覃海藝，馬 寧

（上海交通大學(xué)塑性成形技術(shù)與裝備研究院，上海200030）

1 引言

車輪作為汽車一個重要安全部件，在使用之前需通過多種安全性能測試試驗(yàn)，其中，彎曲疲勞試驗(yàn)是用于檢測車輪安全性能的主要測試標(biāo)準(zhǔn)之一[1-2]。隨著有限元技術(shù)與計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的發(fā)展，人們開始用有限元分析技術(shù)替代試驗(yàn)，大大縮短和節(jié)約產(chǎn)品設(shè)計(jì)周期和成本。就車輪彎曲疲勞試驗(yàn)而言，已有多位學(xué)者采用有限元技術(shù)來模擬實(shí)際產(chǎn)品試驗(yàn)過程[3-5]，但縱觀這些論文的研究方法和過程，發(fā)現(xiàn)人們對有限元分析過程的關(guān)鍵步驟介紹甚少，甚至有些學(xué)者對影響計(jì)算精度的重要環(huán)節(jié)認(rèn)識不足，對影響分析結(jié)果的重要參數(shù)把控不嚴(yán)，分析得到的結(jié)果準(zhǔn)確性值得再考證。

將以某幅板式鋼制薄壁車輪為研究對象，詳細(xì)描述用有限元分析方法來模擬車輪彎曲疲勞壽命的方法與步驟，著重講述影響計(jì)算精度的因素和注意事項(xiàng)，為此類車輪的彎曲疲勞試驗(yàn)提供一套完整可靠的有限元分析方法指南。

2 車輪彎曲疲勞試驗(yàn)方法

參照GB/T 5909-2014 商用車輛車輪性能要求和試驗(yàn)方法，車輪彎曲疲勞試驗(yàn)方法，如圖1 所示。

將輪輞內(nèi)側(cè)圓面固定于試驗(yàn)臺上，在輪輻安裝點(diǎn)用螺栓連接一根長度固定的剛性力臂，在力臂自由端施加一個外力F，力的大小依法規(guī)要求而定，力與力臂的軸線垂直并繞軸線轉(zhuǎn)動，力每旋轉(zhuǎn)一周，記車輪疲勞壽命1 次，直至車輪發(fā)生破壞，力所轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，即為車輪的疲勞壽命次數(shù)。

圖1 車輪彎曲疲勞試驗(yàn)方法Fig.1 Wheels Bending Fatigue Test

3 有限元分析步驟

3.1 有限元網(wǎng)格模型建立

本算例的分析對象為一幅板式鋼制車輪，車輪最小直徑為340mm，輪輻厚度3.4mm，輪輞厚度2.4mm，是典型的薄壁構(gòu)件。參照文獻(xiàn)[6]的研究成果，認(rèn)為網(wǎng)格類型、單元尺寸、厚度方向的單元層數(shù)、單元積分形式等參數(shù)都是影響薄壁車輪計(jì)算精度的主要因素之一。當(dāng)采用全積分六面體單元，單元長高比接近1：1 時，厚度方向只需兩層單元就可以得到較好的應(yīng)力計(jì)算精度。單元長高比越大，全積分單元剪切鎖死問題越明顯，計(jì)算精度越差。雖然減縮積分單元可以得到較準(zhǔn)確的位移計(jì)算結(jié)果，但由于減縮積分單元積分點(diǎn)個數(shù)較少，其應(yīng)力分析結(jié)果誤差比較大，厚度方向單元個數(shù)需5 層以上才能得到較合理的應(yīng)力分析結(jié)果。但厚度方向單元層數(shù)過多會導(dǎo)致單元過于細(xì)長，對應(yīng)力計(jì)算精度有影響。而要同時保證厚度方向單元個數(shù)足夠多及單元尺寸不細(xì)長，就只能加密結(jié)構(gòu)表面單元數(shù)量，這樣又會導(dǎo)致單元總數(shù)過多，計(jì)算時間過長，甚至電腦無法計(jì)算。減縮積分單元還有個最大的缺陷就是對臨近塑性變形區(qū)域的位移和應(yīng)力分析精度都比較差，因此認(rèn)為減縮積分單元不適合薄壁彎曲結(jié)構(gòu)件的應(yīng)力分析。本算例的鋼制車輪選用全積分六面體單元較為理想，但必須嚴(yán)格控制單元長高比不能過大。

