歐陽(yáng)芳， 趙建國(guó)*， 李智， 肖增佳， 賀艷曉， 鄧?yán)^新， 趙皓， 任靜

1 中國(guó)石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測(cè)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 102249 2 成都理工大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610059

0 引言

當(dāng)?shù)卣鸩ㄔ诘叵陆橘|(zhì)中傳播時(shí)會(huì)在很寬的頻率范圍和空間尺度上誘發(fā)速度頻散和衰減，而發(fā)生在孔隙尺度上的流體流動(dòng)，我們將之稱為噴射流.噴射流通常由相鄰孔隙剛度差異形成的局部壓力梯度所引起，故又稱為局部流.這種局部或孔隙尺度的噴射流現(xiàn)象一般出現(xiàn)在超聲頻段，但也可能在測(cè)井和地震頻段發(fā)揮著一定的作用(Johnston et al., 1979; Sams et al., 1997; Pride et al., 2004).

噴射流理論最早由Mavko和Nur(1975)基于非均勻介質(zhì)的單一孔隙提出，后經(jīng)Palmer和Traviolia(1980)、O′Connell(1984)、Murphy等(1986)、Mavko和Jizba(1991)、Dvorkin等(1995)、Gurevich等(2009, 2010)的發(fā)展，形成了模擬孔隙尺度局部流體流動(dòng)的一系列噴射流模型.20世紀(jì)90年代初，Dvorkin和Nur(1993)將“宏觀Biot機(jī)制”與“微觀噴射機(jī)制”結(jié)合起來(lái)，建立了BISQ模型.該研究發(fā)現(xiàn)，由于微觀噴射流的影響，BISQ模型預(yù)測(cè)的速度頻散及衰減比經(jīng)典Biot模型的預(yù)測(cè)結(jié)果大得多，且與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)量級(jí)更為吻合.Dvorkin和Nur(1993)認(rèn)為，噴射流是造成地震波大規(guī)模衰減和頻散的重要原因.在國(guó)內(nèi)，聶建新(2004)、申義慶和楊頂輝(2004)和楊寬德等(2002,2011)基于BISQ理論對(duì)雙相介質(zhì)的波傳播特征進(jìn)行了深入研究，并分析了Biot流與噴射流動(dòng)力學(xué)機(jī)制之間的關(guān)系.然而，BISQ理論也存在一些顯著問(wèn)題：其低頻極限與公認(rèn)的Gassmann方程不一致，且BISQ理論公式中存在實(shí)驗(yàn)室不可測(cè)量的特征射流長(zhǎng)度參數(shù)，因此該理論的實(shí)際應(yīng)用在一定程度上受到了限制.

另一方面，諸多研究表明，噴射流引起的速度頻散和衰減大小與巖石孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，尤其是孔隙縱橫比，只有縱橫比很小的裂縫或微裂隙才會(huì)引起顯著衰減，而縱橫比較大的孔隙(如等徑孔)對(duì)衰減幾乎沒(méi)有什么貢獻(xiàn)(Jones, 1986).在微裂隙噴射流效應(yīng)的模擬方面，常用的方法是假設(shè)巖石孔隙空間由兩部分構(gòu)成：體積含量占主導(dǎo)的硬孔隙和對(duì)壓力變化十分敏感的微裂隙或軟孔隙(Walsh, 1965; Shapiro, 2003).Mavko和Jizba(1991)基于此假設(shè)條件，提出了一種“濕骨架”模型，即軟孔隙飽含流體而硬孔隙為空的巖石，以此量化極高頻條件下噴射流產(chǎn)生的彈性響應(yīng).大量測(cè)試結(jié)果表明，Mavko-Jizba模型估計(jì)的高頻模量與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有良好的一致性(Mavko and Jizba, 1994; Wulff and Burkhardt, 1997).之后，Dvorkin等(1995)利用BISQ理論解釋軟孔隙部分的噴射作用，成功地將Mavko-Jizba模型擴(kuò)展到全頻段，但也由于BISQ理論的應(yīng)用，該模型的理論公式中存在實(shí)驗(yàn)不可測(cè)量的特征射流長(zhǎng)度參數(shù).

