宋泰宇，李國平

(1.同濟大學(xué)建筑設(shè)計研究院(集團)有限公司，上海 200092； 2.同濟大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092)

1 引 言

有限單元法是在當(dāng)今技術(shù)科學(xué)發(fā)展和工程分析中最強有力的數(shù)值方法[1,2]，廣泛應(yīng)用于機械、橋梁和房屋等工程分析中。梁-桿件是工程結(jié)構(gòu)的重要組成，有限元分析一般通過引入平截面假設(shè)將桿件簡化為一維問題，從而采用梁單元求解。在實際工程中，常會采用曲線形梁結(jié)構(gòu)，如橋梁工程中的彎梁和房屋工程中支撐球形網(wǎng)殼的曲梁等。由于曲梁的軸線是曲線，所以梁中的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)是耦合的，梁內(nèi)存在扭矩。

有限元分析曲梁主要有兩類單元,(1) 可以考慮扭矩的空間直梁單元； (2) 由三維實體單元退化而來的空間曲梁單元?？臻g直梁單元是用折線代替曲線，優(yōu)點是表達格式較為簡單，但是，直梁單元中的拉壓、彎曲和扭轉(zhuǎn)各自獨立，互不耦合，因此使用直梁單元模擬的曲梁在離散時較為困難，會出現(xiàn)彎矩和扭矩不連續(xù)等問題，同時劃分必須用較密集的網(wǎng)格；三維空間曲梁單元中的拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)幾種變形和應(yīng)力狀態(tài)是相互耦合的，這類單元的有限元程式是由三維實體單元推導(dǎo)而來，其位移和轉(zhuǎn)動自由度相互獨立，因此形函數(shù)只需要C0連續(xù)性[1]，可以適用于各種形狀的直、曲梁結(jié)構(gòu)。同時，這類單元構(gòu)造時考慮了橫向剪切變形，可以同時適用于淺梁和深梁的分析。因此，當(dāng)考慮計算的精確度和有限元程序的普遍適用性時，宜采用空間曲梁單元進行曲梁結(jié)構(gòu)的分析。

2 空間曲梁單元的剪應(yīng)力

2.1 有限元程式

三維曲梁單元中任一點在全局坐標(biāo)系中的幾何位置為

(1)

在小轉(zhuǎn)動的條件下，空間曲梁單元中任一點在全局坐標(biāo)系的位移場為

(2)

圖1 三維空間曲梁單元[1]

式中{δk}={uk,vk,wk,θx k,θy k,θz k}T為結(jié)點k在全局坐標(biāo)系下的結(jié)點位移向量，{uk,vk,wk}T為平動向量，{θx k,θy k,θz k}T為轉(zhuǎn)動向量；其余符號意義同前。在局部坐標(biāo)系中，三維空間曲梁單元的彈性本構(gòu)矩陣的表達式為

(3)

式中E和G分別為楊氏彈性模量和剪切剛度，κ為剪切校正因子。本文只列出與本文相關(guān)的方程，空間曲梁單元的完整有限元程式可參見文獻[14]?？臻g曲梁單元在梁軸線是直線時退化為 Timo -shenko 梁單元。

本有限元程式中，數(shù)值計算采用減縮積分的3結(jié)點二次曲梁單元(2個高斯積分點)，可有效避免剪切鎖死和零能模式。

2.2 計算剪應(yīng)力和真實剪應(yīng)力

矩形截面梁發(fā)生扭轉(zhuǎn)時，各截面發(fā)生翹曲，不再保持平面。但是，從式(2)可以看出，扭轉(zhuǎn)角θx對軸向變形u沒有影響，即空間曲梁單元不能考慮扭轉(zhuǎn)翹曲的影響。根據(jù)理論和試驗結(jié)果[15，16]，對于跨長大于橫截面尺寸4倍的實心截面梁來說，翹曲正應(yīng)力和翹曲剪應(yīng)力與相應(yīng)的彎曲正應(yīng)力和剛性扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力相比較小，一般不超過5%，可不考慮翹曲的影響，采用單純扭轉(zhuǎn)理論分析[15]。因此，空間曲梁單元不考慮翹曲影響所引起的誤差較小，在工程設(shè)計容許范圍內(nèi)。

