肖 翔，吳懿祺，古 晞

（1.上海工程技術大學 數(shù)理與統(tǒng)計學院,上海 201620；2.上海對外經貿大學 統(tǒng)計與信息學院,上海 201620；3.同濟大學 數(shù)學科學學院,上海 200092）

混合分布模型常用于對混合計數(shù)數(shù)據(jù)的研究[1?4].其中混合治愈模型在醫(yī)學上有著廣泛的應用，它最早是在癌癥臨床研究中提出的，用于解決治愈率估計問題.目前，國內外學者在對混合治愈模型的研究中取得豐富的成果.Boag[5]基于對數(shù)正態(tài)分布構建易感群體的生存函數(shù)和混合治愈模型，對癌癥復發(fā)的可能性進行預測.Farewell[6]利用威布爾分布建立關于治愈率的Logistic 回歸模型，用極大似然法估計參數(shù).Ghitany 等[7]引入?yún)f(xié)變量建立基于指數(shù)分布混合治愈模型，采用極大似然法估計參數(shù)的相合性和漸進正態(tài)性.Taylor[8]使用Kaplan-Meier 估計量對易感群體的失效時間建模，引入?yún)f(xié)變量對治愈率建立回歸模型，并利用EM 算法得到參數(shù)的估計值.Peng 等[9]采用非參數(shù)估計方法建立基于比例風險的混合治愈模型，并對乳腺癌數(shù)據(jù)進行實證分析.Zhou 等[10]使用多重插值補獲得治愈概率和未治愈的患者生存函數(shù)的參數(shù)和方差估計.Diao 等[11]針對具有存活率的當前狀態(tài)數(shù)據(jù)，提出一類半?yún)?shù)變化治愈模型，并證明模型回歸系數(shù)的極大似然估計具有一致性、漸進正態(tài)性和漸進有效性.Lam 等[12]提出聚類加權廣義估計方程方法，使用基于Bernstein 多項式的偽似然法估計模型的參數(shù)和非參數(shù)分量.

上述文獻一般采用傳統(tǒng)的或者基于EM 算法的極大似然估計法、多重插值補和偽似然法對治愈模型或者混合治愈模型中的參數(shù)進行估計，很少采用Jeffreys 先驗和reference 先驗等客觀先驗，這一領域研究幾乎空白.因此，本研究使用客觀先驗對基于指數(shù)分布且含有刪失數(shù)據(jù)的混合治愈模型進行客觀貝葉斯分析.

1 基于指數(shù)分布的混合治愈模型

假設被研究總體分成兩個群體：一類是治愈人群，其治愈率為p(0t)，T為研究對象的生存時間.一般意義下的混合治愈模型為

假設易感人群的生存時間服從指數(shù)分布，其概率密度為

式中：λ>0.對應易感人群的生存函數(shù)為S0(t)=exp(?λt)，代入式(1)得到基于指數(shù)分布混合治愈模型為

假設{(ti,di)}(i=1,2,···,n)是樣本容量為n的觀測值，參數(shù)(p,λ)的似然函數(shù)為

式中：f(ti;p,λ)為生存時間的概率密度函數(shù)；S(ti;p,λ)為生存函數(shù).

若生存時間為服從指數(shù)分布的混合治愈模型式(2)，則 (p,λ)的似然函數(shù)可以進一步寫成

其對數(shù)似然函數(shù)為

由于式(3)、式(4)比較復雜，不利于客觀先驗的計算，因此引入隱變量Z=(z1,z2,···,zn). 當zi=0時，個體i來源于易感群體；當zi=1時，個體i來源于治愈群體，該群體占總體的比例為p.zi是服從治愈率為p的伯努利分布，即zi～Bernoulli(p)，且E(zi)=p，i=1,2,···,n.因此，基于擴充數(shù)據(jù){(ti,di,zi)}得到參數(shù)(p,λ)的完全似然函數(shù)為

其對數(shù)完全似然函數(shù)為

2 客觀貝葉斯分析

2.1 Fisher 信息矩陣

由于原始的對數(shù)似然函數(shù)式(4)非常復雜，本節(jié)采用對數(shù)完全似然函數(shù)式(6)進行推導，得到Fisher 信息矩陣是對角矩陣，極大地簡化了客觀先驗的計算.

定理1假設對研究對象的觀測時間足夠長，則基于指數(shù)分布混合治愈模型式(2)，參數(shù) (p,λ)的Fisher 信息矩陣為

證明：對數(shù)完全似然函數(shù)式(6)的一階和二階偏導數(shù)為

記 為失效人數(shù)，假設對研究對象的觀測時間足夠長，這樣就可以識別出治愈者，通過樣本數(shù)據(jù)觀測到的未治愈率無限趨向于總體未治愈率 1?p，為后續(xù)計算方便，本研究取r≈n(1?p)，得到Fisher 信息陣的組成元素為

則在數(shù)據(jù)擴充策略下，參數(shù) (p,λ)的Fisher 信息矩陣為

2.2 客觀先驗

相比于Laplace 先驗，Jeffreys 先驗能夠在參數(shù)變換下保持不變性，比Laplace 先驗具有更廣泛的應用場合[13].

