jī)電復(fù)雜系統(tǒng)等非電子產(chǎn)品也是適用的[22]。

3.1 指數(shù)分布假設(shè)下的接收概率及保證系數(shù)模型

在受試產(chǎn)品θ1(θm)、θ0、α、β已知情況下，選定試驗(yàn)方案后T、C已知，T為產(chǎn)品總試驗(yàn)時間。

在受試產(chǎn)品獨(dú)立同指數(shù)分布的假設(shè)下，將m=1代入(8)式，得到受試產(chǎn)品失效次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

(15)

國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 899A—2009中的定時截尾試驗(yàn)方案提供總試驗(yàn)時間參數(shù)T=nt，故本節(jié)用總試驗(yàn)時長進(jìn)行表述。則當(dāng)m=1時以預(yù)計值θp通過可靠性鑒定的概率Ps公式簡化為

(16)

期望受試產(chǎn)品以不低于Ps概率通過鑒定試驗(yàn)時，設(shè)計保證系數(shù)的簡化公式為

(17)

驗(yàn)收保證系數(shù)ν的簡化表達(dá)式為

(18)

(17)式與(18)式分別給出了國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 899A—2009定時截尾試驗(yàn)下設(shè)計保證系數(shù)與驗(yàn)收保證系數(shù)的取值公式。

3.2 案例2分析

以國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 899A—2009中某機(jī)載產(chǎn)品定時截尾方案[2]為例，假設(shè)該產(chǎn)品可靠性規(guī)定值θs=1 000 h，且α=20%，β=20%.取試驗(yàn)樣品數(shù)θ0=2θ1=1 000 h，n=8，則t=487.5 h，C=5.設(shè)計保證系數(shù)分別取1、1.1、1.2、1.25、1.5、1.75、2，得到蒙特卡洛仿真結(jié)果以及(16)式計算結(jié)果如表2所示。

表2 通過概率計算與仿真結(jié)果Tab.2 Calculated and simulated results of passing probability

表2結(jié)果顯示，利用本文提出的國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 899A—2009定時截尾試驗(yàn)方案設(shè)計保證系數(shù)關(guān)系式計算得到的試驗(yàn)通過概率，與仿真結(jié)果誤差控制在0.1%左右。對誤差進(jìn)行分析，當(dāng)產(chǎn)品形狀參數(shù)m=1即等效于服從指數(shù)分布時，受試產(chǎn)品的更新過程為時齊的馬爾可夫過程，發(fā)生故障的次數(shù)r服從泊松分布，本文采用的針對威布爾分布的近似解法轉(zhuǎn)換為精確解法，經(jīng)驗(yàn)證該方法具有極高的精度。

4 設(shè)計保證系數(shù)的主要取值約束

4.1 可靠性提升成本對設(shè)計保證系數(shù)取值的約束

在產(chǎn)品設(shè)計階段，工程師往往期望產(chǎn)品固有可靠性水平能夠達(dá)到一個理想狀態(tài)，以便較大把握(即具有很大的Ps)通過鑒定。承制方期望設(shè)計保證系數(shù)取較大值，但這會導(dǎo)致設(shè)計成本增加。

以案例1和案例2為例，計算出Ps對s的影響曲線，如圖2所示。

圖2 案例1、案例2通過概率對設(shè)計保證系數(shù)的影響曲線Fig.2 Curves of the influence of passing probability on the design guarantee coefficients of Cases 1 and 2

圖2顯示設(shè)計保證系數(shù)s的取值并非越高越好，Ps超過95%后，s取值的增加對Ps的提升效果開始不顯著。因此，設(shè)計保證系數(shù)的選取必須綜合考慮鑒定風(fēng)險與設(shè)計成本。

隨著可靠性指標(biāo)提升，設(shè)計成本呈現(xiàn)非線性增長現(xiàn)象。對比現(xiàn)有可靠性- 成本模型[23]，指數(shù)型成本模型的參數(shù)易于量化，因此易于被工程人員獲取和應(yīng)用。在產(chǎn)品服從威布爾分布的情況下，本文采用文獻(xiàn)[24-25]提出的該模型改進(jìn)形式，則產(chǎn)品的提升成本Cd為

(19)

式中：A1表示在θmin下的基本設(shè)計成本；B1表示隨可靠性提升的設(shè)計成本；φ為提高可靠性水平的難度系數(shù)，取值范圍為0～1之間；θmin為產(chǎn)品最低可接收的壽命；θmax為產(chǎn)品最大可達(dá)壽命；Cf表示拒收成本。以案例1為例，θmax取10 000，θmin=500 h，θs=750 h，φ=0.2，A1=12 000元，B1=10 000元，Cf=7 500元。計算出提升成本Cd隨s的變化，繪制曲線如圖3所示。