相較之下，Gurevich等(2010)提出的噴射流模型最為經(jīng)典，適用范圍也最為廣泛.Gurevich噴射流模型是基于Murphy等(1986)的壓力松弛方法與Sayer和Kachanov(1995)的間斷張量公式建立的，該模型假設(shè)微裂隙為具有相同孔隙縱橫比的硬幣形橢球狀孔隙，且其四周與硬孔隙相連.在Gurevich噴射流模型中，微裂隙與硬孔隙之間的噴射流作用由流體的等效復(fù)體積模量表征，而硬孔隙之間的流體流動(dòng)則由Gassmann或Biot理論描述.由于經(jīng)典Gurevich噴射流模型只考慮單一縱橫比軟孔隙與硬孔隙之間的噴射作用，De Paula等(2012)基于從干燥巖石速度-壓力曲線中提取的軟孔及中孔的等效孔隙縱橫比，進(jìn)一步將其擴(kuò)展到包含軟孔與中孔以及中孔與等徑硬孔流體流動(dòng)效應(yīng)的情形.在國(guó)內(nèi)，鄧?yán)^新等(2015)基于儲(chǔ)層砂巖的微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征，分析了噴射流引起的彈性波頻散響應(yīng)，并嘗試通過(guò)多次迭代的方式將不同縱橫比的軟孔隙引入經(jīng)典Gurevich模型中，但這種方法僅從數(shù)學(xué)的角度加入了多種軟孔隙的影響，而并不具有明確物理含義.之后，Duan等(2018)對(duì)該方法進(jìn)行了改進(jìn)，利用軟孔隙之間不存在流體流動(dòng)的無(wú)相互作用近似，引入了硬孔隙與不同縱橫比軟孔隙之間的噴射流效應(yīng).

從上可知，盡管現(xiàn)有噴射流模型充分考慮了微裂隙和硬孔隙之間的局部流體流動(dòng)，但卻忽略了微裂隙與微裂隙之間的噴射作用.基于此，本文對(duì)經(jīng)典Gurevich噴射流模型進(jìn)行了擴(kuò)展，利用基于虛擬降壓的孔隙縱橫比反演策略(歐陽(yáng)芳等, 地球物理學(xué)報(bào), 已接收)從干燥巖石超聲速度-壓力曲線中提取出不同有效壓力下的微裂隙孔隙縱橫比分布，進(jìn)而得到巖石中各種微裂隙的體積壓縮系數(shù)；然后，在此基礎(chǔ)上，利用孔隙空間的壓力松弛效應(yīng)模擬微裂隙與微裂隙間的噴射流效應(yīng).

1 Gurevich噴射流模型

設(shè)巖石孔隙空間由相互連通的硬孔隙和微裂隙(或軟孔隙)構(gòu)成，巖石的總孔隙度為φ=φs+φc≈φs，其中φs為硬孔隙度，φc為微裂隙的總孔隙度且φc?φs，巖石礦物基質(zhì)的體積模量和剪切模量分別為Km和Gm，干骨架彈性模量為KD和GD，巖石滲透率為κ.Gurevich等(2010)的研究表明，在考慮了微裂隙與硬孔隙噴射流效應(yīng)的條件下，巖石“濕骨架”的頻率相關(guān)彈性模量Kwf和Gwf可以寫成如下解析形式：

(1)

以及

(2)

Kwf(P,0)=KD(P),Gwf(P,0)=GD(P),

(3)

在高頻極限條件下，ξ→，故→Kf，于是，有

(4)

(5)

實(shí)際上，Grevich高頻極限公式是Mavko-Jizba方程的擴(kuò)展，且適用于任意孔隙流體條件，而經(jīng)典的Mavko-Jizba公式僅適用于孔隙流體為純液體的情形.

在Gurevich模型中，飽和巖石的動(dòng)態(tài)彈性模量是通過(guò)將巖石的“濕骨架”模量Kwf和Gwf代入Gassmann方程得到的，因此并沒(méi)有考慮Biot宏觀流動(dòng).這里為了描述硬孔隙之間的宏觀流動(dòng)效應(yīng)，我們采用Biot孔彈性理論.于是，速度頻散和衰減計(jì)算公式為

V=1/Re(1/Vc),Q-1=Im(Vc2)/Re(Vc2),

(6)

式中，V為相速度；Q-1為品質(zhì)因子倒數(shù)；Vc表示由Biot模型計(jì)算的復(fù)縱波或橫波速度，即(Stoll, 1977; Mavko et al., 2009)

(7)

式中，

(8)

其中，Kwf和Gwf為包含噴射流作用的巖石濕骨架模量；ρf為孔隙流體密度；η為流體黏度；κ為滲透率；ρD為干燥巖石的密度；a為曲折度，對(duì)于一個(gè)具有所有可能分布的孔隙的隨機(jī)系統(tǒng)，a=3(Stoll, 1977).