綜合以上討論，分析采用六面體全積分單元對車輪進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分?？紤]到應(yīng)力是后期疲勞分析的主要輸入?yún)?shù)，經(jīng)權(quán)衡計(jì)算時間和應(yīng)力計(jì)算精度，除了螺栓孔附近，對車輪其它位置的厚度方向只設(shè)2 層單元，同時控制輪輻平均單元長高比在1.2 以內(nèi)，輪輞平均單元長高比在1.5 以內(nèi)，整個車輪共8.7 萬個單元，13.2 萬個節(jié)點(diǎn)，如圖2 所示。

圖2 有限元網(wǎng)格模型Fig.2 Finite Element Model

3.2 材料參數(shù)確定

通過拉伸試驗(yàn)得到的是材料“工程應(yīng)力-應(yīng)變”曲線，它反映的是外力與結(jié)構(gòu)初始截面積的比值，是一種名義應(yīng)力。而有限元分析是變形逐步積累后的應(yīng)力結(jié)果，它反映的是外力與結(jié)構(gòu)變形時刻實(shí)際截面積的比值，是結(jié)構(gòu)真實(shí)應(yīng)力的表現(xiàn)，因此在進(jìn)行有限元分析之前應(yīng)把材料“工程應(yīng)力-應(yīng)變”曲線轉(zhuǎn)化為“真應(yīng)力-應(yīng)變”曲線，轉(zhuǎn)化公式如下[7]：

式中：σ 和ε—工程斷裂應(yīng)力和應(yīng)變；σT和εT—真實(shí)斷裂應(yīng)力和應(yīng)變。

3.3 邊界條件施加

邊界條件包括外力、接觸關(guān)系和固定約束等，根據(jù)試驗(yàn)要求，如圖1 所示。對輪輞內(nèi)側(cè)圓面施加固定約束，焊縫位置設(shè)為共節(jié)點(diǎn)，有接觸關(guān)系的區(qū)域設(shè)置為接觸邊界條件，如輪輻與輪輞、螺栓與車輪、車輪與剛性力臂等之間都需設(shè)置接觸關(guān)系。由于力F的大小不變，力的方向近似在平面內(nèi)呈圓周旋轉(zhuǎn)變化，為了在有限元分析中完成這種變方向的外力加載，可在旋轉(zhuǎn)平面（xy 平面）內(nèi)構(gòu)造兩個隨旋轉(zhuǎn)角度θ 變化的力函數(shù)f（x）和f（y）：

其中，0≤θ≤2π。

3.4 螺栓預(yù)緊力施加

螺栓預(yù)緊力大小對車輪應(yīng)力分布，尤其是對螺栓孔周圍的應(yīng)力分布有較大的影響，有限元分析中應(yīng)充分考慮螺栓預(yù)緊力的作用，常見的螺栓預(yù)緊力施加方法有[8-9]：

（1）初始穿透法。預(yù)先給螺栓與車輪一定的接觸穿透量，分析中通過接觸反力來實(shí)現(xiàn)螺栓的預(yù)緊。

（2）降溫收縮法。給螺栓設(shè)置溫降條件，使螺栓在溫度變化過程中發(fā)生收縮，從而產(chǎn)生預(yù)緊效果。

（3）斷面加力法。把螺栓截面進(jìn)行打斷，在兩個斷截面直接施加大小相等，方向相反的螺栓預(yù)緊力。

其中，法（1）和（2）是預(yù)加位移法，法（3）是預(yù)加力法。在螺栓預(yù)緊過程中，不但車輪發(fā)生了變形，螺栓本身也發(fā)生了變形，車輪與螺栓之間的相對變形在有限元分析之前是很難估算出來的，因此當(dāng)采用法（1）和法（2）時，需反復(fù)試算和調(diào)整螺栓初始位置，直至螺栓所產(chǎn)生的預(yù)緊力大小接近實(shí)際預(yù)緊力。法（3）雖然可直接施加預(yù)緊力進(jìn)行分析，但在車輪實(shí)際變形過程中，螺栓所受拉力是變化的，即螺栓內(nèi)力并不總是等于預(yù)緊力大小，因此當(dāng)螺栓受力變化較大時，法（3）產(chǎn)生的誤差也會較大。本算例采用法（1）進(jìn)行螺栓預(yù)緊，根據(jù)螺栓直徑建立近似同等大小的螺栓有限元模型，參照實(shí)際預(yù)緊力大小，通過多次計(jì)算，反復(fù)調(diào)整螺栓與車輪的初始相對位置，使螺栓初始拉力近似等于實(shí)際預(yù)緊力大小。

