劉亞春,曹遠(yuǎn)龍

(1.南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001;2.南華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

computation

0 引 言

在研究系統(tǒng)的可靠性時(shí)，一般都假定系統(tǒng)發(fā)生故障后能夠立即開(kāi)始維修[1-4]。然而，在生產(chǎn)實(shí)際中，修理人員可能已離崗、或正在從事其他工作，致使系統(tǒng)發(fā)生故障后需要等待一段時(shí)間才能開(kāi)始維修，這種情況稱(chēng)為修理延遲。目前，人們一般采取兩種方式分析或計(jì)算系統(tǒng)的可靠性。一種方式是:先確定系統(tǒng)的狀態(tài)變量，進(jìn)行狀態(tài)分析,然后運(yùn)用馬爾可夫過(guò)程理論，建立微分方程或狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，得出系統(tǒng)在任一時(shí)刻處于各狀態(tài)的概率，進(jìn)而計(jì)算可靠性指標(biāo)[2-6]；另一種方式則是利用全概率公式和分解技術(shù)，運(yùn)用更新過(guò)程理論，使用積分法，直接計(jì)算系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)[7-9]。

系統(tǒng)正常工作的時(shí)間、延遲維修時(shí)間以及修理時(shí)間等隨機(jī)變量的分布規(guī)律決定了系統(tǒng)的可靠性。修理工“休假”只不過(guò)是造成延遲維修的原因。所謂“休假”是指“修理工已離崗休息或正在從事其他工作”。所謂“單重休假”，是指修理工每次只能休假一次，若系統(tǒng)在修理工休假期間發(fā)生故障，那么必須等到修理工休假結(jié)束才能開(kāi)始維修；如果系統(tǒng)在修理工休假期間沒(méi)有發(fā)生故障，那么系統(tǒng)在下一次發(fā)生故障時(shí)便能馬上得到維修，系統(tǒng)修復(fù)后，修理工才能開(kāi)始下一次“休假”。所謂“多重休假”，是指修理工在休假結(jié)束時(shí)，如果系統(tǒng)是正常的，則可以再次休假。一些文獻(xiàn)研究了“單重休假”和“多重休假”對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響[3，6，8-9]；顯然，無(wú)論是單重休假還是多重休假，休假的時(shí)刻與系統(tǒng)的工作狀態(tài)具有相依性；休假模式過(guò)于理想化，不切實(shí)際；此外，系統(tǒng)或部件的失效時(shí)間、休假時(shí)間或維修時(shí)間不一定服從文獻(xiàn)中假定的指數(shù)分布等。特定的分布假設(shè)雖然為建模和求解提供了方便，但卻局限了理論研究的應(yīng)用范圍。

1 可修系統(tǒng)的狀態(tài)分析與可靠性計(jì)算

任何時(shí)候，一個(gè)可修系統(tǒng)只有三種狀態(tài)：“正常工作”、“等待維修”或“正在維修”。記系統(tǒng)的正常工作時(shí)間、延遲修理時(shí)間和維修時(shí)間分別為ξ、η、ζ，其統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)分別為F(t)、G(t)和H(t)，概率密度分別為f(t)、g(t)和h(t)，即F′(t)=f(t)、G′(t)=g(t)、H′(t)=h(t)。顯然，ξ、η、ζ相互獨(dú)立；假設(shè)初始時(shí)刻系統(tǒng)處于正常工作狀態(tài)，系統(tǒng)在發(fā)生故障后能夠被修復(fù)如新；ξk、ηk、ζk分別表示系統(tǒng)的第k個(gè)工作壽命、第k個(gè)延遲修理時(shí)間和第k個(gè)修理時(shí)間，顯然ξk、ηk、ζk分別與ξ、η、ζ同分布(k=1,2,3,…)，并構(gòu)成一個(gè)更新過(guò)程。

1.1 可用度與穩(wěn)態(tài)可用度的計(jì)算

設(shè)系統(tǒng)初始時(shí)刻為t=0；當(dāng)t>0時(shí)，如果系統(tǒng)正常，則記S(t)=1；否則，記S(t)=0。系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度A(t)=P{S(t)=1|S(0)=1},利用全概率公式，并注意到系統(tǒng)每次修復(fù)的時(shí)刻是再生點(diǎn),得

A(t)=P{ξ1>t,S(t)=1|S(0)=1}+P{ξ1≤

t≤ξ1+η1+ζ1,S(t)=1|S(0)=1}+

P{ξ1+η1+ζ1

(1)

記拉普拉斯變換[10]:

(令t-x=y)

即

[f(t)*g(t)]=f*(s)·g*(s)

(2)

為運(yùn)用方便，將式(2)寫(xiě)為

(3)

類(lèi)似于式(3)，遞推得

(4)

在式(1)兩邊取拉普拉斯變換，可得

(5)

從而

A(t)=-1[A*(s)]

(6)

此外

(7)

類(lèi)似地，有

此外，易得

由式(5)至(12)，運(yùn)用洛必達(dá)法則，得穩(wěn)態(tài)可用度

(13)

顯然，公式(5)和(13)比文獻(xiàn)[9]中相應(yīng)的公式(1)與(2)更加簡(jiǎn)明，而又不局限于單重休假。

1.2 故障頻度與穩(wěn)態(tài)故障頻度的計(jì)算

系統(tǒng)在(0,t]時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)記為n(t)，平均故障次數(shù)E[n(t)]記為m(t)，則

E[n(t)]=E[n(t)|ξ>t]·P{ξ>t}+

E[n(t)|ξ≤t]·P{ξ≤t}=0+

E[n(t)|ξ≤t<ξ+η+ζ]·

P{ξ≤t<ξ+η+ζ}+E[n(t)|·

ξ+η+ζ≤t]·P{ξ+η+ζ≤t}=

E[n(t-u)]]dP{ξ+η+ζ≤u}=

P{ξ≤t}·P{ξ+η+ζ>t}+

ζ≤u}

(14)

其中P{ξ≤t}=F(t)

P{ξ+η+ζ>t}=1-P{ξ+η+ζ≤t}=

f(t)*[g(t)*H(t)]

(15)

η+ζ≤u}=f(t)*g(t)*H(t)+

E[n(t)]*[f(t)*g(t)*H(t)]′

(16)

將式(15)和式(16)代入式(14)，得

m(t)=F(t)·[1-f(t)*g(t)*H(t)]+

f(t)*g(t)*H(t)+m(t)*[f(t)*

g(t)*H(t)]′=F(t)+[1-F(t)]·[f(t)*g(t)*H(t)]+m(t)*

[f(t)*g(t)*H(t)]′

(17)

在式(17)兩邊取拉普拉斯變換，得

從而

m(t)=-1[m*(s)]

(18)

穩(wěn)態(tài)故障頻度

2 結(jié)論及其驗(yàn)證

本文基于系統(tǒng)正常工作時(shí)間、延遲維修時(shí)間以及修理時(shí)間的一般分布函數(shù)或概率密度，運(yùn)用更新過(guò)程理論、全概率分解技術(shù)和拉普拉斯變換，得到了延時(shí)可維修系統(tǒng)的瞬時(shí)可用度和穩(wěn)態(tài)可用度等的計(jì)算公式，避免了微分方程建模與求解的復(fù)雜過(guò)程。結(jié)論具有一般性，應(yīng)用范圍得到推廣。