圖3 提升成本隨設(shè)計保證系數(shù)的變化曲線Fig.3 Improvement cost versus design guarantee coefficient

由圖3可見，若生產(chǎn)方和使用方可承受的提升成本不超過25 000元，則令sd表示最大提升成本對應(yīng)的設(shè)計保證系數(shù)，由(19)式反推可得sd=1.404 0.則在提升成本的約束下，產(chǎn)品的壽命最大可提升到規(guī)定值的1.404 0倍，對應(yīng)最大可達(dá)的接收概率Ps=0.974 0.生產(chǎn)方在期望以高概率通過可靠性鑒定試驗(yàn)的同時，需要提升產(chǎn)品自身的可靠性水平，除了考慮設(shè)計難度以外，還存在著成本的上限約束。即設(shè)計保證系數(shù)s應(yīng)滿足s≤sd.

當(dāng)拒收成本與總提升成本相比可忽略時，sd的近似計算公式如下：

(20)

此外，(19)式中：前兩項(xiàng)為設(shè)計成本，隨s的增加而遞增；后一項(xiàng)為拒收風(fēng)險成本，隨s增加而遞減；提升成本Cd為兩部分相加，可能呈現(xiàn)先減后增趨勢。本節(jié)案例中當(dāng)s=1/1.341 9時對應(yīng)初始成本24 801元，s在(1，1.341 9)區(qū)間內(nèi)成本均低于初始成本。因此若存在低成本區(qū)間，則在區(qū)間內(nèi)提升s可降低總成本。

4.2 鑒別比對設(shè)計保證系數(shù)取值的約束

鑒別比是受試產(chǎn)品MTBF的檢驗(yàn)上限θ0與檢驗(yàn)下限θ1的比值，即d=θ0/θ1.選擇不同鑒別比的試驗(yàn)方案，對設(shè)計保證系數(shù)的取值也有顯著影響。為便于分析，取產(chǎn)品形狀參數(shù)m=1，結(jié)合國家軍用標(biāo)準(zhǔn)GJB 899A—2009給出的定時截尾試驗(yàn)方案進(jìn)行說明。

假設(shè)受試產(chǎn)品可靠性規(guī)定值θs=2θm=2θ1.對應(yīng)不同設(shè)計保證系數(shù)s的取值(s分別取1、1.1、1.2、1.25)，依據(jù)(16)式分別計算產(chǎn)品采用不同標(biāo)準(zhǔn)定時截尾試驗(yàn)方案(方案9～方案17、方案19～方案21)[2]的試驗(yàn)通過概率Ps，結(jié)果如表3所示。

由表3可知：如果選擇方案9～方案11及方案19，d=1.5

表3 不同標(biāo)準(zhǔn)定時試驗(yàn)方案的通過概率Tab.3 Passing probabilities of different standard timingtest schemes

若選擇方案21，則即使產(chǎn)品可靠性預(yù)計值達(dá)到

了規(guī)定值的1.25倍，其預(yù)期接收概率僅為64.4%，拒收風(fēng)險很大。事實(shí)上，由于θp=sθs=skθ1=θ0sk/d，對方案15～方案17及方案21而言，d=3>k=2，因此僅當(dāng)s≥1.5時能保證θp≥θ0，才能滿足可靠性預(yù)計值θp應(yīng)高于檢驗(yàn)上限θ0實(shí)施可靠性鑒定試驗(yàn)的要求[2]。

綜上分析，在同時滿足標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的可靠性預(yù)計值不應(yīng)低于合同規(guī)定值，并且可靠性預(yù)計值高于檢驗(yàn)上限才能開展可靠性鑒定試驗(yàn)的要求下，設(shè)計保證系數(shù)s的取值范圍為

(21)

5 設(shè)計保證系數(shù)的定量選擇方法

5.1 設(shè)計保證系數(shù)的選擇取值規(guī)則

工程師在進(jìn)行設(shè)計保證系數(shù)選取時，首先以期望的接收概率Ps、規(guī)定值θs以及試驗(yàn)參數(shù)為輸入，計算出對應(yīng)的初始設(shè)計保證系數(shù)，記為s0.再依據(jù)(22)式進(jìn)行結(jié)果判定并修正，即有

(22)

依據(jù)規(guī)定值θs與檢驗(yàn)上限θ0的關(guān)系以及初始設(shè)計保證系數(shù)s0的取值，(22)式共包含如下4種情況。

情況1和情況2：當(dāng)檢驗(yàn)上限θ0不高于規(guī)定值θs時，需要滿足保證系數(shù)不低于1，即預(yù)計值θp不低于合同規(guī)定值θs，體現(xiàn)了驗(yàn)收期產(chǎn)品可靠性水平需達(dá)到合同規(guī)定值的要求。

情況3和情況4：當(dāng)檢驗(yàn)上限θ0高于規(guī)定值θs時，需要滿足保證系數(shù)不低于d/k，即預(yù)計值θp不低于檢驗(yàn)上限θ0，體現(xiàn)了開展可靠性驗(yàn)收試驗(yàn)時產(chǎn)品可靠性水平需達(dá)到檢驗(yàn)上限的要求。

依據(jù)(22)式對設(shè)計保證系數(shù)進(jìn)行修正后，還需要考慮可靠性提升成本的約束，對設(shè)計保證系數(shù)進(jìn)行修正，即

s≤sd.