將式(2)的位移場代入彈性力學(xué)的基本幾何方程，即可得到空間曲梁單元的6個應(yīng)變分量，將剪應(yīng)變代入式(3)即可得剪應(yīng)力，矩形截面空間曲梁單元上由橫向彎曲和扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的剪應(yīng)力分別如 圖2(a，c)所示?？梢钥闯?，計算的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度方向為常值，而真實的彎曲剪應(yīng)力近似為拋物線分布(圖2(b))；計算的扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈線性分布，在對角線頂點處達到最大值，而真實扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力呈非線性分布，在矩形長邊中點達到最大值，在對角線頂點處為0(圖2(d))。

3 扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)

圖2 梁單元截面上的剪應(yīng)力分布

圖3 梁截面

利用彈性力學(xué)的應(yīng)力函數(shù)可得到截面上扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的解析解[18]為

(4)

(5)

式中αn=(2n+1)π/2a(n=0,1,2,…)。根據(jù)式(2)和幾何方程可得空間曲梁單元截面上的剪應(yīng)力

τx z 2=-θGy,τz y 2=θGx

(6,7)

(8)

(9)

4 算例驗證分析

基于上述的空間曲梁單元模型，文獻[14]編制了相應(yīng)的有限元電算程序。為了驗證上述推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)修正系數(shù)的正確性，以一矩形截面曲線懸臂梁為例，基于實體單元模型的結(jié)果對空間曲梁單元模型計算結(jié)果的正確性進行驗證和分析。

表1 扭轉(zhuǎn)剛度修正系數(shù)Tab.1 Correction factors of torsional stiffness )

曲線懸臂梁的平面布置如圖4所示，選取兩個截面尺寸分別為20cm(高)×20cm(寬)和20cm×10cm，E=3.45×107kN/m2，G=1.725×107kN/m2，在懸臂梁末端施加豎向單位力P =1kN。實體有限元模型利用有限元軟件ABAQUS[19]建立，模型采用網(wǎng)格細(xì)化的三次高階單元(C3D20R)以保證模型的計算準(zhǔn)確度(圖5)。

表2 扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力修正系數(shù)λTab.2 Correction factors of torsional shear (λ)

圖4 曲線懸臂梁平面

圖5 曲線懸臂梁的實體單元模型

圖6 曲線懸臂梁沿梁長的撓度和扭轉(zhuǎn)角的對比

5 結(jié) 論

(1) 曲梁是典型的空間結(jié)構(gòu)，具有彎扭耦合特性，受力狀態(tài)較復(fù)雜。對于曲梁結(jié)構(gòu)的分析，與解析解法、實體單元模型和直梁單元模型相比，采用空間曲梁單元模型最符合曲梁真實的幾何和受力特點，分析方法具有較高的準(zhǔn)確度和效率。

(6) 與本文研究內(nèi)容相關(guān)的，空間曲梁單元模型采用分層法進行非線性受力性能分析時，單元的分層數(shù)需不少于4層(減縮積分)，每個單元對應(yīng)的圓心角不大于6°，以保證獲得準(zhǔn)確的彎剪扭受力性能。

參考文獻(References):

[1] 王勖成.有限單元法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2003.(WANG Xu-cheng.FiniteElementMethod[M].Beijing:Tsinghua University Press,2003.(in Chinese))

[2] 朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用(第三版)[M].北京:中國水利水電出版社,2009.(ZHU Bo -fang.PrincipleandApplicationofFiniteElementMethod(3r dEdition) [M].Beijing:China Water & Power Press,2009.(in Chinese))

[3] Kwon Y W,Bang H.TheFiniteElementMethodUsingMATLAB [M].CRC Press,2000.

