譚爽 梁鳳超 鄢南興 林喆 康建兵

Stewart次鏡調整平臺空間包絡判定算法研究

譚爽 梁鳳超 鄢南興 林喆 康建兵

（北京空間機電研究所，北京 100094）

由于空間遙感相機受體積、質量和制造成本的限制，Stewart次鏡調整平臺需要在任意運動時刻不超出給定的包絡尺寸，急需一種解決相機次鏡平臺空間運動約束的包絡判定算法。文章根據結構參數建立了Stewart次鏡調整平臺運動模型，利用三角函數關系并考慮支桿長度的約束，推導模型中平移與旋轉的極限位置，然后給出空間包絡的判定方法。將該判定模型應用于某空間遙感相機的Stewart次鏡調整平臺實例中，運用解析法可快速計算出極限位置，節(jié)約了大量時間；運用數值法可進一步精確求出在有支桿長度約束時的極限位置，解析法和數值法結果均滿足包絡尺寸的要求，表明該包絡判定算法適用于六自由度并聯(lián)機構的空間包絡判定。

六自由度并聯(lián)機構 空間包絡 包絡模型 次鏡調整 空間相機

0 引言

空間光學遙感器在軌應用時，由于受到發(fā)射力學環(huán)境、在軌重力場和溫度場等因素的影響，載荷部組件易產生相對位姿失配和面形誤差，導致光學載荷的探測性能偏離原有設計、系統(tǒng)探測性能和成像品質嚴重衰減[1-3]。由于遙感器的次鏡質量小、靈敏度高，可通過調整次鏡多自由度位姿來矯正相對位姿失配，從而減小甚至消除初級像差（球差、彗差、像散、場曲），理論和實踐均已表明，這是調整代價較小且調整效果最佳的方式[4-7]。在工程實現方面，國內外均普遍采用Stewart平臺來調整次鏡的位姿，從而實現六自由度高精度位姿調整，其中最具有代表性的是美國詹姆斯韋伯太空望遠鏡[8-11]。

某高分辨率空間光學遙感器，選擇Stewart平臺作為次鏡位姿調整平臺，進行次鏡位姿的在軌實時調整，使光學探測系統(tǒng)的主次鏡位姿關系回歸至理想狀態(tài)，從而滿足系統(tǒng)高分辨率成像的需求。實際上Stewart平臺主要應用于機床、飛行器仿真、醫(yī)學以及精密定位等領域[12-15]，這些應用對Stewart平臺空間尺寸的約束要求不高。而在航天領域，由于衛(wèi)星與載荷在滿足性能與功能的同時，需要考慮每個分系統(tǒng)的尺寸在工作時不能超出規(guī)定的界限，再加上質量與制造成本的限制，因此分解Stewart次鏡調整平臺，總體會給出包絡尺寸的約束，即要求Stewart次鏡調整平臺在位姿調整的任何時刻，機構的任何邊緣均不超過總體給出的包絡尺寸?？紤]到實際情況，六自由度并聯(lián)機構是一個立體模型，動平臺具有一定的厚度，在旋轉時若不考慮周全，很可能導致機構的邊緣超出包絡尺寸。因此，急需一種解決空間相機次鏡平臺空間約束的空間包絡判定算法。

本文給出了判定Stewart次鏡調整平臺在運動過程中任意時刻是否超出包絡尺寸的判斷算法。在運動學反解的基礎上，對動平臺表面圓周上的點進行坐標分析，建立六自由度并聯(lián)機構運動模型，并給出模型極限位置的定義，運用解析法和數值法分別推導出模型極限位置并給出空間包絡的判定方法。解析法結果簡單，快速給出極限位置，節(jié)約了大量的仿真時間；數值解用于有其他約束時進一步精確求出極限位置，但非常耗費時間。該判定方法適用于判斷Stewart次鏡調整平臺是否超出給定的包絡尺寸，可以避免衛(wèi)星空間的浪費，從而降低成本。