3.5 加載時間步設(shè)置

疲勞分析需要考察外力旋轉(zhuǎn)一周車輪的應(yīng)力變化情況，實(shí)際分析過程中，是用有限個加載時間步近似描述外力整個旋轉(zhuǎn)周期。車輪形狀和對稱特性不同，一周內(nèi)的加載時間步個數(shù)也不一樣。如圖2 車輪，共12 個風(fēng)孔、4 個螺栓孔和4 個突起加強(qiáng)包。螺栓孔和加強(qiáng)包近似在同一圓周上，相當(dāng)于在這一個圓周上循環(huán)出現(xiàn)了3 個特征：螺栓孔、有加強(qiáng)包區(qū)域和無加強(qiáng)包區(qū)域（8 個）。為了更好的獲得這3 個特征的最大應(yīng)力值，在外力旋轉(zhuǎn)一周的時間內(nèi)，加載時間步應(yīng)為“8+4+4=16”的倍數(shù)個。同理，為了更好的獲得風(fēng)孔和風(fēng)孔間的最大應(yīng)力值，加載時間步應(yīng)為24 的倍數(shù)個。綜合以上，最少加載時間步數(shù)應(yīng)為16 與24 的公倍數(shù)個，即車輪旋轉(zhuǎn)一周至少要輸出48 個時間點(diǎn)的應(yīng)力值。

3.6 提交計(jì)算

不同求解器生成計(jì)算文件的方法不同，提交計(jì)算文件的方式也有不同。完成了有限元網(wǎng)格劃分、單元屬性分配、材料參數(shù)設(shè)定、邊界條件施加、加載時間步設(shè)置等一系列主要步驟后，就可生成計(jì)算文件并提交計(jì)算。

4 應(yīng)力分析結(jié)果合理性判斷

由于車輪結(jié)構(gòu)對稱，外力循環(huán)對稱，因此應(yīng)力分析結(jié)果合理與否，可從以下幾點(diǎn)進(jìn)行判斷：

（1）結(jié)構(gòu)對稱點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)具有循環(huán)對稱性，最大應(yīng)力值按結(jié)構(gòu)的對稱性循環(huán)出現(xiàn)。結(jié)構(gòu)上4 個對稱點(diǎn)的“應(yīng)力-時間”變化曲線，可見4 個點(diǎn)的應(yīng)力曲線形態(tài)相同，峰值在時間軸上交替循環(huán)出現(xiàn)，說明應(yīng)力分布較合理，如圖3 所示。在車輪旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)，如果車輪上某點(diǎn)的應(yīng)力值隨時間沒有明顯的正弦或余弦曲線變化，則說明車輪在旋轉(zhuǎn)過程中產(chǎn)生了顫動，這通常是由于計(jì)算模型設(shè)置不合理造成的，包括網(wǎng)格尺寸不對稱、局部網(wǎng)格質(zhì)量較差、螺栓預(yù)緊力不均、固定約束不對稱等問題。

圖3 對稱點(diǎn)應(yīng)力曲線形態(tài)相同F(xiàn)ig.3 Stress Curves Have the Same Shape on Symmetrical Points

（2）力F 作用點(diǎn)的位移大小應(yīng)近似為一定值，否則說明車輪在旋轉(zhuǎn)過程是跳動的，是不符合車輪實(shí)際運(yùn)動狀態(tài)的。如圖4 所示，隨時間t 的變化，力作用點(diǎn)位移近似呈一水平線，但當(dāng)把曲線放大，發(fā)現(xiàn)其又略呈正弦曲線變化，這種微小的波動也正反映了車輪非完全軸對稱的特性。

圖4 力F 作用點(diǎn)的位移變化Fig.4 Displacement of Force Point

（3）由于S-N 曲線具有對數(shù)線性關(guān)系[8]，即S 與N 具有一一對應(yīng)關(guān)系，因此當(dāng)采用任意一組材料的S-N曲線來進(jìn)行疲勞壽命計(jì)算時，最小壽命位置和實(shí)測破壞點(diǎn)應(yīng)是一致的，雖然此時疲勞壽命值與實(shí)測結(jié)果有可能不同。采用某近似材料S-N曲線對車輪進(jìn)行疲勞分析后得到的最小壽命位置（螺栓孔附近，圓圈所示）和實(shí)測破壞點(diǎn)結(jié)果對比，可見，兩者出現(xiàn)的位置基本一致，說明計(jì)算得到的應(yīng)力結(jié)果和試驗(yàn)應(yīng)力結(jié)果較為一致，如圖5 所示。