2 噴射流模型的擴(kuò)展

經(jīng)典Gurevich噴射流模型只考慮了一種縱橫比(αc)的軟孔隙與硬孔隙之間的局部流體流動(dòng)(見(jiàn)式(1)—(2))，下面我們將在此基礎(chǔ)上引入不同縱橫比微裂隙之間的噴射流效應(yīng).

2.1 模型擴(kuò)展

假設(shè)巖石中僅含一種孔隙縱橫比為αc的微裂隙，其孔隙度為φc，則在有效壓力P下，此種微裂隙的體積壓縮系數(shù)Cp(P)滿足(Zimmerman, 1991)

(9)

(10)

為了方便理解，我們首先假設(shè)巖石中含有兩種類型的微裂隙，其壓縮系數(shù)分別為Cp1和Cp2，孔隙度為φ1和φ2，孔隙縱橫比為α1和α2，且α1>α2.當(dāng)波穿過(guò)巖石時(shí)，縱橫比較小的微裂隙α2對(duì)壓力變化更為敏感，在流體壓力梯度的作用下最先閉合，從而將其內(nèi)部流體擠入至縱橫比較大的微裂隙中.因此，兩種微裂隙之間的噴射流效應(yīng)可以利用式(10)表示為

(11)

式中，K1為微裂隙α2所在背景介質(zhì)的體積模量，包含了礦物基質(zhì)、硬孔隙和微裂隙α1的綜合影響.當(dāng)微裂隙α2閉合后，縱橫比相對(duì)較大的微裂隙α1也隨之閉合，而此時(shí)巖石中僅硬孔隙處于開孔狀態(tài)，于是微裂隙α1中的流體會(huì)向硬孔隙發(fā)生噴射.因此，K1的具體形式可以寫成

(12)

聯(lián)立式(11)—(12)，得到

(13)

這是綜合考慮了微裂隙α1、微裂隙α2以及硬孔隙之間局部流體流動(dòng)效應(yīng)的巖石濕骨架模量.

對(duì)于存在N種微裂隙的情形，我們可以很容易由式(13)得到相應(yīng)的推廣公式，即

(14)

式中，φn(P)，αn(P)和Cpn(P)表示有效壓力P下第n種微裂隙的孔隙度、縱橫比和體積壓縮系數(shù)，其中φn和αn基于孔隙結(jié)構(gòu)模型和各種等效介質(zhì)理論直接從干燥巖石的超聲速度-壓力數(shù)據(jù)中反演得到，具體反演方法參見(jiàn)附錄.

對(duì)于孔隙壓縮系數(shù)Cpn，我們可以利用如下關(guān)系獲得(Zimmerman, 1991; David and Zimmerman, 2012)：

(15)

(16)

將式(16)代入式(14)中，最后有

(17)

這就是擴(kuò)展后的Gurevich“濕骨架”公式，該模型不僅描述了微裂隙與硬孔之間的局部流體流動(dòng)，還依據(jù)孔隙縱橫比的大小加入了N種微裂隙之間的噴射流效應(yīng).注意，擴(kuò)展模型的剪切模量計(jì)算公式與經(jīng)典Gurevich“濕骨架”模型一致，只需利用式(17)計(jì)算的Kwf替換式(1)中的Kwf即可.擴(kuò)展Gurevich噴射流模型的速度頻散和衰減計(jì)算流程見(jiàn)圖1.

圖1 擴(kuò)展Gurevich噴射流模型的速度頻散和衰減計(jì)算流程Fig.1 Workflow for calculating velocity dispersion and attenuation using extended Gurevich squirt model

2.2 高低頻極限

(18)

為驗(yàn)證擴(kuò)展模型的低頻極限為Gassmann方程，只需證明濕骨架體積模量Kwf(P,ω)的低頻極限等于干巖骨架的體積模量KD，換而言之，證明如下關(guān)系成立即可：

(19)

根據(jù)Zimmerman(1991)，累積裂隙密度可以寫成如下微分形式：

(20)

式中，α為微裂隙縱橫比；γ(α)為裂隙密度關(guān)于孔隙縱橫比的分布函數(shù)，其與孔隙度分布函數(shù)c(α)之間的關(guān)系為

(21)

注意，c(α)dα的離散形式為孔隙度φn(Zimmerman, 1991).于是，聯(lián)立式(20)—(21)，得到

(22)

因此，在低頻極限條件下，濕骨架模型等于干骨架模量：

Kwf(P,0)=KD(P),

(23)

由此證明了擴(kuò)展模型的低頻極限為Gassmann方程.

