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      一個(gè)對數(shù)不等式的改進(jìn)

      2021-03-19 05:18:00李祥林馬玉軍
      關(guān)鍵詞:祥林理學(xué)院教務(wù)處

      李祥林,馬玉軍

      (1.齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院,黑龍江 齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾技師學(xué)院 教務(wù)處,黑龍江 齊齊哈爾 161002)

      令 g (x ) = 39 x4+ 78 x3+ 59 x2+ 20 x+ 2,

      則 g ′ ( x ) = 156 x3+ 234 x2+ 118 x + 20, g ′ ( x ) = 468 x2+ 468 x+ 118,

      當(dāng) x<- 1時(shí), g ′ (x)> 0, g ′ (x)在( -∞,- 1)上是增函數(shù),又 g′ ( - 1) =- 20 < 0;

      當(dāng) x<- 1時(shí), g ′ ( x)< 0; g (x )在( -∞,- 1)上是減函數(shù),又g ( -1 ) = 2 > 0,當(dāng) x <- 1時(shí), g ( x )> 0,故當(dāng) x<- 1時(shí), f ′ (x) > 0,

      定理2當(dāng) 0x > 時(shí),

      令 k (x ) = 186 x6+ 558 x5+ 749 x4+ 568 x3+ 248 x2+ 57 x+ 6,

      則 k ′ ( x ) = 1116 x5+ 2790 x4+ 2996 x3+ 1704 x2+ 496 x+ 57,

      k(4)(x )= 66960 x2+ 66960 x+ 17976,

      k(4)( - 1) = 17976 > 0,故當(dāng) x <- 1時(shí), k(4)( x)> 0,

      k ′ (x)在( -∞,- 1)上是增函數(shù),又 k′ ( - 1) =-5 7 < 0,當(dāng) x<-1 時(shí), k ′ ( x) < 0;

      k (x )在( -∞,- 1)上是減函數(shù),又 k( - 1) = 6 > 0,當(dāng) x <- 1時(shí), k ( x )> 0,

      故當(dāng) x<-1 時(shí), h ′ (x) > 0;

      定理3當(dāng) 0x > 時(shí),

      當(dāng) 1x<- 時(shí),

      證明:令

      令 q (x ) = 10332 x8+ 41328 x7+ 80109 x6+ 95679 x5+ 74889 x4+ 38529 x3+ 12711x2+ 2505 x+ 220,則

      q ′ ( x ) = 82656 x7+ 289296 x6+ 480654 x5+ 478395 x4+ 299556 x3+ 115587 x2+ 25422 x+ 2505

      q(4)( x )=17357760 x4+34715520 x3+28839240 x2+11481480 x+ 1797336

      q(5)(x )=69431040 x3+104146560 x2+57678480 x+ 11481480

      q(6)( x )=208293120 x2+208293120 x+ 57678480

      q(6)( -1 ) = 57678480 > 0,

      故當(dāng) x<-1 時(shí), q(6)( x)> 0,

      q(5)( x )在( -∞,- 1)上是增函數(shù),又 q(5)( -1 ) =-1 1481480 < 0,當(dāng) x <-1 時(shí), q(5)( x)< 0;

      q(4)( x )在( -∞,- 1)上是減函數(shù),又q(4)( -1 ) = 1797336 > 0,當(dāng) x<- 1時(shí), q(4)( x )> 0;

      q ′ (x)在( -∞,- 1)上是增函數(shù),又 q′ ( - 1) =-2 505 < 0,當(dāng) x <- 1時(shí), q ′ (x)< 0;

      q (x )在( -∞,- 1)上是減函數(shù),又 q( - 1) = 220 > 0,當(dāng) x<-1 時(shí), q (x) > 0;

      故當(dāng) x<- 1時(shí), p ′ ( x)> 0;

      p (x )在( -∞,- 1)上是增函數(shù)[7],又xl→im-∞p ( x) = 0,故當(dāng) x <- 1時(shí), p (x) > 0,

      即當(dāng) 1x<- 時(shí),

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