第八章統(tǒng)計和概率的簡單應(yīng)用領(lǐng)銜人:卞書彥組稿團隊:江蘇省鹽城市鹽都區(qū)數(shù)學(xué)教師發(fā)展共同體
統(tǒng)計與概率是初中數(shù)學(xué)的一個重要組成部分,與人們的生產(chǎn)與生活密切相關(guān),也是中考必考知識點。下面我們利用口訣來解決有關(guān)數(shù)據(jù)的收集與整理、數(shù)據(jù)的分析以及概率的簡單應(yīng)用等問題。
一、數(shù)據(jù)的收集與整理
例1 (2020·廣西)以下調(diào)查中,最適合采用全面調(diào)查的是( )。
A.檢測長征運載火箭的零部件質(zhì)量情況
B.了解全國中小學(xué)生課外閱讀情況
C.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力
D.檢測某城市的空氣質(zhì)量
解:A。
【點評】本題考查全面調(diào)查、抽樣調(diào)查的意義。當(dāng)調(diào)查的工作量不太大或者要求精度準(zhǔn)確時,一般采用普查;當(dāng)調(diào)查工作量比較大,普查本身無法完成,或者調(diào)查具有破壞性時,宜采用抽查。抽查時選擇的樣本還要具有代表性和廣泛性。
例2 (2020·黑龍江大慶)為了了解某校某年級1000名學(xué)生一分鐘的跳繩次數(shù),從中隨機抽取了40名學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)(次數(shù)為整數(shù),且最高次數(shù)不超過150 次),整理后繪制成如圖的頻數(shù)直方圖,圖中的a、b 滿足關(guān)系式2a=3b。后由于保存不當(dāng),部分原始數(shù)據(jù)模糊不清,但已知缺失數(shù)據(jù)都大于120。
請結(jié)合所給條件,回答下列問題:
(1)求問題中的總體和樣本容量;
(2)求a、b 的值(請寫出必要的計算過程);
(3)如果一分鐘跳繩次數(shù)在125次以上(不含125次)為跳繩成績優(yōu)秀,那么該校該年級學(xué)生跳繩成績優(yōu)秀的人數(shù)大約是多少?(注:該年級共1000名學(xué)生)
解:(1)總體是某校某年級1000名學(xué)生一分鐘的跳繩次數(shù),樣本容量是40。
(2)由題意所給數(shù)據(jù)可知:50.5~75.5 的有4人,75.5~100.5的有16人,
∴a+b=40-4-16=20。
∵2a=3b,
∴解得a=12,b=8。
(3)1000× 840=200(人)。
答:該校該年級學(xué)生跳繩成績優(yōu)秀的大約是200人。
【點評】統(tǒng)計里,所考察對象的全體叫作總體,組成總體的每一個考察對象叫作個體,從總體中所抽取的一部分個體叫作總體的一個樣本,樣本中個體的數(shù)目叫作樣本容量。某個對象出現(xiàn)的次數(shù)稱為頻數(shù),頻數(shù)與總次數(shù)的比值稱為頻率。其中,各組頻數(shù)之和等于樣本容量(總次數(shù)),各組頻率之和等于1。我們要會用抽取的樣本具有的特征來估計總體具有的特征。故我們總結(jié)為:
調(diào)查分普抽,抽樣具有代表性,
總體和樣本,兩頻之間關(guān)系明,
頻數(shù)和為總,頻率之和總為1。
二、數(shù)據(jù)的分析
例3 (2020·四川綿陽)為助力新冠肺炎疫情后經(jīng)濟的復(fù)蘇,天天快餐公司積極投入到復(fù)工復(fù)產(chǎn)中?,F(xiàn)有A、B兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠到該公司推銷雞腿,兩家雞腿的價格相同,品質(zhì)相近。該公司決定通過檢查質(zhì)量來確定選購哪家的雞腿。檢察人員從兩家分別抽取100個雞腿,然后再從中隨機各抽取10個,記錄它們的質(zhì)量(單位:克)如表:
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求A 加工廠的10 個雞腿質(zhì)量的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù);
(2)估計B加工廠這100個雞腿中,質(zhì)量為75克的雞腿有多少個?
(3)根據(jù)雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性,該快餐公司應(yīng)選購哪家加工廠的雞腿?