(24)

由此可見(jiàn)，在孔隙流體為液體的條件下，擴(kuò)展Gurevich“濕骨架”模型的高、低頻極限與經(jīng)典模型一致，仍為Mavko-Jizba和Gassmann方程.

3 模型應(yīng)用

3.1 超聲飽和速度預(yù)測(cè)

根據(jù)工作流程圖1，我們可以基于擴(kuò)展Gurevich噴射流模型預(yù)測(cè)彈性波的速度頻散和衰減.由流程圖可見(jiàn)，巖石微觀孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)(即累積裂隙密度、孔隙縱橫比和孔隙度)還與等效介質(zhì)理論的選取有關(guān)，為了分析不同等效介質(zhì)理論的影響，我們先以1塊楓丹白露砂巖樣品S1和1塊致密灰?guī)r樣品C1為例，對(duì)比基于KT、MT、DEM和SCA四種等效介質(zhì)理論從干燥巖芯的超聲數(shù)據(jù)中反演得到微裂隙的孔隙縱橫比和孔隙度分布(圖2).

圖2 巖石樣品的超聲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)反演結(jié)果(a) 砂巖超聲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)； (b) 灰?guī)r超聲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)； (c) 砂巖微裂隙孔隙度分布； (d) 灰?guī)r微裂隙孔隙度分布.Fig.2 Measured ultrasonic data and inverted pore structrue parameters for rock samples(a) Measured ultrasonic data for sandstone; (b) Measured ultrasonic data for limestone; (c) Crack porosity distribution of sandstone; (d) Crack porosity distribution of limestone.

圖2a—b展示了干燥和飽水條件下砂巖樣品S1和灰?guī)r樣品C1在不同有效壓力處縱橫波速度的超聲實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，其中砂巖樣品S1的數(shù)據(jù)來(lái)自于文獻(xiàn)David(2012)，其礦物成分為100%的石英，孔隙度為12.8%，干燥巖石密度為2309 kg·m-3，滲透率為190 mD；灰?guī)r樣品C1的礦物成分為100%的方解石，孔隙度為3%，干燥巖石密度為2589 kg·m-3，滲透率為0.06 mD.從圖中可以看出，在低有效壓力范圍內(nèi)，砂巖樣品的縱橫波速度曲線比灰?guī)r樣品具有更強(qiáng)的非線性特征.圖2c—d給出了基于KT、MT、DEM和SCA四種等效介質(zhì)理論反演得到的微裂隙孔隙度-孔隙縱橫比曲線.由圖可見(jiàn)，基于不同等效介質(zhì)理論反演的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)在數(shù)值上存在略微差別，但四種模型估計(jì)的孔隙縱橫比范圍及孔隙度變化趨勢(shì)基本一致，其中砂巖S1的微裂隙孔隙縱橫比主要分布在區(qū)間[0,0.001]上，其最大孔隙度約為0.0016%，總孔隙度φc約為0.04%；而灰?guī)rC1的微裂隙孔隙縱橫比主要分布在區(qū)間[0,0.0015]，其最大孔隙度約為0.0006%，微裂隙總孔隙度φc約為0.03%.

將不同等效介質(zhì)理論反演得到的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)代入擴(kuò)展Gurevich噴射流模型中(公式(24))，進(jìn)一步計(jì)算超聲頻率1MHz條件下的飽和巖石速度.圖3對(duì)比了完全飽水條件下砂巖樣品S1和灰?guī)r樣品C1的實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)結(jié)果，圖中Biot是指由實(shí)測(cè)干燥巖石數(shù)據(jù)和經(jīng)典Biot理論計(jì)算的飽和速度；KT-Gurevich、MT-Gurevich、DEM-Gurevich、SCA-Gurevich分別表示利用擴(kuò)展Gurevich噴射流模型與KT、MT、DEM、SCA四種等效介質(zhì)理論反演的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)預(yù)測(cè)的飽和速度.由圖可見(jiàn)，基于四種等效介質(zhì)理論和擴(kuò)展模型計(jì)算的飽和巖石速度幾乎是完全一致的.這意味著，盡管不同等效介質(zhì)模型反演的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)存在一定差異(見(jiàn)圖2c—d)，但這種差異并不影響飽和速度的最終預(yù)測(cè)結(jié)果.由此可見(jiàn)，等效介質(zhì)理論選取對(duì)擴(kuò)展Gurevich噴射流模型的影響幾乎可以忽略不計(jì).此外，從圖中還可以看出，由擴(kuò)展Gurevich噴射流模型預(yù)測(cè)的飽和速度與超聲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合很好，而經(jīng)典Biot理論的估值則嚴(yán)重偏低，尤其是在低有效壓力范圍.