1 六自由度并聯(lián)機構動平臺運動模型

在進行空間光學遙感器的總體設計中，需綜合考慮相機體積、質量和制造成本，對各個有效載荷均有空間約束。通過系統(tǒng)分解，給定次鏡調整機構的空間約束為直徑、高D的圓柱體，Stewart次鏡調整機構在運動過程中，要求不能超出這一圓柱體的包絡范圍。

圖1 Stewart六自由度并聯(lián)機構

由動平臺向慣性參考坐標系投影，可得表示上平臺姿態(tài)的方向余弦陣[21]，即

式中為動坐標系繞軸轉動的角度；為動坐標系繞軸轉動的角度；為動坐標系繞軸轉動的角度。

-動坐標系中的任何向量p都可以通過坐標變化變換為-靜坐標系中的向量，轉換公 式為

式（2）為六自由度并聯(lián)機構動平臺上、下表面圓周上點的運動學模型，點的運動軌跡由間距為h的上下兩個圓在空間經過平移與旋轉形成。因此式（2）可以用于判斷并聯(lián)機構是否滿足包絡尺寸要求。

為后續(xù)推導方便，記

2 六自由度并聯(lián)機構極限位置與空間包絡判定方法

2.1 極限位置

為便于推導，記動平臺運動范圍為

2.1.1 解析法

對式（3）利用解析法求點每一坐標絕對值的最值，即極限位置。由于六自由度并聯(lián)機構關于、軸對稱，且平臺位于正方向，所以只需要分別求出x、y和z的最大值即可。

（1）平移運動極限位置坐標

當動平臺進行平移運動時，動平臺在、、軸上的坐標值滿足

所以，點平移運動極限位置坐標為

（2）旋轉運動極限位置坐標

1）r的最大值

根據三角函數關系，當h=?時，可得旋轉運動沿方向的極限位置坐標為

2）r的最大值

通過求導分析，當h=?時，可得旋轉運動沿方向的極限位置坐標，即

3）r的最大值

顯而易見，在旋轉過程中，r最大值出現在動平臺上表面。因此，式（3）中r為

綜合平移和旋轉兩種運動，可得到六自由度并聯(lián)機構極限位置模型為

2.1.2 數值法

解析法適用于快速簡單判定極限位置，若給出其他約束條件，使?jié)M足約束條件時的工作空間一步縮小，無法一下得到極限位置，則需要通過數值法進行計算。下面以支桿約束為例介紹數值法的具體工作流程。

2.2 空間包絡判定算法

僅當所有的極限位置都在包絡空間范圍內，才能夠判定六自由度并聯(lián)機構滿足包絡尺寸要求。即六自由度并聯(lián)機構的空間包絡判定模型為

式（6）成立，才能得到六自由度并聯(lián)機構在運動范圍運動時均在包絡尺寸內的結論。

當有約束條件時，要剔除不滿足約束的位姿，所以求解出來的極限位置應該不超過沒有約束時對應的極限位置。因此可先利用解析法求出給定位姿的極限位置（e，e，e），若滿足式（6），則有無約束，都可以直接給出六自由度并聯(lián)機構在包絡尺寸內；若不滿足式（6），則利用數值法求出有約束條件時的極限位置e、e和e，然后判斷極限位置是否滿足式（6）。若滿足，則整個機構在運動過程中滿足包絡尺寸要求。

3 仿真實例

某相機Stewart次鏡位姿調整平臺的結構參數、運動范圍與包絡尺寸參數如表1所示。桿長約束：6個支桿長度均在[130,150]mm。

表1 次鏡位姿調整平臺機構結構參數與約束參數

Tab.1 The structural parameters and the constraint conditions of the secondary mirror adjustment mechanism