解:(1)把這些數(shù)從小到大排列,中位數(shù)是第5個數(shù)和第6個數(shù)的平均數(shù),
則中位數(shù)是75 + 752 =75(克);
因為75出現(xiàn)了4次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,
所以眾數(shù)是75克;
平均數(shù)是110(74+75+75+75+73+77+78+72+76+75)=75(克)。(2)根據(jù)題意,得100× 310=30(個)。
答:質(zhì)量為75克的雞腿有30個。
(3)選B加工廠的雞腿。
A 的方差是110[(74-75)2+4×(75-75)2+(76-75)2+(73-75)2+(72-75)2+(77-75)2+(78-75)2]=2.8。
B的平均數(shù)是110(78+74+78+73+74+75+74+74+75+75)=75,
B的方差是110[2×(78-75)2+4×(74-75)2+(73-75)2+3×(75-75)2]=2.6。
∵A、B 平均值一樣,B 的方差比A 的方差小,B更穩(wěn)定,
∴選B加工廠的雞腿。
【點評】如果一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)的大小差異不大,那么平均數(shù)就能較好地反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢。如果一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)的大小差異很大,那么平均數(shù)就不能很準(zhǔn)確地反映這組數(shù)據(jù)的集中趨勢,此時常采用中位數(shù)或眾數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的集中程度。而在描述數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時主要看兩差:極差與方差。極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍;方差公式為s2=1n
[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2],一般說來,一組數(shù)據(jù)的方差越小,這組數(shù)據(jù)的離散程度就越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。
因此我們總結(jié)為:集中三數(shù)據(jù),極端宜用中或眾,離散看兩差,方差值小而穩(wěn)定。
例4 (2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾)某校為了了解初中學(xué)生每天的睡眠時間(單位為小時),隨機調(diào)查了該校的部分初中學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出如圖統(tǒng)計圖。
請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的初中學(xué)生人數(shù)為人,扇形統(tǒng)計圖中的m= ,條形統(tǒng)計圖中的n= ;
(2)所調(diào)查的初中學(xué)生每天睡眠時間的眾數(shù)是,方差是;
(3)該校共有1600名初中學(xué)生,根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計該校初中學(xué)生每天睡眠時間不足8小時的人數(shù)。
解:(1)本次接受調(diào)查的初中學(xué)生有4÷10%=40(人),
m%=10÷40×100%=25%,
n=40×37.5%=15。
故答案為40,25,15。
(2)由條形統(tǒng)計圖,可得眾數(shù)是7,
x= 1
40×(5×4+6×8+7×15+8×10+9×3)=7,
s2= 1
40[(5-7)2×4+(6-7)2×8+(7-7)2×15+(8-7)2×10+(9-7)2×3]=1.15。
故答案為7,1.15。
(3)1600× 4 + 8 + 1540 =1080(人)。
即該校初中學(xué)生每天睡眠時間不足8小時的有1080人。
【點評】常用的統(tǒng)計圖有條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖以及頻數(shù)分布直方圖。條形統(tǒng)計圖能清楚地描述各統(tǒng)計項目的數(shù)據(jù);折線統(tǒng)計圖能清楚地描述數(shù)據(jù)的變化過程和趨勢;扇形統(tǒng)計圖能清楚地描述各統(tǒng)計項目占總體的百分比;頻數(shù)分布直方圖用橫軸表示考察對象數(shù)據(jù)的變化范圍,用縱軸表示相應(yīng)范圍內(nèi)數(shù)據(jù)的頻數(shù)。
一般地,考題會用缺一些數(shù)據(jù)的兩個及以上圖表來設(shè)置,這就需要我們對照這些圖表找出它們之間的對應(yīng)關(guān)系,來解決有關(guān)問題,故曰:
統(tǒng)計有四圖,互相照應(yīng)提信息,分量求總量,量率對應(yīng)除得全。
三、簡單概率
例5 (2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾)一個不透明的口袋中裝有三個完全相同的小球,上面分別標(biāo)有數(shù)字2, 3,5。
(1)從口袋中隨機摸出一個小球,求摸出小球上的數(shù)字是無理數(shù)的概率(直接寫出結(jié)果)。
(2)先從口袋中隨機摸出一個小球,將小球上的數(shù)字記為x,把小球放回口袋中并攪勻,再從口袋中隨機摸出一個小球,將小球上的數(shù)字記為y。請用列表法或畫樹狀圖法求出x 與y 的乘積是有理數(shù)的概率。
解:(1)摸出小球上的數(shù)字是無理數(shù)的概率為23。
(2)畫樹狀圖如下:共有9種等可能的結(jié)果,其中兩個數(shù)字的乘積為有理數(shù)的有3種,
∴兩次摸出的小球所標(biāo)數(shù)字的乘積是有理數(shù)的概率為39=13。
【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率。列表法可以不重復(fù)不遺漏地列出所有等可能的結(jié)果,適合于兩步完成的事件;樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件。解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗。用到的知識點為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比。
例6 (2020·山東威海)小偉和小梅兩名同學(xué)玩擲骰子的游戲,兩人各擲一次均勻的骰子。以擲出的點數(shù)之差的絕對值判斷輸贏。若所得數(shù)值等于0、1、2,則小偉勝;若所得數(shù)值等于3、4、5,則小梅勝。
(1)請利用表格分別求出小偉、小梅獲勝的概率。
(2)判斷上述游戲是否公平。如果公平,請說明理由;如果不公平,請利用表格修改游戲規(guī)則,以確保游戲的公平性。
解:(1)用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:
表中共有36種可能的結(jié)果,每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,“差的絕對值”為0、1、2的共有24種,“差的絕對值”為3、4、5的共有12種,
所以P(小偉勝)=
,
P(小梅勝)=
。
答:小偉獲勝的概率為23,小梅獲勝的概率為13。
(2)∵23≠13,∴游戲不公平。
根據(jù)表格中“差的絕對值”的不同情況,要使游戲公平,則兩人獲勝的概率相等。于是修改為:兩次擲的點數(shù)之差的絕對值為1,2,則小偉勝;否則小梅勝。這樣小偉、小梅獲勝的概率均為12。(規(guī)則修改不唯一)
【點評】當(dāng)列舉的可能結(jié)果比較多時,我們可采用列表法來解決。本題還考查了游戲的公平性。列舉出所有的可能結(jié)果,求出相應(yīng)的概率是解決問題的關(guān)鍵。我們在修改游戲規(guī)則時,一般使得游戲所分對象中包含的可能性結(jié)果一樣多,有時也采用賦分制修改游戲規(guī)則,但一般不改變游戲具體方式。
例7 (2020·江蘇徐州)在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個,這些球除顏色外都相同。小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn),摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右,則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是( )。
A.5 B.10 C.12 D.15
解:A。
【點評】本題主要考查了利用頻率估計概率。大量重復(fù)試驗時,事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動,并且擺動的幅度越來越小,根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性,可以用頻率的集中趨勢來估計概率,這個固定的近似值就是這個事件的概率。
我們在解決概率有關(guān)問題時,采用:
概率樹與表,分清放回不放回,
事件兩三步,三步須用樹狀圖,
試驗等可能,多次頻率估概率。
(作者單位:江蘇省鹽城市大岡初級中學(xué))98 策略方法