圖3 超聲頻率條件下實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)與模型預(yù)測(cè)結(jié)果比較(a) 飽水砂巖S1的縱波速度； (b) 飽水砂巖S1的橫波速度； (c) 飽水灰?guī)rC1的縱波速度； (d) 飽水灰?guī)rC1的橫波速度.Fig.3 Comparision of measured velocities and predictions obtained from different models at ultrasonic frequency(a) P-velocity of water-saturated sandstone S1; (b) S-velocity of water-saturated sandstone S1; (c) P-velocity of water-saturated limestone C1; (d) S-velocity of water-saturated limestone C1.

為了從統(tǒng)計(jì)分析的角度進(jìn)一步說(shuō)明擴(kuò)展Gurevich噴射流模型的可靠性，我們利用該模型對(duì)31塊泥質(zhì)砂巖樣品和40塊致密灰?guī)r樣品的超聲縱橫波速度進(jìn)行了預(yù)測(cè)(見(jiàn)圖4)，其中砂巖樣品的主要礦物成分為石英、長(zhǎng)石、方解石、白云石和粘土，孔隙度分布范圍為3.5%～30%；灰?guī)r樣品主要由方解石構(gòu)成，其孔隙度分布范圍為0.3%～3%.從圖4中可以看出，對(duì)于泥質(zhì)砂巖樣品和大部分致密灰?guī)r樣品，擴(kuò)展Gurevich噴射流模型(圖中實(shí)心點(diǎn))均能給出與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)吻合良好的預(yù)測(cè)結(jié)果，僅少數(shù)灰?guī)r樣品的速度模擬值嚴(yán)重偏低；無(wú)論是砂巖還是灰?guī)r，Biot模型(圖中空心點(diǎn))均低估了樣品的縱波速度，而Biot模型預(yù)測(cè)的橫波速度與擴(kuò)展Gurevich噴射流模型差異不大.此外，結(jié)合巖芯柱體薄片信息發(fā)現(xiàn)，模型預(yù)測(cè)精度較高的巖芯樣品一般具有孔隙或微裂縫發(fā)育良好且孔隙分布均勻等特征，如圖4中的樣品A，其薄片分析結(jié)果見(jiàn)圖5a,c；而模型預(yù)測(cè)精度較低的巖芯樣品則通?？紫毒植扛患l(fā)育或孔隙局部不發(fā)育，如圖4中的樣品B，其薄片分析結(jié)果見(jiàn)圖5b,d.

圖4 飽水條件下所有巖芯樣品的模型計(jì)算結(jié)果與超聲實(shí)驗(yàn)速度比較(a) 所有砂巖樣品的縱波速度； (b) 所有砂巖樣品的橫波速度； (c) 所有灰?guī)r樣品的縱波速度； (d) 所有灰?guī)r樣品的橫波速度.Fig.4 Ultrasonic velocity measurements and model predictions at water-saturated condition(a) P-velocity for sandstones; (b) S-velocity for sandstones; (c) P-velocity for limestones; (d) S-velocity for limestones.

圖5 代表性砂巖和灰?guī)r樣品的柱體薄片F(xiàn)ig.5 Thin sections for representative sandstone and limestone samples

3.2 速度頻散和衰減預(yù)測(cè)

為了更好地理解擴(kuò)展Gurevich噴射流模型，我們首先分析一組微裂隙發(fā)生噴射所引起的速度頻散及衰減特征，即經(jīng)典噴射流理論.圖6展示了經(jīng)典Gurevich噴射流模型的速度頻散及衰減隨微裂隙孔隙縱橫比αc與總孔隙度φc的變化規(guī)律.由圖可見(jiàn)，經(jīng)典Gurevich噴射流模型預(yù)測(cè)的速度頻散曲線存在明顯的快速變化特征，即速度由低頻極限迅速過(guò)渡到高頻極限，過(guò)渡頻率區(qū)間十分窄小.從圖6還可以看出，經(jīng)典噴射流模型的特征頻率隨孔隙縱橫比和孔隙度的增加逐漸向高頻移動(dòng)，這一規(guī)律也可以通過(guò)噴射流特征頻率的定義獲得，即(Gurevich et al., 2010)

圖6 經(jīng)典Gurevich噴射流速度頻散與衰減曲線隨微裂隙孔隙縱橫比與孔隙度的變化規(guī)律Fig.6 Squirt velocity dispersion and attenuation predicted by classical Gurevich model as a function of crack aspect ratio and porosity

(25)

由上式可見(jiàn)，ωc隨αc的增大而增大；而當(dāng)微裂隙孔隙度增大時(shí)，巖石變“軟”，即干燥巖石體積模量KD減小，從而也導(dǎo)致特征頻率向高頻移動(dòng).需要十分注意的是，圖6c—d表明，微裂隙孔隙度的增加還會(huì)造成速度高頻極限和衰減峰值的降低.

