山述強(qiáng)， 王中寶

（1.西南民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都610041； 2.西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都611756）

假設(shè)K是Rn的閉凸子集，f：R×Rm×Rn→Rm和g：R×Rm×Rn→Rn是兩向量值函數(shù).有限維空間中的變分不等式可以表述為：對(duì)幾乎所有的t∈［0，T］，找（xt，μt）滿足

其中Sol（K，g（t，xt，·））表示動(dòng)態(tài)變分不等式的解集.

對(duì)于問(wèn)題（1），2008年P(guān)ang等［1］考慮它的Carathédory弱解，即找（xt，μt），其中xt是一絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，μt是一可積函數(shù)，使得微分方程對(duì)幾乎所有的t成立；2009年P(guān)ang等［2］找到了在初值條件下微分變分不等式的解.在此基礎(chǔ)上，Han等［3］研究了一類非芝諾微分?jǐn)M變分不等式；Stewart［4］研究了微分變分不等式解的唯一性；Pang等［5］介紹了強(qiáng)正則微分變分系統(tǒng)；Wang等［6］研究了有限維的微分向量變分不等式；Li等［7］研究了有限維空間中的微分混合變分不等式；Friesz等［8］研究了托運(yùn)人動(dòng)態(tài)寡頭壟斷網(wǎng)絡(luò)競(jìng)爭(zhēng)，并將其轉(zhuǎn)化為微分變分不等式；Li等［9］研究了有限維空間中的微分逆變分不等式；還有許多數(shù)學(xué)工作者也關(guān)注了微分變分不等式［10-19］.

然而現(xiàn)實(shí)中的許多問(wèn)題總是會(huì)受到一些不確定因素的影響.為了刻畫出這些影響，隨機(jī)微分變分不等式變得非常重要.

假設(shè)Rm和Rn為兩實(shí)歐氏空間，其范數(shù)為內(nèi)積為·〉Rn.假設(shè)K是Rn中的閉凸子集，（Ω，F(xiàn)，P）為一概率空間，Bt是標(biāo)準(zhǔn)的n-維布朗運(yùn)動(dòng).假設(shè)｛Ft｝是由Bt生成的σ-域，即Ft＝σ｛Bs；0≤s≤t｝.令ξ為一Rm-值的F0可測(cè)隨機(jī)變量.一般來(lái)說(shuō)，假設(shè)｛Ft｝是右連續(xù)的，且滿足通常假設(shè).隨機(jī)微分變分不等式（簡(jiǎn)寫為SDVI）可以表述為：找（x（t，ω），μ（t，ω））滿足

其中“a.s.”表示在dt×dP下幾乎確定成立，Sol（K，ψ（t，ω，x（t，ω），·））表示下面的隨機(jī)動(dòng)態(tài)變分不等式的解集：找μ（t，ω）∈K，滿足

2013年，Gwinner［20］介紹了一類新的微分變分不等式，并證明了動(dòng)態(tài)變分不等式與動(dòng)態(tài)投影系統(tǒng)等價(jià).受上述工作影響，本文將研究隨機(jī)微分變分不等式，并找到其適定解.

1 預(yù)備知識(shí)

下面介紹一些定義、假設(shè)和引理.

1）對(duì)于i＝m，n，記H2（［0，T］，Ri）（簡(jiǎn)記為為所有的R-值Ft-可測(cè)過(guò)程，即i

2）定義集合K如下：

注1.1對(duì)于任意的i＝m，n，H2（（0，T），Ri）為一Hilbert空間，其內(nèi)積為

引理1.2K為H2（（0，T），Rn）中的閉凸子集.

證明假定μ1，μ2∈K，即

和對(duì)幾乎所有的

對(duì)任意的0＜λ＜1，容易驗(yàn)證

和

因此，對(duì)任意的0＜λ＜1，

所以K為閉凸子集.

假定μn∈K為H2（［0，T］，Rn）的函數(shù)列，且μn→μ*，即

那么存在子函數(shù)列μn k滿足

因?yàn)镵是閉集，則有

即K是閉集.證畢.

以下記x（t，ω）和μ（t，ω）分別為xt和μt.

假設(shè)1.3對(duì)于?（x，μ）∈Rm×Rn，函數(shù)ψ（·，·，x，μ）：［0，T］×Ω×Rm×Rn→Rn滿足ψ（·，·，x，μ）∈H2（［0，T］，Rn），且存在正實(shí)數(shù)c使得下式成立

因此可以定義映射Ψ如下：

引理1.4如果假設(shè)1.3成立，那么Ψ為從H2（［0，T］，Rm）×H2（［0，T］，Rn）到H2（［0，T］，Rn）的映射.

證明對(duì)于任意給定的

由假設(shè)1.3可知

即

證畢.

