兩平方反比力在球體(殼)模型中的強(qiáng)度公式對(duì)比

楊天才

(重慶市第三十七中學(xué)校 400084)

基金項(xiàng)目：本文系重慶市教育科學(xué)“十三五” 規(guī)劃2016年度青少年創(chuàng)新人才培養(yǎng)《普通高中培養(yǎng)青少年創(chuàng)新人才校本課程開發(fā)研究》專項(xiàng)課題階段性成果(課題編號(hào)：2016-CX-14)]

萬有引力是在1687年由牛頓發(fā)現(xiàn)的，庫侖力是法國物理學(xué)家查爾斯·庫侖在1785年發(fā)現(xiàn)的，它們都滿足與距離的平方成反比，即平方反比律，由他們?cè)谇蝮w(殼)周圍產(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度非常相似，在球殼內(nèi)部為零，在球體內(nèi)部強(qiáng)度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.具體見下表：

引力場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度定義式g=GMr2E=kQr2球體空腔內(nèi)部特點(diǎn)勻質(zhì)球體在空腔內(nèi)任意一點(diǎn)位置形成的合引力場(chǎng)強(qiáng)度為零均勻帶電球殼在其內(nèi)部任意一點(diǎn)位置形成的合場(chǎng)強(qiáng)為零(法拉第圓筒實(shí)驗(yàn))勻質(zhì)(或均勻)實(shí)心球體內(nèi)部的強(qiáng)度公式(rR)g=GMr2E=kQr2勻質(zhì)(或均勻)實(shí)心球體在空間產(chǎn)生的強(qiáng)度隨離球心的距離的函數(shù)圖像圖1圖2球殼在空間產(chǎn)生的強(qiáng)度隨離球心的距離的函數(shù)圖像圖3圖4

一、部分結(jié)論推導(dǎo)和應(yīng)用

結(jié)論一在勻質(zhì)球體的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到的萬有引力的合力為零.

圖5

結(jié)論二均質(zhì)實(shí)心星球內(nèi)部某點(diǎn)的引力場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)到星球球心的距離r成正比.

結(jié)論三均勻?qū)嵭膸щ娗蝮w內(nèi)部某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與該點(diǎn)到球心的距離r成正比.

例1 (2012年高考全國卷)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零.礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為( ).

點(diǎn)評(píng)題目給出了“均勻球殼對(duì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的萬有引力合力為零”，但大多數(shù)同學(xué)沒理解這句信息而導(dǎo)致本題錯(cuò)誤率較高.其實(shí)礦井底部重力加速度可等效半徑為R-d的小“地球”表面的重力加速度，這樣就大大簡化了問題.

例2 假設(shè)地球是一半徑為R質(zhì)量分布均勻的球體.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，距離地球球心為r處的重力加速度大小可能為如圖6圖像中的哪一個(gè)( ).

圖6

點(diǎn)評(píng)本題再一次考查對(duì)“均勻球殼對(duì)內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的萬有引力合力為零”的理解，雖然不要求推導(dǎo)這個(gè)結(jié)論的由來，但要學(xué)生直接利用這個(gè)結(jié)論來解題.

圖7

例3 如圖7所示是某農(nóng)家院內(nèi)打出一口深度為d的水井，如果質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，地球可以看作是質(zhì)量分布均勻的球體，地球半徑為R，則水井底部和離地面高度為d處的重力加速度大小之比為( ).

點(diǎn)評(píng)本題考查天上某點(diǎn)和地球里某點(diǎn)的重力加速度之比，因它們滿足不同的規(guī)律，或者說定義域不同，分段函數(shù)的函數(shù)關(guān)系就不同，這是要注意的.

圖8

A．M、N點(diǎn)的電勢(shì)小于O點(diǎn)的電勢(shì)

B．M、N點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同

點(diǎn)評(píng)均勻帶電球體可以理解為體電荷密度不變，即體電荷密度是每單位體積的電荷量，球體所帶電量之比為半徑之比的三次方，從而求球體表面的場(chǎng)強(qiáng).

圖9

例5 均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場(chǎng).如圖9所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點(diǎn)與球心O的軸線，在軸線上有M、N兩點(diǎn)，OM=ON=2R，已知M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，則N點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為( ).

點(diǎn)評(píng)本題是信息題，信息題的特點(diǎn)是起點(diǎn)高、落點(diǎn)低，理解“均勻帶電的球殼在球外空間產(chǎn)生的電場(chǎng)等效于電荷集中于球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)”，即將面電荷等效為點(diǎn)電荷，然后用割補(bǔ)法構(gòu)建一個(gè)球殼模型與題目建立聯(lián)系順利求解.

圖10

例6 (2013年高考上海卷)半徑為R，均勻帶正電荷的球體在空間產(chǎn)生球?qū)ΨQ的電場(chǎng)；場(chǎng)強(qiáng)大小沿半徑分布如圖10所示，圖中E0已知，E-r曲線下O-R部分的面積等于R-2R部分的面積.求：

(1)寫出E-r曲線下面積的單位；

(3)求球心與球表面間的電勢(shì)差ΔU；

(4)質(zhì)量為m，電荷量為q的負(fù)電荷在球面處需具有多大的速度可以剛好運(yùn)動(dòng)到2R處.

解析(1)根據(jù)關(guān)系式U=Ed可知，E-r曲線下面積表示電勢(shì)差，其單位是V(伏特).

點(diǎn)評(píng)本題考查E-r圖像的意義，帶電球體周圍電場(chǎng)的規(guī)律，以及電場(chǎng)力做功等問題.根據(jù)圖像與橫軸所圍的面積在數(shù)值上表示兩點(diǎn)間電勢(shì)差，均勻帶電球體周圍的場(chǎng)強(qiáng)可以理解為在球內(nèi)部均勻增加，外部逐漸減小.

從以上分析可以看出，萬有引力和庫侖力都是平方反比定律，由他們?cè)谇蝮w(殼)周圍產(chǎn)生的引力場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度非常相似，都在球殼內(nèi)部為零，在球體內(nèi)部強(qiáng)度與距離成正比，在球體外部與距離的平方成反比.