通過(guò)上述分析可知，經(jīng)典Gurevich模型是將巖石中所有的微裂隙等效為一組縱橫比相同的孔隙，然后基于此組微裂隙的等效縱橫比αc與總孔隙度φc來(lái)預(yù)測(cè)飽和巖石的速度頻散和衰減.然而，這種做法在一定程度上模糊了巖石的微觀孔隙結(jié)構(gòu)特征.與經(jīng)典模型不同，擴(kuò)展Gurevich模型以巖石中所有微裂隙的孔隙縱橫比和孔隙度作為輸入，從而綜合考慮了各組微裂隙的孔隙結(jié)構(gòu)特征對(duì)巖石速度頻散和衰減的影響.

根據(jù)從干燥巖石超聲數(shù)據(jù)反演得到的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)，我們可以利用擴(kuò)展Gurevich噴射流模型預(yù)測(cè)出飽和巖石在整個(gè)地震-測(cè)井-超聲頻段范圍的速度頻散和衰減.圖7展示了0 MPa有效壓力下擴(kuò)展Gurevich噴射流模型依據(jù)孔隙縱橫比由小到大的次序加載微裂隙的過(guò)程，并將其與經(jīng)典噴射流模型進(jìn)行了對(duì)比.由圖可見(jiàn)，隨著越來(lái)越多微裂隙的加入，擴(kuò)展模型的縱波速度變化趨勢(shì)隨頻率的增加而逐漸減緩，其高頻極限向更高的頻率移動(dòng)，且速度高頻極限減小；衰減也逐漸降低，且衰減峰值也向高頻移動(dòng)，而衰減發(fā)生的頻率范圍逐漸擴(kuò)大.這是因?yàn)樵谖⒘严兜募虞d過(guò)程中，孔隙縱橫比逐漸變大，所以在高縱橫比微裂隙特征頻率的影響下，頻散曲線逐漸向高頻方向傾斜，頻率過(guò)渡區(qū)間也隨之變寬；另一方面，微裂隙的數(shù)量也在增加，即微裂隙總孔隙度變大，故速度高頻極限和衰減峰值降低.需要注意的是，經(jīng)典模型與擴(kuò)展Gurevich噴射流模型的高頻極限相同，且在加入微裂隙的過(guò)程中，此高頻極限隨微裂隙總孔隙度的增加而降低.因此，擴(kuò)展模型速度頻散曲線的高低頻極限始終與經(jīng)典Gurevich噴射流模型保持一致；換而言之，擴(kuò)展模型的低、高頻極限始終為Gassmann和Mavko-Jizba方程.與僅考慮一種孔隙縱橫比(α=3.6×10-4)的經(jīng)典模型相比，擴(kuò)展模型的速度頻散曲線在更寬的頻段范圍由低頻(10-4Hz)至高頻(106Hz)呈緩慢的增加趨勢(shì).

圖7 0 MPa有效壓力下飽水灰?guī)r樣品C1的縱波速度頻散(a)和衰減(b)Fig.7 P-velocity dispersion and attenuation for water-saturated limestone sample C1 at 0 MPa

圖8 不同有效壓力灰?guī)r樣品C1中微裂隙的孔隙縱橫比分布(a)和孔隙度度分布(b)Fig.8 Aspect distribution (a) and porosity distribution (b) of limestone sample C1 at different pressure

下面我們以砂巖樣品S1為例，基于擴(kuò)展Gurevich噴射流模型分析巖石孔隙結(jié)構(gòu)變化對(duì)速度頻散和衰減的影響.圖8給出了由干燥砂巖樣品S1超聲數(shù)據(jù)反演得到的不同有效壓力下(0～100 MPa)的微裂隙孔隙度分布和縱橫比分布.圖中橫坐標(biāo)為巖石中各組微裂隙對(duì)應(yīng)的閉合壓力，縱坐標(biāo)分別為這些微裂隙的孔隙縱橫比和孔隙度；藍(lán)色粗實(shí)線表示0MPa有效壓力下的微裂隙孔隙縱橫比和孔隙度分布曲線；黑色箭頭指示有效壓力的增大方向.由圖可見(jiàn)，在0MPa有效壓力下，孔隙閉合壓力很小的微裂隙的孔隙度和縱橫比并不為零，這說(shuō)明所有的微裂隙均處于開孔狀態(tài)；隨著有效壓力的增大，縱橫比和孔隙度分布曲線逐漸向右下方移動(dòng)，且分布范圍逐漸向高閉合壓力方向收縮，這意味著：有效壓力增大后，巖石中孔隙閉合壓力小于當(dāng)前有效壓力的微裂隙將完全閉合，僅閉合壓力較大的微裂隙仍處于開孔狀態(tài)，而受施加壓力的影響，這些開孔微裂隙同時(shí)也會(huì)被壓縮，故其孔隙度和縱橫比降低.