定理2參數(shù) (p,λ)的Jeffreys 先驗為

證明：參數(shù)(p,λ)的Jeffreys先驗與Fisher信息矩陣行列式的平方根成正比，且有

reference 先驗是基于信息量準則推導出的先驗分布，能夠使參數(shù)的先驗分布和后驗分布之間的Kullback-Liebler 距離最大.reference 先驗是Jeffreys 先驗的推廣，當參數(shù)是一維時，reference先驗就變成了Jeffreys 先驗.

reference 先驗根據(jù)參數(shù)的重要性，可得到不同重要次序下的參數(shù)組合.例如，記號{p,λ}表示p為感興趣參數(shù)，λ為討厭參數(shù)，p比λ更重要.反之，記號{λ,p}表示λ為感興趣參數(shù)，p為討厭參數(shù)，λ比p更重要.

定理3對于參數(shù)組合{p,λ}，(p,λ) reference 先驗為

證 明：對于參數(shù)組合 {p,λ}，p為感興趣參數(shù)，F(xiàn)isher 信息矩陣I可寫為

式中：p?和 λ?為參數(shù)空間中事先給定的值.

定理4對于參數(shù)組合{λ,p}，(p,λ)的reference先驗為

式中：p?和 λ?為參數(shù)空間中事先給定的值.

從定理3 和4 的結論可以看出，無論p為感興趣參數(shù)，還是 λ為感興趣參數(shù)，它們的reference 先驗相同，為后續(xù)討論方便，記 πR=πR1= πR2.

2.3 后驗分析

定理5基于先驗分布 πJ和 πR，數(shù)據(jù)擴充策略下(p,λ)的后驗分布都是恰當?shù)?

結合式(8)和(9)，可得

因此，基于先驗分布πR，(p,λ)的后驗分布πR(p,λ|ti,di,zi)是恰當?shù)?，同理，基于先驗分布πJ，(p,λ)的后驗分布πJ(p,λ|ti,di,zi)也是恰當?shù)?從而，保證了后驗樣本抽樣的可行性，如果后驗分布不是恰當?shù)模瑒t無法抽樣得到后驗樣本.

2.4 抽樣算法設計

基于完全似然函數(shù)式(5)，本節(jié)設計后驗樣本的Gibbs 抽樣機制.

首先，設計條件分布，對隱變量Z=(z1,z2,···,zn)進行抽樣，公式為

在給定Z=(z1,z2,···,zn)的條件下，從后驗分布πR(p,λ|ti,di,zi)中分別抽取參數(shù)p和λ的后驗樣本.從式(7)可以得到p的滿條件后驗分布為

對logπR(p|λ,ti,di,zi)求關于p的二階導數(shù)

式(13)說明p的滿條件后驗分布式(12)是對數(shù)上凸的，滿足自適應拒絕抽樣法(ARS)的使用條件.

另外，從式(7)可以得到 λ的滿條件后驗分布為

可見，λ的滿條件后驗分布(14)服從形狀參數(shù)

最后，實施Gibbs 抽樣，具體步驟如下.

1) 設定參數(shù)初始值p(0),λ(0).

2) 對t=1,2,···，實施迭代更新:

(i)利用上一步的參數(shù)估計p(t?1),λ(t?1)及式(10)和式(11)，得到隱變量Z=(z1,z2,···,zn)的 樣本，i=1,2,···,n；

(ii) 對式(12)采用自適應拒絕抽樣法(ARS)，抽樣得到樣本p(t)；

3 數(shù)值模擬

本節(jié)分別基于先驗分布πJ和πR，對p和λ進行貝葉斯估計.設置3組不同的參數(shù)真值：1)p=0.3,λ=3；2)p=0.3，λ=4；3)p=0.4，λ=4，樣本容量分別設置為n=20和n=50.每次模擬均重復1000次，并從估計偏差(Bias)、均方誤差(RMSE)和95%覆蓋率(CP)3 個方面對估計效果進行評價，見表1 至表3.

表1 客觀貝葉斯估計下的估計偏差Table 1 Bias under objective Bayesian estimation

表2 客觀貝葉斯估計下均方誤差Table 2 RMSE under objective Bayesian estimation

表3 客觀貝葉斯估計的95%覆蓋率Table 3 95% coverage probabilities under objective Bayesian estimation

從表中可以看出，隨著樣本容量的增加，客觀貝葉斯估計下的估計偏差與均方誤差都在降低，說明參數(shù)的點估計效果在逐步提高.同時，隨著樣本容量的增加，估計效果的差異在降低，說明客觀先驗在樣本量小時優(yōu)勢比較明顯.從參數(shù)估計95%覆蓋率來看，兩種客觀貝葉斯先驗下的估計結果都相對比較穩(wěn)定，基于reference 先驗的估計效果比基于Jeffreys 先驗的效果更穩(wěn)定，這是因為reference 先驗比Jeffreys 先驗更擅長處理多維參數(shù)的估計.

4 結語

本研究討論了基于指數(shù)分布的混合治愈模型及其客觀貝葉斯分析方法，基于完全似然函數(shù)，寫出了參數(shù)的Fisher 信息矩陣，較為簡潔地計算出參數(shù)Jeffreys 先驗和reference 先驗，并驗證了后驗分布的恰當性，這種方法可以推廣到更復雜的混合治愈模型.今后將引入?yún)f(xié)變量信息，建立關于治愈率的回歸模型，制定個性化診療策略.