桑健

摘? ?要：文章通過(guò)單擺在無(wú)阻力作用下的運(yùn)動(dòng)滿足機(jī)械能守恒以及圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，推導(dǎo)得出在擺角不超過(guò)5°的情況下，單擺在水平方向上的運(yùn)動(dòng)近似是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);通過(guò)證明一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期等于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期，得到計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的通式和可操作的方法;最后將這一方法用于圓錐擺周期公式的推導(dǎo)，并且討論了圓錐擺與單擺等效的條件。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng);單擺的周期;簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);圓錐擺

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2021）2-0061-4

在執(zhí)教高中物理“單擺”與“用單擺測(cè)定重力加速度”相關(guān)內(nèi)容的過(guò)程中，學(xué)生陸續(xù)提出三個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)查閱資料、個(gè)人研究與備課組研討，針對(duì)這三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)分析，現(xiàn)整理成本文，與大家交流。

問(wèn)題一：?jiǎn)螖[的運(yùn)動(dòng)本質(zhì)是什么？

現(xiàn)行上海市高級(jí)中學(xué)課本《物理·拓展型課程（試用本）》[1]第51至53頁(yè)有如下表述：“把質(zhì)量為m的擺球從平衡位置O拉開(kāi)一小段距離到B點(diǎn)，這時(shí)懸線和豎直方向的夾角為α。放開(kāi)后，擺球始終受到重力mg和細(xì)線拉力T的作用。重力的一個(gè)分力F=mgsinα沿圓弧切線方向，指向平衡位置O，而拉力T在圓弧切線方向沒(méi)有分力。正是重力的分力F使擺球回到平衡位置，這個(gè)力就是使單擺振動(dòng)的回復(fù)力?！薄霸趫D1中，當(dāng)單擺的擺角很?。ú怀^(guò)5°）時(shí)，擺球的位移x和圓弧長(zhǎng)OB很接近，設(shè)擺長(zhǎng)為l，則sinα≈α≈■。于是，回復(fù)力F=mgsinα≈mgα≈mg■=■x。因?yàn)槭街衜、g、l均為常數(shù)，可令k=■。又因?yàn)榛貜?fù)力F的方向指向平衡位置，始終與位移x的方向相反，于是有F=-kx。因此，在單擺擺角α小于5°，擺球所受回復(fù)力的大小與位移成正比，方向與位移相反，可知單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?！?/p>

在此，學(xué)生提出第一個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)螖[的平衡位置在O點(diǎn)，如圖1所示擺球在B點(diǎn)，擺球的位移是O指向B的一個(gè)矢量，當(dāng)擺角不超過(guò)5°的情況下，sinα≈α，弧長(zhǎng)OB約等于弦長(zhǎng)OB，α=■≈■=■，F(xiàn)=■x，但是回復(fù)力的方向是過(guò)B點(diǎn)的切線方向，它和位移OB矢量是嚴(yán)格方向相反的嗎？擺角不超過(guò)5°下的數(shù)學(xué)運(yùn)算近似能適用于方向嗎？

筆者利用單擺在無(wú)阻力作用下的運(yùn)動(dòng)滿足機(jī)械能守恒以及圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)做了如下推導(dǎo)：

如圖2所示，設(shè)單擺在B與C之間運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為l，在B點(diǎn)時(shí)擺線與豎直方向夾角為α1，在P點(diǎn)時(shí)擺線與豎直方向夾角為α2、擺球的速度為v。

從B到P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，拉力T與擺球運(yùn)動(dòng)速度方向始終垂直，拉力對(duì)擺球不做功，只有重力對(duì)擺球做功，擺球的機(jī)械能守恒，擺球增加的動(dòng)能等于它減少的重力勢(shì)能，即：

■mv2=mgl（cosα1-cosα2）? ? （1）

在P點(diǎn)，拉力T與重力沿?cái)[線方向的分力mgcosα2提供擺球在該點(diǎn)的向心力，即：

T-mgcosα2=■（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式可得：

T=mgcosα2+2mg（cosα1-cosα2）=2mgcosα1-

mgcosα2? （3）

在P點(diǎn)，將拉力T分解為豎直向上的分力Ty與水平向右的分力Tx，即：

Tx=2mgcosα1sinα2-mgcosα2sinα2? ? （4）

利用數(shù)學(xué)三角公式：

cosα=1-2sin2■≈1-2（■）2

當(dāng)擺角α1、α2均小于5°時(shí)，（4）式可以近似為：

Tx=2mg [1-2（■）2] sinα2-mg[1-2（■）2] sinα2? ? （5）

略去（5）式中的高階小量■、■，即可得到Tx=mgsinα2

設(shè)過(guò)P的水平線與豎直擺線RO的交點(diǎn)為O′，將O′ 暫且稱為擺球在P點(diǎn)時(shí)的瞬時(shí)平衡位置，則擺球的位移x就是O′ 指向P的一個(gè)矢量，即：