圖9 砂巖S1的縱橫波速度頻散(a—b)及衰減(c—d)曲線Fig.9 P- and S-velocity dispersion (a—b) and attenuation (c—d) as a function of frequency and pressure for sandstone sample S1

圖9為由擴(kuò)展Gurevich噴射流模型預(yù)測(cè)的砂巖樣品S1的縱橫波速度頻散和衰減.圖中各有效壓力下的速度頻散和衰減曲線分別對(duì)應(yīng)于圖8中相應(yīng)壓力下的微裂隙縱橫比和孔隙度分布，因此每一條頻散和衰減曲線都可視為由不同孔隙結(jié)構(gòu)造成的結(jié)果.由圖9可見(jiàn)，縱橫波速度隨著頻率的增加呈逐漸上升趨勢(shì)，并在f=105Hz處到達(dá)其高頻極限；而衰減曲線則隨著頻率的增加先上升后下降，且在f=1000 Hz處取得最大值；但無(wú)論是速度頻散還是衰減，其變化程度均隨有效壓力的增加而減小.此外，從圖中還可以看出，在低有效壓力范圍內(nèi)，衰減曲線存在兩處峰值，其對(duì)應(yīng)的頻率位置分別為f=0.5 Hz和f=1000 Hz，這是因?yàn)楫?dāng)壓力較低時(shí)，巖石中存在大量未閉合的微裂隙，在這種情況下孔隙尺度的噴射流機(jī)制起主要作用.但隨著壓力的繼續(xù)增加，微裂隙逐漸閉合，噴射流效應(yīng)也隨之消失，硬孔隙之間的Biot宏觀流動(dòng)逐漸占主導(dǎo)，當(dāng)壓力到達(dá)100 MPa時(shí)，飽和巖石中的微裂隙已全部閉合，此時(shí)速度頻散和衰減的大小剛好等于Biot模型的估計(jì)值(見(jiàn)圖9紅色實(shí)線)，且其特征頻率為105Hz.另外，根據(jù)擴(kuò)展模型的預(yù)測(cè)結(jié)果可見(jiàn)，噴射流機(jī)制引起的速度頻散和衰減在1～10 kHz(測(cè)井頻段)附近最為顯著，同時(shí)也在地震頻段發(fā)揮著一定作用.

類似地，我們還計(jì)算了完全飽水條件下灰?guī)r樣品C1的縱橫波速度頻散和衰減(見(jiàn)圖10).由圖10可見(jiàn)，灰?guī)r速度頻散及衰減隨壓力和頻率的總體變化趨勢(shì)與砂巖類似，只是其Biot特征頻率并沒(méi)有出現(xiàn)在頻率范圍10-2～106Hz內(nèi).此外，從圖中可以看出，縱波衰減比橫波衰減略大，且兩者衰減峰值出現(xiàn)的頻率位置不同，其中縱波衰減峰值出現(xiàn)在f=104Hz附近，而橫波衰減則出現(xiàn)在f=103Hz附近.

圖11 砂巖(a)和灰?guī)r(b)縱橫波衰減峰值頻率的統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.11 Histogram of frequencies corresponding to attenuation peak of P- and S-waves for sandstones (a) and limestones (b)

圖11統(tǒng)計(jì)了所有31塊泥質(zhì)砂巖和40塊致密灰?guī)r樣品的縱橫波衰減峰值頻率.從圖中可以看出，無(wú)論是砂巖還是灰?guī)r，橫波衰減峰值出現(xiàn)的頻率普遍低于縱波，其中灰?guī)r尤為明顯.另外，在31塊砂巖樣品和40塊灰?guī)r樣品中，19塊砂巖和26塊灰?guī)r的縱波衰減峰值均出現(xiàn)在測(cè)井頻段(～10 kHz)，而17塊砂巖和28塊灰?guī)r的橫波衰減峰值則出現(xiàn)在f=103Hz附近，此模擬結(jié)果表明著噴射流機(jī)制在地震和測(cè)井頻段發(fā)揮著重要作用.