(23)

綜上所述，檢驗(yàn)上限θ0和合同規(guī)定值θs約束了設(shè)計保證系數(shù)s的下限，提升成本Cd約束了設(shè)計保證系數(shù)s的上限。工程師基于期望的試驗(yàn)接收概率，利用(11)式計算出設(shè)計保證系數(shù)后，還需要考慮依據(jù)(22)式和(23)式的約束。此外，若提升成本曲線存在低成本區(qū)間，則在達(dá)到s取值下限后，可在設(shè)計難度允許的情況下在區(qū)間內(nèi)提升s的取值。

5.2 標(biāo)準(zhǔn)定時截尾試驗(yàn)保證系數(shù)的工程用表

為更好地推進(jìn)工程應(yīng)用，針對國家軍用標(biāo)準(zhǔn)提供的標(biāo)準(zhǔn)定時截尾試驗(yàn)方案，從確保產(chǎn)品可靠性設(shè)計水平使其能以預(yù)期高概率通過可靠性鑒定的角度出發(fā)，進(jìn)一步計算了相關(guān)保證系數(shù)的推薦值。

給定期望的接收概率，依據(jù)(17)式計算，考慮(22)式的下限約束，給出對應(yīng)不同標(biāo)準(zhǔn)定時試驗(yàn)方案的驗(yàn)收保證系數(shù)ν的推薦值，如表4所示。

表4 對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)定時試驗(yàn)方案的驗(yàn)收保證系數(shù)ν值Tab.4 Acceptance guarantee coefficient ν values correspondingto standard timing test schemes

以表4中的方案14為例。產(chǎn)品研發(fā)工程師若希望在后期鑒定試驗(yàn)中預(yù)期以至少80%的概率通過，則在設(shè)計階段，產(chǎn)品可靠性預(yù)計值應(yīng)至少達(dá)到合同要求最低可接受值的2.0倍；若希望以95%的概率通過鑒定，則預(yù)計值應(yīng)至少達(dá)到最低可接受值的2.99倍以上。

6 結(jié)論

本文結(jié)合國家軍用標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定、型號規(guī)范和工程實(shí)際需求，分析論述了設(shè)計保證系數(shù)以及可靠性預(yù)計值、規(guī)定值、最低可接受值及鑒定試驗(yàn)檢驗(yàn)上下限等相關(guān)指標(biāo)的內(nèi)涵與相互關(guān)系。在基于產(chǎn)品詳細(xì)預(yù)計階段預(yù)計值能反映真實(shí)可靠性水平的條件下，分別采用威布爾分布與指數(shù)分布描述產(chǎn)品的壽命，建立了可靠性設(shè)計保證系數(shù)的計算方法。討論了可靠性提升成本對設(shè)計保證系數(shù)取值的上限約束，以及規(guī)定值、檢驗(yàn)上限對設(shè)計保證系數(shù)的下限約束，并給出設(shè)計保證系數(shù)取值規(guī)則。針對可靠性設(shè)計評審需求，給出了工程適用的驗(yàn)收保證系數(shù)取值表。得到以下主要結(jié)論：

1)產(chǎn)品可靠性設(shè)計保證系數(shù)的取值，應(yīng)從控制產(chǎn)品拒收風(fēng)險的角度，基于預(yù)期的可靠性鑒定試驗(yàn)通過概率確定。

2)在產(chǎn)品服從指數(shù)分布的情況下，試驗(yàn)方案可直接采用國家軍用標(biāo)準(zhǔn)給出的標(biāo)準(zhǔn)定時截尾試驗(yàn)方案，其設(shè)計保證系數(shù)的計算采用簡化的威布爾公式。

3)隨產(chǎn)品可靠性水平增加，產(chǎn)品提升成本急劇增加，限制了設(shè)計保證系數(shù)的上限。

對于產(chǎn)品服從威布爾分布的情況，本文提出的方法為近似算法，可在未來工作中進(jìn)一步研究其精確解法。此外，產(chǎn)品壽命服從正態(tài)、瑞利等其他分布時的試驗(yàn)通過概率可做進(jìn)一步研究。