Tx=-mgsinα2=-mg ■=-mg■? ? ?（6）

上式說(shuō)明，在擺角不超過(guò)5°的情況下，單擺在水平方向上的運(yùn)動(dòng)近似是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并且該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)每一時(shí)刻的平衡位置不是固定的一個(gè)點(diǎn)，但這些點(diǎn)都在最大擺角所在水平線BC中點(diǎn)S與最低點(diǎn)O的連線上，從而解答了學(xué)生提出的第一個(gè)問(wèn)題。

通過(guò)上述推導(dǎo)，我們還有這樣一個(gè)感悟：?jiǎn)螖[在無(wú)阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動(dòng)本質(zhì)還是變速圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，可以通過(guò)機(jī)械能守恒定律分析;對(duì)于運(yùn)動(dòng)中的某一個(gè)時(shí)刻，可以建立自然坐標(biāo)系去研究法向加速度和切向加速度;對(duì)于單擺往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則可以通過(guò)它水平方向的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)分析和計(jì)算。

問(wèn)題二：?jiǎn)螖[周期公式如何推導(dǎo)？

現(xiàn)行上海市高級(jí)中學(xué)課本《物理·拓展型課程（試用本）》[1]第49至51頁(yè)有如下表述：“圖3中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M0沿半徑為R的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω，它在過(guò)圓心的x軸上的投影是M點(diǎn)。可以證明當(dāng)M0點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)就沿著x軸做振幅為R的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。”

在此，學(xué)生提出第二個(gè)問(wèn)題：根據(jù)課本的描述，當(dāng)證明得到一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)后，那么勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期也就是該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，按照這樣的一個(gè)思路，能否避開(kāi)大學(xué)物理的微分方程知識(shí)，利用上述結(jié)論推導(dǎo)得到單擺在無(wú)阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期公式T=2π■呢？

建立如圖4所示的坐標(biāo)，質(zhì)點(diǎn)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為ω，運(yùn)動(dòng)半徑為r，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)M0處，M0O與x軸正方向的夾角為α，M0在x軸上的投影為M，令OM=x。質(zhì)點(diǎn)的加速度大小a=ω2r，方向沿半徑方向指向圓心，加速度矢量在x軸方向上的投影就是M的加速度

aM=ω2rcosα，M的合力為：F=maM=-mω2rcosα=

-mω2x，負(fù)號(hào)代表合力方向?yàn)檠豿軸負(fù)方向。

上式表明，一個(gè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在直徑上的投影運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期等于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期。T■=T■=■，令比例系數(shù)k=mω2，得到計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的通式：T=2π■? ? （7）

這個(gè)式子給出了計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期可操作的方法：先證明一個(gè)運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，得到比例系數(shù)k，代入（7）式求出周期。

對(duì)比（6）式Tx=-mg■，可得單擺在水平方向上簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的比例系數(shù)k=■，代入（7）式，得到單擺在無(wú)阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動(dòng)的周期公式T=2π■? ，從而解答了學(xué)生提出的第二個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題三：?jiǎn)螖[和圓錐擺能否相互等效？

在“用單擺測(cè)定重力加速度”的學(xué)生實(shí)驗(yàn)中，教師往往會(huì)提醒學(xué)生，在實(shí)驗(yàn)操作中，要保證擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動(dòng)，不要形成圓錐擺（如圖5）。同時(shí)給出圓錐擺運(yùn)動(dòng)的周期公式

T■=2π■，其中α是圓錐擺擺線與豎直方向的夾角，對(duì)比單擺周期公式，得到如下結(jié)論：形成圓錐擺的話，此時(shí)測(cè)得的周期比相同擺長(zhǎng)下測(cè)得的周期偏小，從而重力加速度值比標(biāo)準(zhǔn)偏大。

學(xué)生在課余查閱了百度百科中關(guān)于“圓錐擺”條目的相關(guān)知識(shí)后提出第三個(gè)問(wèn)題：“單擺和圓錐擺的周期公式十分相似，是否可以把圓錐擺等效成擺長(zhǎng)為lcosα的單擺運(yùn)動(dòng)？圓錐擺是單擺和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成嗎？”