利用MATLAB編程，應用數值算法求出在支桿長度約束下，當?，?，?均取0.1mm，?，?，?均取0.1°，?取0.001°時，該六自由度并聯(lián)機構的極限位置坐標為：e=122mm,e=122mm,e=143.7mm。各項結果均滿足式（6）要求。

因此，在給定支桿約束時動平臺的所有極限位置都在包絡范圍內，即該次鏡位姿調整平臺六自由度并聯(lián)機構在運動范圍內所有可達的點均在直徑350mm、高150mm的圓柱體包絡范圍內，滿足技術指標要求。

4 結論

針對空間光學遙感器對Stewart次鏡調整機構的空間約束要求，根據六自由度并聯(lián)機構結構參數與運動范圍等參數，建立六自由度并聯(lián)機構動平臺的運動模型，給出了該模型極限位置判定的解析算法與約束條件下的數值算法，并完整地給出了六自由度并聯(lián)機構空間包絡判定算法，所得結論如下：

1）解析算法建模過程清晰、公式簡單、計算量小，但包絡空間大，包含一些無效狀態(tài)。適用于簡單快速計算沒有約束限制情況下六自由度并聯(lián)機構是否滿足包絡尺寸要求。

2）數值法過程繁瑣，計算代價大，但在有約束時，包含的軌跡更接近真實狀態(tài)，因此適用于精確計算各個約束下六自由度并聯(lián)機構是否滿足包絡尺寸要求。

3）可先利用解析法快速求出極限位置，若滿足包絡尺寸要求，不用再計算有約束時的極限位置，直接給出六自由度并聯(lián)機構滿足包絡尺寸的結論。

在某空間遙感器Stewart次鏡調整平臺的設計中，運用解析與數值方法，判定所研制的Stewart次鏡調整平臺極限位置嚴格處于總體給定的包絡尺寸內，為后續(xù)相關應用提供了參考。

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Study on the Envelope Space Determination Algorithm of the Stewart Platform in the Secondary Mirror Adjustment

TAN Shuang LIANG Fengchao YAN Nanxing LIN Zhe KANG Jianbing

（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

Since the space remote sensing camera is limited by size, weight and manufacturing costs, the secondary mirror pose during adjustment by the Stewart platform, must stay within the given envelope space at any time. An envelope space algorithm is urgently needed to judge whether the Stewart platform is within the given envelope space in real time. Considering the thickness of the moving platform, a kinematics model was firstly built up on the basis of the structure parameters. The extreme translations and orientations of the model were deduced by trigonometric functions respectively and they were added together to get the Stewart platform extreme positions. With the struts length constraint applied on the model, position coordinates that satisfy the constraint were calculated directly, and then the extreme positions were found to determine the envelope space. At last, with an example of the Stewart platform in a space remote sensing camera, the extreme positions were computed by the model in analytical and numerical methods. Both the results of the two methods satisfied the given envelope space. In practice, the analytical method can compute the extreme positions rapidly and efficiently, and the numerical method can have more accurate solutions than the analytical one. The envelope space determination algorithm is suitable for the envelope space judgment of the 6-DOF (6-degree-of-freedom) parallel mechanism.

Stewart platform; space envelope; envelope model; secondary mirror; space camera

TP 24

A

1009-8518(2021)01-0108-07

10.3969/j.issn.1009-8518.2021.01.013

譚爽，女，1989年生，2015年獲得中國空間技術研究院光學工程碩士學位，工程師。目前主要從事六自由度并聯(lián)機構設計與控制算法的相關工作。E-mail：tsjlyz@163.com。

2020-05-25

譚爽, 梁鳳超, 鄢南興, 等. Stewart次鏡調整平臺空間包絡判定算法研究[J]. 航天返回與遙感, 2021, 42(1): 108-114.

TAN Shuang, LIANG Fengchao, YAN Nanxing, et al. Study of the Envelope Space Determination Algorithm of the Stewart Platform in the Secondary Mirror Adjustment[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2021, 42(1): 108-114. (in Chinese)

（編輯：夏淑密）