圖5 有限元最小壽命位置與實(shí)測破壞點(diǎn)一致Fig.5 Crackle Points are the Same

5 疲勞分析過程

5.1 S-N 曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式

S-N 曲線是結(jié)構(gòu)應(yīng)力水平（S）與失效壽命（N）之間的關(guān)系式，一般認(rèn)為當(dāng)N 在（104～106）次范圍時，S 與N 的關(guān)系式可用冪函數(shù)近似表示為[10-11]：

或用雙對數(shù)曲線表示為：

式中：m 與C—與材料有關(guān)的參數(shù)，其中A=lg（C）/m，B=-1/m。

由表達(dá)式（4）可知，lg（S）與lg（N）呈線性關(guān)系，如圖6 所示。當(dāng)已知坐標(biāo)值（lg（N1），lg（S1））及（lg（N2），lg（S2）），就可計(jì)算出A和B 的值，從而可近似確定S-N 曲線的表達(dá)式。

圖6 S-N 曲線Fig.6 S-N Curve

5.2 試驗(yàn)過程與結(jié)果

試驗(yàn)過程車輪的安裝狀態(tài)，通過緊固件作用使輪輞內(nèi)側(cè)圓面緊貼于剛性試驗(yàn)臺上，剛性彎矩力臂倒插于試驗(yàn)臺中部鏤空位置，車輪與彎矩力臂采用螺栓進(jìn)行連接（螺母扭矩為100N·m），試驗(yàn)臺下部安裝電機(jī)（轉(zhuǎn)速為400r/min），用于驅(qū)動力臂產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)彎曲力，整個試驗(yàn)過程監(jiān)控和數(shù)據(jù)采樣由專門的試驗(yàn)機(jī)控制系統(tǒng)自動完成，如圖7 所示。

圖7 車輪試驗(yàn)Fig.7 Wheel Test

根據(jù)產(chǎn)品抽樣試驗(yàn)要求，需分別用兩個彎曲力F1和F2（其中，F(xiàn)1=1369N，F(xiàn)2=2054N）對車輪進(jìn)行彎曲疲勞試驗(yàn)，每個彎曲力進(jìn)行6 組，共12 組試驗(yàn)結(jié)果，如表1 所示。

表1 車輪彎曲疲勞壽命次數(shù)Tab.1 Bending Fatigue Life of Wheels

由表1 可知，彎曲力相同，疲勞壽命卻有較大的不同，說明試驗(yàn)結(jié)果具有分散性。事實(shí)上，影響疲勞壽命的因素很多，這種分散性在疲勞試驗(yàn)中是普遍存在的，因此產(chǎn)品同一批次的疲勞壽命不會是同一定值，而是落在某一帶寬范圍內(nèi)的區(qū)間值。經(jīng)觀察表1 數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，雖然實(shí)測數(shù)據(jù)點(diǎn)有一定的波動性，但測試結(jié)果基本遵循了“彎曲力越大壽命越小”的規(guī)律，說明試驗(yàn)結(jié)果具有一定的穩(wěn)定性和可靠性。在此，可取彎曲力相同的試驗(yàn)壽命平均值N1和N2近似作為結(jié)構(gòu)分別對應(yīng)于外力F1和F2的壽命值，即在力F1及在F2的作用下，車輪的平均壽命分別為384453 次和162292 次。

通常材料S-N 曲線試驗(yàn)比較耗時耗力，目前能獲得的（商業(yè)疲勞軟件材料庫）為數(shù)不多的材料S-N 曲線，大多都是軟件開發(fā)商收集或通過原材料標(biāo)準(zhǔn)樣件測試而得。輻板式鋼制車輪是經(jīng)過金屬板料塑性加工而成，實(shí)際產(chǎn)品材料力學(xué)性能相對原材料有較大的不同，車輪疲勞試驗(yàn)加載方式、結(jié)構(gòu)尺寸與標(biāo)準(zhǔn)材料樣件測試方法也不同，因此要獲得車輪實(shí)際的材料S-N 曲線是比較困難的，如何獲得車輪潛在的S-N 曲線是準(zhǔn)確預(yù)測車輪壽命的關(guān)鍵。