[4] 石志源.橋梁結(jié)構(gòu)電算(第二版)[M].北京:人民交通出版社,2010.(SHI Zhi-yuna.ComputingforBridgeStructures(2n dEdition) [M].Beijing:China Communications Press,2010.(in Chinese))

[5] Cowper G R.The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory[J].JournalofAppliedMechanics,1966,33(2):335-340.

[6] Whitney J M.The effect of transverse shear deformation on the bending of laminated plates[J].JournalofCompositeMaterials,1969,3(3),534-547.

[7] Shabana A A,Yakoub R Y.Three dimensional abso -lute nodal coordinate formulation for beam elements:Theory [J].JournalofMechanicalDesign,2001,123(4):606-613.

[8] Murín J,Aminbaghai M,Kuti? V,et al.A new 3D Timoshenko finite beam element including non-uniform torsion of open and closed cross sections [J].EngineeringStructures,2014,59:153-160.

[9] 張永信.計及彎扭耦合效應(yīng)的空間梁桿結(jié)構(gòu)計算分析方法[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué),2017.(ZHANG Yong-xin.The Calculation and Analysis Method of Spatial Beam Structure Considering Bending and Torsion Coupling Effect [D].Harbin Institute of Technology,2017.(in Chinese))

[10] 宋子康,蔡文安.材料力學(xué)[M].上海:同濟大學(xué)出版社,2005.(SONG Zi-kang,CAI Wen-an.MechanicsofMaterials[M].Shanghai:Tongji University Press,2005.

[11] Ferguson G H,Clark R D.A variable thickness,curved beam and shell stiffening element with shear deformations [J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,1979,14(4):581-592.

[12] 何 志,陳建芳,李 偉,等.考慮剪切變形的開口薄壁桿單元扭轉(zhuǎn)剛度矩陣[J].廣西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,38(4):795-800.(HE Zhi,CHEN Jian-fang,LI Wei,et al.Torsional stiffness matrix of open thin-walled beam element considering torsional shear deformation [J].JournalofGuangXiUniveristy(NaturalScienceEdition),2013,38(4):795-800.(in Chinese))

[13] 劉 建,陳 勇,曹 洲,等.基于一階薄壁梁理論的開口截面剪應(yīng)力不均勻系數(shù)的精確計算[J].工業(yè)建筑,2015,45(10):155-160.(LIU Jian,CHEN Yong,CAO Zhou,et al.Accurate calculation of the shear stress non-uniform coefficient on the open section based on the first-order thin-walled beam theory [J].IndustrialConstruction,2015,45(10):155-160.(in Chinese))

[14] 宋泰宇.混凝土曲線箱梁橋極限狀態(tài)分析理論及方法 [D].同濟大學(xué),2019.(SONG Tai-yu.Analysis and Calculation Methods of Curved Reinforced and Prestressed Concrete Box-section Girder Bridges [D].Tongji University,2019.(in Chinese))

[15] 邵容光,夏 淦.混凝土彎梁橋[M].北京：人民交通出版社,1994.(SHAO Rong-guang,XIA Gan.CurvedConcreteGirderBridge[M].Beijing:China Communications Press,1994.(in Chinese))

[16] 孫光華.曲線橋梁計算[M].北京:人民交通出版社,1995.(SUN Guang-hua.CalculationsofCurvedBridges[M].Beijing:China Communications Press,1995.(in Chinese))

[17] 于海祥,武建華,李仁佩.對矩形截面桿彈性自由扭轉(zhuǎn)的探討[J].力學(xué)與實踐,2007,29(2):73-74.(YU Hai-xiang,WU Jian-hua,LI Ren-pei.Discussions of elastic torsion in rectangular section beam [J].Me-chanicsinEngineering,2007,29(2):73-74.(in Chinese))

[18] 程昌鈞.彈性力學(xué)[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社,1996.(CHENG Chang-jun.Elasticity[M].Lanzhou:Lanzhou University Press,1996.(in Chinese))

[19] SIMULIA.Abaqus User’s Manual 6.11 [S].Providence,RI,2011.