以下摘自百度百科中“圓錐擺”條目：

“溜冰運(yùn)動(dòng)中在雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)中，有時(shí)會(huì)看到被男運(yùn)動(dòng)員拉著的女運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)地面在空中做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，這里面就涉及到了圓錐擺;其實(shí)在做單擺實(shí)驗(yàn)時(shí)，如果沒(méi)有做好，往往就做成了圓錐擺了。圓錐擺其實(shí)可以看成是單擺與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成?！?/p>

中學(xué)物理涉及圓錐擺模型是在勻速圓周運(yùn)動(dòng)的《向心力》一節(jié)中，我們是這樣分析的：如圖6所示，圓錐擺的擺球所受拉力在豎直方向上的分力與重力相互平衡，即Tcosα=mg;拉力在水平方向的分力提供擺球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即Tsinα=mω2 l sinα，聯(lián)立可得ω=■，T■=■=2π■。顯然，圓錐擺并不是單擺和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合成，圓錐擺擺球做的運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)。那圓錐擺的周期公式與單擺如此相似，是數(shù)學(xué)表達(dá)式上的偶然嗎？

我們利用問(wèn)題二中計(jì)算簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的方法，從簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)角度來(lái)推導(dǎo)圓錐擺的周期公式。若圓錐擺的擺球某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，作出俯視圖（圖7），擺球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力即Tsinα，擺球勻速圓周運(yùn)動(dòng)在x軸上的投影是一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的回復(fù)力大小：

F=Tsinαcosβ=■·sinαcosβ=mg·tanαcosβ=mg· ■cosβ=mg·■

回復(fù)力的方向沿x軸指向O，與位移方向相反。令比例系數(shù)k=■，代入簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的通式[（7）式]，可得T■=2π■=2π■。

通過(guò)上述的推導(dǎo)與分析論證，我們可以作出如下判斷：在研究單擺在無(wú)阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間的問(wèn)題時(shí)，可以從單擺水平方向是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)這一角度來(lái)分析計(jì)算，此時(shí)單擺的擺長(zhǎng)就是懸掛點(diǎn)到擺球重心的距離，盡管擺球的高度在變化，只要抓住水平方向的運(yùn)動(dòng)即可;而圓錐擺做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于圓周運(yùn)動(dòng)所在的水平面是固定不動(dòng)的，可以將懸掛點(diǎn)到圓周運(yùn)動(dòng)水平面的距離看成是圓錐擺的“等效擺長(zhǎng)”，即可以把圓錐擺等效成擺長(zhǎng)為lcosα的單擺運(yùn)動(dòng)。需要注意的是：這個(gè)等效成立的條件只是圓錐擺擺線與豎直方向的夾角不超過(guò)5°，因?yàn)橐坏┏^(guò)5°，圓錐擺的周期公式依然成立，但是單擺的周期公式不再適用。至此，解答了學(xué)生提出的第三個(gè)問(wèn)題。

愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和系統(tǒng)闡述問(wèn)題可能要比得到解答更為重要……提出新問(wèn)題、新的可能性，從新的角度去考慮問(wèn)題，則要求創(chuàng)造性的想象，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！蔽锢韺W(xué)科核心素養(yǎng)中的“科學(xué)思維”是基于事實(shí)證據(jù)和科學(xué)推理對(duì)不同觀點(diǎn)和結(jié)論提出質(zhì)疑和批判，進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，進(jìn)而提出創(chuàng)造性見(jiàn)解的能力與品格，這也就要求學(xué)生能對(duì)已有觀點(diǎn)提出質(zhì)疑，從不同角度思考物理問(wèn)題。通過(guò)上述“單擺”教學(xué)中三個(gè)問(wèn)題的提出與解答，從教師和學(xué)生角度都提出了很高的要求，在新的課程改革與考試評(píng)價(jià)制度下，廣大教育同仁要充分肯定、鼓勵(lì)學(xué)生提問(wèn)，保護(hù)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，同時(shí)教師自身也要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，才能使每節(jié)課都讓學(xué)生有實(shí)實(shí)在在的認(rèn)知收獲、思維提升和科學(xué)感悟，為學(xué)生的素養(yǎng)提升、自主發(fā)展做好準(zhǔn)備。

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（欄目編輯? ? 羅琬華）