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      一類恒成立問題處理策略的再延伸

      2021-03-11 06:47:24徐加華
      數(shù)理化解題研究 2021年4期
      關(guān)鍵詞:新泰市正確性充分性

      徐加華

      (山東省新泰市第一中學(xué) 271200)

      文[1]利用一個(gè)定理解決了一類恒成立問題,本人讀后受益匪淺.本文再將該定理推廣延伸如下.

      定理:(1)已知函數(shù)y=f(x)在x=a處可導(dǎo),且x∈[a,b)時(shí)f(x)≤(≥)f(a)恒成立,若函數(shù)y=f′(x)在x=a處可導(dǎo),且f′(a)=0,則f″(a)≤(≥)0.

      (2)已知函數(shù)y=f(x)在x=b處可導(dǎo),且x∈(a,b]時(shí)f(x)≤(≥)f(b)恒成立,若函數(shù)y=f′(x)在x=b處可導(dǎo),且f′(b)=0,則f″(b)≥(≤)0.

      (注:y=f″(x)是函數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù).)

      對于定理:已知函數(shù)y=f(x)在x=a處可導(dǎo),且x∈[a,b)時(shí)有f(x)≤f(a)恒成立,若f′(a)=0.則f″(a)≤0. 我們試著從反面入手說明其正確性.

      如果f″(a)>0,則y=f′(x)在x=a處右側(cè)附近的圖像單調(diào)遞增,又f′(a)=0.所以y=f(x)在x=a處右側(cè)附近滿足f′(x)≥0.于是y=f(x)在x=a處右側(cè)附近的圖像單調(diào)遞增,從而說明y=f(x)在x=a處右側(cè)附近滿足f(x)>f(a),這與條件x∈[a,b)時(shí)f(x)≤f(a)恒成立是矛盾的,該定理正確!其他的結(jié)論類似說明其正確性.

      下面舉例說明其應(yīng)用.

      例1已知f(x)=ex-1-x-ax2,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

      解∵f(x)=ex-1-x-ax2,

      ∴f(0)=0,f′(x)=ex-1-2ax,f′(0)=0.

      f″(x)=ex-2a.

      令f″(0)=e0-2a≥0,

      又f′(0)=0,則y=f′(x)在x≥0時(shí)有f′(x)≥0,則y=f(x)在x≥0時(shí)單調(diào)遞增,又f(0)=0,從而說明當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0恒成立.

      說明:本題先利用定理得到f(x)≥0成立的必要條件,然后再證明其充分性.

      例2 當(dāng)x≥0時(shí),ax2+1≤xex+e-x恒成立,求a的取值范圍.

      解ax2+1≤xex+e-x?ax2+1-xex-e-x≤0.

      令f(x)=ax2+1-xex-e-x,

      則f(0)=0.

      f′(x)=2ax+e-x-ex(x+1),

      ∴f′(0)=0.

      f″(x)=2a-e-x-ex(x+2),

      令f″(0)=2a-3≤0,

      又f′(0)=0,則y=f′(x)在x≥0時(shí)有f′(x)≤0,則y=f(x)在x≥0時(shí)單調(diào)遞減,又f(0)=0,從而說明當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤0恒成立,即當(dāng)x≥0時(shí)ax2+1≤xex+e-x.

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