廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的遞進(jìn)式判定新準(zhǔn)則*

石 慧，庹 清，吳 樂

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、控制論和矩陣?yán)碚摰确矫娑加袕V泛應(yīng)用,且許多問題都?xì)w結(jié)于廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的數(shù)值判定上,而這個(gè)數(shù)值判定是比較困難的.近年來,眾多學(xué)者給出了廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的一些判定準(zhǔn)則[1-11].其中,范迎松等[1]運(yùn)用細(xì)分和迭代的思想,通過對(duì)矩陣的非占優(yōu)行指標(biāo)集進(jìn)行細(xì)分,以及對(duì)矩陣的占優(yōu)行指標(biāo)集構(gòu)造遞進(jìn)式正對(duì)角因子的方法,給出了一組廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的細(xì)分迭代判別準(zhǔn)則.筆者受此啟發(fā),擬進(jìn)一步研究廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的判定問題,運(yùn)用細(xì)分矩陣的非占優(yōu)行指標(biāo)集和構(gòu)造遞進(jìn)式新正對(duì)角因子的方法,給出廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的遞進(jìn)式判定新準(zhǔn)則.

1 基礎(chǔ)知識(shí)

(3)若存在正對(duì)角矩陣X,使得AX∈D,則稱A是廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,也稱為非奇異H-矩陣.記廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的全體為D*.

定義2[4]若A∈D0,并對(duì)于滿足|aii|=Λi的下標(biāo)i都存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajsj滿足|ajj|>Λj,則稱A為具有非零元素鏈的對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理1[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,是具有非零元素鏈的對(duì)角占優(yōu)矩陣,則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理2[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,是不可約對(duì)角占優(yōu)矩陣,則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理3[1]設(shè)A=(aij)∈Cn×n.若?l∈N,使得

則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

引理4[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n.記

則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

由定義1可知,因?yàn)檎业秸龑?duì)角矩陣X使得矩陣AX∈D,是判定矩陣A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的關(guān)鍵,所以筆者將在文獻(xiàn)[1-2]的基礎(chǔ)上,通過細(xì)分矩陣的非占優(yōu)行指標(biāo)集和構(gòu)造遞進(jìn)式新正對(duì)角因子得到新的正對(duì)角矩陣.

2 主要結(jié)果及其證明

為了敘述方便,記

定理1設(shè)A=(aij)∈Cn×n.若?l0∈N,使得

再根據(jù)h2,i,r2的定義可知,對(duì)于?i∈N3,有h2,i≤r2≤r1<1.設(shè)l=s時(shí),hs+1,i≤rs+1≤rs=1,則當(dāng)l=s+1時(shí),由于

因此根據(jù)hs+2,i,rs+2的定義可知,對(duì)于?i∈N3,有hs+2,i≤rs+2≤rs+1<1.于是由數(shù)學(xué)歸納法可知

hl+1,i≤rl+1≤rl<1 ?i∈N3,l∈N.

(1)

對(duì)于充分小的正數(shù)ε,由條件可知,?l0∈N,使得ε滿足

(2)

(3)

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X=diag(x1,x2,…,xn),并記B=AX=(bij),其中

對(duì)于?i∈N2,由(3)式可得

(4)

由(1)式可得

(5)

對(duì)于?i∈N3,由(4),(5)式可得

此時(shí),只需驗(yàn)證l=0時(shí),是否滿足定理1條件即可.

此時(shí),需要依次驗(yàn)證l=0,1,…時(shí),是否滿足定理1條件.

定理2設(shè)A=(aij)∈Cn×n,且A為不可約矩陣.若?l0∈N,使得

(6)

(7)

且不等式(6),(7)中至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立,則A∈D*.

構(gòu)造正對(duì)角矩陣X1=diag(x1,x2,…,xn),并記B1=AX1=(bij),其中

(8)

由(7)式可知,對(duì)于?i∈N2,有

(9)

對(duì)于?i∈N2,由(9)式可得

對(duì)于?i∈N3,由(5)式可得

定理3設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若?l0∈N,使得

(10)

(11)

且對(duì)于不等式(10),(11)中等號(hào)成立的i,都存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajsj滿足

則A∈D*.

3 數(shù)值算例

例1考慮矩陣A,

取m=3,?l∈N時(shí),可以驗(yàn)證矩陣A不滿足文獻(xiàn)[1]中定理1的條件.

于是

由此可知矩陣A滿足定理1的條件,從而A∈D*.

容易證明AX∈D,于是A∈D*.

例2考慮矩陣B,

取m=1,?l∈N時(shí),可以驗(yàn)證矩陣B不滿足文獻(xiàn)[8]中定理1的條件.

取m=1,l=0和l=1時(shí),可以驗(yàn)證矩陣B不滿足文獻(xiàn)[1]中定理1的條件.

于是

由此可知矩陣B滿足定理1的條件,從而B∈D*.

容易證明BX∈D,于是B∈D*.

例3考慮矩陣C,

取?l∈N時(shí),可以驗(yàn)證矩陣C不滿足文獻(xiàn)[2]中定理2的條件,且不滿足文獻(xiàn)[6]中定理1的條件和文獻(xiàn)[7]中定理1的條件.

取m=2,l=0或l=1時(shí),可以驗(yàn)證矩陣C滿足定理1的條件.

于是

由此可知矩陣C滿足定理1的條件,從而C∈D*.

容易證明CX∈D,于是C∈D*.