5.3 S-N 曲線近似預(yù)測

S-N 曲線中的S 指的是應(yīng)力幅值，有限元分析結(jié)果輸出的通常是某點(diǎn)的應(yīng)力值，而不是應(yīng)力幅值?；谟邢拊治鼋Y(jié)果，借助疲勞分析軟件，選定某個強(qiáng)度極限與車輪材料相近的金屬材料S-N 曲線，如表達(dá)式（5），就可算出結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)對應(yīng)于該材料的壽命值N，再把N 代入表達(dá)式（5），就可反算出該點(diǎn)的應(yīng)力幅值S。

lg（S）=3.6507-0.2lg（N） （5）

現(xiàn)參照表1 的試驗(yàn)結(jié)果，對同一款車輪分別做了F1及F2兩種外力作用下的有限元應(yīng)力分析，并采用式（5）的S-N 曲線表達(dá)式，在MSC.Fatigue 疲勞分析系統(tǒng)中進(jìn)行疲勞壽命分析。由分析結(jié)果可得在F1及F2作用下結(jié)構(gòu)的最小壽命分別為105.36次和105.18次，由此得到方程組：

從而求得lg（S1）=2.5788，lg（S2）=2.6146，即F1及F2作用下結(jié)構(gòu)最小壽命點(diǎn)的應(yīng)力幅值分別為102.5788=379.2MPa 和102.6146=411.7MPa?，F(xiàn)把表1 的數(shù)據(jù)N1、N2，及以上求得的lg（S1）、lg（S2）分別代入式（4），可得方程組：

圖8 S-N 曲線預(yù)測效果驗(yàn)證Fig.8 Verification of Prediction Effect of S-N Curve

進(jìn)一步求得A=3.1122，B=-0.0955，由此可得車輪材料S-N曲線近似表達(dá)式為：現(xiàn)用表達(dá)式（8）去預(yù)測某款材料牌號相同、結(jié)構(gòu)相近的車輪疲勞壽命，與試驗(yàn)結(jié)果對比，如圖8 所示?？芍邢拊治龅米钚勖谳嗇楉斏希蛯?shí)測破壞點(diǎn)位置一致。此時有限元分析得到車輪壽命為14.1 萬次，實(shí)測車輪平均壽命為12.6 萬次，有限元壽命分析結(jié)果落在車輪實(shí)測數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)（9.5～17.3 萬次），認(rèn)為有限元壽命預(yù)測結(jié)果具有一定的可靠性。

6 結(jié)論

詳細(xì)介紹了用有限元法模擬薄壁鋼制車輪彎曲疲勞試驗(yàn)的方法和過程，得到以下結(jié)論：

（1）由于為薄壁結(jié)構(gòu)，不宜采用減縮積分單元，可采用全積分六面體單元，單元長高比不宜太大，最好控制在1.5：1 以內(nèi)，且結(jié)構(gòu)厚度方向單元個數(shù)不能低于兩層。

（2）應(yīng)采用材料“真應(yīng)力-應(yīng)變”曲線進(jìn)行計(jì)算。

（3）應(yīng)考慮螺栓預(yù)緊力的作用，常見的螺栓預(yù)緊力施加方法有初始穿透法、降溫收縮法和斷面加力法等。

（4）為了更好的獲得車輪應(yīng)力分布，計(jì)算加載時間步個數(shù)應(yīng)根據(jù)車輪螺栓孔、風(fēng)孔、加強(qiáng)筋等特征的分布狀態(tài)來設(shè)定。

（5）可對應(yīng)力分析結(jié)果合理與否進(jìn)行判斷：結(jié)構(gòu)對稱點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)是循環(huán)對稱出現(xiàn)；加載點(diǎn)位移應(yīng)近似為一定值；如有試驗(yàn)結(jié)果，采用任一條S-N 曲線進(jìn)行疲勞分析得到的最低壽命點(diǎn)位置應(yīng)和試驗(yàn)結(jié)果一致。

（6）以車輪疲勞試驗(yàn)結(jié)果為參照，結(jié)合S-N 曲線數(shù)學(xué)表達(dá)式，可近似預(yù)測車輪潛在的材料S-N 曲線，基于此S-N 曲線去進(jìn)行疲勞分析，可獲得較合理的壽命結(jié)果。