假設(shè)1.5對(duì)于任意的（x，μ）∈Rm×Rn，

且對(duì)于

存在正實(shí)數(shù)c1＞0滿足

注1.6由假設(shè)1.5可知，對(duì)于所有的

假設(shè)1.7Ψ是強(qiáng)單調(diào)的，即存在實(shí)數(shù)c2＞0且滿足

有

由引理1.2可知，上述的隨機(jī)動(dòng)態(tài)變分不等式可以表述為：找μ*∈K滿足

定義1.8稱函數(shù)對(duì)統(tǒng)（2）的適定解，當(dāng)且僅當(dāng)

為系滿足

注1.9隨機(jī)動(dòng)態(tài)變分不等式等價(jià)于下述隨機(jī)動(dòng)態(tài)投影系統(tǒng)

其中，ρ＞0為一正實(shí)數(shù)，PK為K→K的投影.由此可知，隨機(jī)微分變分不等式可以改寫為：找函數(shù)對(duì)

滿足

2 隨機(jī)微分變分不等式解的存在性與唯一性

下面將應(yīng)用壓縮映射原理找出系統(tǒng)（5）的解，并得到其解是唯一的.

考慮空間H2（［0，T］，Rm）×K，其內(nèi)積為

引理2.1假設(shè)E［｜ξ｜2］＜∞和A2＝1-2ρc2+ρ2c1＜1.如果假設(shè)1.3、1.5和1.7成立，那么Φ為從H2（［0，T］Rm）×K到H2（［0，T］，Rm）×K的映射.

證明由引理1.2可知，K為H2（［0，T］，Rn）中的閉凸子集.對(duì)于任意的

可知

這表明PK（μt-ρΨ（xt，μt））是非空的，且滿足

另一方面，有

由Doob不等式，可知

由假設(shè)1.5和E［｜ξ｜2］＜∞，可知

因此

證畢.

由引理2.1可知，希望Φ為H2（［0，T］，Rm）×K中的壓縮映射，一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)不成立，但是有下面的定理.

定理2.2假設(shè)

其中c1、c2為假設(shè)1.5和假設(shè)1.7給定的實(shí)數(shù).如果假設(shè)1.3、假設(shè)1.5和假設(shè)1.7成立，則算子Φ為H2（［0，T］，Rm）×K到H2（［0，T］，Rm）×K的壓縮映射，并且存在唯一的（xt，μt）滿足系統(tǒng)（5）.

證明由假設(shè)1.3、假設(shè)1.5和假設(shè)1.7可知，對(duì)任意的

有

因此

另一方面，由假設(shè)1.7可知

結(jié)合范數(shù)

的定義可知

令則有

因?yàn)長(zhǎng)＜1，那么Φ為H2（［0，T］，Rm）×K上的壓縮映像.由壓縮映像原理可知，存在唯一的函數(shù)對(duì)（xt，μt）∈H2（［0，T］，Rm）×K滿足系統(tǒng)（5）.證畢.

3 參隨機(jī)微分變分不等式適定解的穩(wěn)定性

下面將考慮含參隨機(jī)微分變分不等式適定解的穩(wěn)定性.

假定｛fα，gα，ψα，?α∈A｝和ξα∈Rm為下述的含參隨機(jī)微分變分不等式的函數(shù)族和隨機(jī)變量族

其中KαRn中的閉凸子集族.

現(xiàn)給出將要用到的假設(shè).滿足ψα（·，·，x，μ）∈H2（［0，T］，Rn）和

其中c為正實(shí)數(shù).

（B）函數(shù)族｛fα，gα，ψα，?α∈A｝滿足Lipschitz條件，其中Lipschitz系數(shù)為定義在假設(shè)1.5中的實(shí)數(shù)c1.

上關(guān)于α連續(xù).

（D）ξα是f0-可測(cè)的，且在L2（P）上關(guān)于α連續(xù).

注3.1由假設(shè)（A），可以定義H2（［0，T］，Rm）中的閉凸子集族Kα，并定義函數(shù)族Ψα如下：

（E）對(duì)于任意的α∈A，Ψα是強(qiáng)單調(diào)的，即存在實(shí)數(shù)c2＞0滿足Rm）×H2（［0，T］，Rn），

注3.2由上述假設(shè)可知，系統(tǒng)（6）可以另行描述為

由上述假設(shè)，易見(jiàn)下述引理成立.

引理3.3系統(tǒng)（7）的解當(dāng)且僅當(dāng)下述映射的不動(dòng)點(diǎn)Φα：H2（［0，T］，Rm）×K→H2（［0，T］，Rm）×K，其中Φα（x，μ）定義如下

引理3.4令L2＝max（（8T+T2+ρ2）c1+1-2ρc2，（8T+T2+ρ2）c1+2ρc2）＜1，其中c1、c2為假設(shè)1.3和假設(shè)1.5中的實(shí)數(shù).如果（A）-（E）成立，則對(duì)于任意的

證明因?yàn)楹蚄α是閉凸集，那么也是閉凸集.可以用定理2.2類似的方法證明，所以在這里省略證明過(guò)程.

由引理3.4和Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，下面的引理顯然成立.

引理3.5對(duì)于任意的α∈A，函數(shù)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)

由上述引理和假設(shè)，可以得到如下的主要定理.連續(xù).

證明對(duì)于任意的α∈A，有

另一方面，

由定理的假設(shè)可知，如果ρ足夠的小，那么

證畢.

致謝中國(guó)博士后基金項(xiàng)目（2018M643434）和中央高?；究蒲许?xiàng)目（2015NZYQN70）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.