4 結(jié)論

基于從干燥巖石超聲速度-壓力曲線中提取出的微裂隙孔隙縱橫比分布，推導(dǎo)了微裂隙的體積壓縮系數(shù)計(jì)算公式，并在此基礎(chǔ)上，利用孔隙空間的壓力松弛效應(yīng)，將不同孔隙縱橫比的微裂隙的噴射作用引入經(jīng)典Gurevich噴射流模型中.擴(kuò)展后的Gurevich模型不僅考慮了硬孔隙和微裂隙的局部流體流動(dòng)以及硬孔隙和硬孔隙的Biot宏觀流，還加入了微裂隙之間的噴射流作用.理論分析和數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)孔隙流體為液體時(shí)，擴(kuò)展模型的低、高頻極限始終與Gassmann方程和Mavko-Jizba方程一致.采用31塊砂巖樣品和40塊致密灰?guī)r樣品的超聲實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，從單塊巖芯和統(tǒng)計(jì)分析的角度分別對(duì)擴(kuò)展模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析，研究發(fā)現(xiàn)：盡管不同等效介質(zhì)理論反演的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)存在一定差異，但這種差異對(duì)飽和速度的預(yù)測(cè)幾乎沒(méi)有影響.此外，對(duì)于所有砂巖樣品，模型計(jì)算結(jié)果與超聲實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)均具有良好的一致性，而對(duì)于大部分灰?guī)r樣品，其模擬結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)也吻合較好，僅少數(shù)灰?guī)r樣品被嚴(yán)重低估，但砂巖的預(yù)測(cè)精度整體上比灰?guī)r更高.另一方面，基于擴(kuò)展模型計(jì)算的速度頻散曲線由低頻至高頻呈逐漸增大趨勢(shì)，不具有快速變化特征，與經(jīng)典頻散曲線形態(tài)存在顯著差異.在低有效壓力下，由于微裂隙之間的噴射流作用強(qiáng)烈，飽和巖石的速度頻散及衰減十分顯著，且主要發(fā)生在地震和測(cè)井頻段；而隨著有效壓力增加，微裂隙逐漸閉合，Biot宏觀流機(jī)制開始發(fā)揮作用，速度頻散和衰減逐漸減小并往高頻方向移動(dòng).

附錄 微裂隙孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)反演

為了獲得微裂隙的孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)，如孔隙縱橫比、孔隙度和累積裂隙密度，這里我們采用歐陽(yáng)芳等(2021)提出的基于虛擬降壓的反演思路；讀者也可以采用David和Zimmerman(2012)給出的經(jīng)典孔隙結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行反演.實(shí)際上，歐陽(yáng)芳等的虛擬降壓反演方法是David-Zimmerman方法的重要補(bǔ)充，后者是基于等效基質(zhì)理論DEM和MT實(shí)現(xiàn)的，而前者在其基礎(chǔ)上同時(shí)結(jié)合了KT、MT、DEM、SCA四種等效介質(zhì)理論，再借助假想降壓過(guò)程實(shí)現(xiàn)微裂隙孔隙縱橫比分布的反演.

根據(jù)基于虛擬降壓的反演方法，裂隙密度的計(jì)算可以通過(guò)KT、MT、DEM、SCA四種等效介質(zhì)理論實(shí)現(xiàn)，即

(26)

(27)

(28)

(29)

式中，K、G和ν表示體積模量、剪切模量和泊松比，其上標(biāo)“*”表示等效介質(zhì)，下標(biāo)“b”表示背景介質(zhì).按照壓力由高至低的順序，將干燥巖石的彈性模量KD(Pk),GD(Pk)和KD(Pk-1),GD(Pk-1)分別作為背景介質(zhì)和等效巖石的彈性模量依次代入式(26)—(29)中，反演裂隙密度Γ(Pk)；然后，在此基礎(chǔ)上求取累積裂隙密度，即

(30)

將上式代入如下公式，進(jìn)一步獲得微裂隙的孔隙縱橫比分布

(31)

以及裂隙密度分布函數(shù)γ、孔隙度分布函數(shù)c和微裂隙孔隙度φn：

(32)

這里需要注意的是，上述反演方法需要結(jié)合等效介質(zhì)理論才能實(shí)現(xiàn)，因此，等效介質(zhì)理論的選取可能會(huì)在一定程度上影響孔隙結(jié)構(gòu)參數(shù)的反演結(jié)果，具體分析詳見(jiàn)文中的“模型應(yīng)用”部分.