不同頻率駐波疊加的計算機模擬和討論

唐德翔 郭昭全

摘? ?要：文章利用教學軟件對兩端固定的桿中兩列不同頻率駐波的疊加進行了計算機動態(tài)模擬，模擬結(jié)果顯示：當兩駐波頻率相差不大時，在短時間內(nèi)疊加的波動圖像主要反映駐波的特點，時間上具有準同步性，空間上具有準周期性，在長時間內(nèi)，兩波節(jié)之間的波動有行波的特點，振動強度在兩波節(jié)之間來回傳播;當兩駐波頻率相差很大時，波動的整體圖像由低頻駐波決定，而局部由高頻駐波決定，并且都表現(xiàn)出強烈的同步特點。

關(guān)鍵詞：不同頻率;駐波疊加;計算機模擬

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）10-0016-4

在高中物理競賽輔導中，有學生在學習駐波后，提出了一個很有意思的問題：兩列駐波疊加后還是駐波嗎？一般的教科書只對兩列同頻率反向傳播的行波合成駐波這一情況進行了詳細分析，而沒有對駐波之間疊加進行討論。有文獻證明了兩列振動方向、波長和頻率都相同的駐波，若其波節(jié)位置錯開λ/4時，疊加后是一列行波[1];也有文獻進一步討論了波節(jié)相對位置任意情況下兩列同頻率駐波疊加的情況，發(fā)現(xiàn)在一般情況下得到的是兩列傳播方向相反而振幅不等的同頻率行波[2];還有文獻對此給出了動態(tài)模擬[3]。

但這些文獻都只著眼于同頻率的駐波分析，是基于純數(shù)學的演算，沒有結(jié)合具體的物理情境。真實的駐波往往是由于傳播介質(zhì)的邊界條件限制造成的，這種情況下通常是不同頻率駐波的疊加，而不是同頻率駐波疊加。本文以兩端固定的桿中兩種不同頻率駐波疊加為例，先對其進行理論分析，再借助幾何畫板對其動態(tài)情形進行模擬和分析討論，以幫助學生建立不同頻率駐波疊加的物理圖像。

1? ? 理論分析

設一根長為L的桿，兩端被限制，波在桿上的傳播速度為u。桿上駐波的波長λ需滿足

當m、n有大于1的公約數(shù)時，除了桿兩端外還有其他共同的波節(jié)，否則只有在桿兩端有共同的波節(jié)。

2? ? 兩列不同頻率駐波疊加的動態(tài)模擬及分析

1.兩列駐波有多個共同波節(jié)時的駐波圖像

取m=4，n=24，根據(jù)前文分析，疊加后駐波在x等于0，0.25L，0.5L，0.75L，L處有共同的波節(jié)。根據(jù)模擬所得動態(tài)圖情況，本文任意取兩個不同時刻的駐波圖像，如圖1所示。

由圖1可知，同一共同波節(jié)兩側(cè)的圖像是旋轉(zhuǎn)對稱的。所以，桿上質(zhì)點的振動和駐波疊加的波動圖像以相鄰兩共同波節(jié)之間的部分為基本單元，不同基本單元對應的質(zhì)點振動規(guī)律相同（最多相差相位π）。因此，只需研究兩相鄰共同波節(jié)之間的質(zhì)點就可以了。后文僅研究只在桿兩端點處有共同波節(jié)的情況，即m、n只有公約數(shù)1的情況。

2.駐波疊加的動態(tài)模擬

取m=19、n=20和m=3、n=20兩種情況，分別代表頻率差別不大和相差很大兩種典型情況模擬如下。

（1）情況1：m=19，n=20。

在0～T時間內(nèi)，兩列駐波各自完成了19次和20次完全波動，并回復到最初狀態(tài)。圖像的時間取樣分兩種方式：①在約1/20T=0.05T=T20內(nèi)，介質(zhì)質(zhì)點完成一次全振動，在此時間段內(nèi)均勻取5個時間點，以考察短時間內(nèi)駐波疊加波動情況，如圖2（a）所示;②在0～1/2T內(nèi)，均勻取5個時間點，以考察較長時間內(nèi)駐波疊加波動情況，如圖2（b）所示。

由圖2（a）可知，駐波疊加在短時間內(nèi)有如下特點：①振幅隨x變化成空間準周期性。以t=0時刻的圖像為例，在桿上從x等于0到L，質(zhì)點振幅周期性變化，但振幅的局部最大值由Amax=2逐漸減小為0，顯示出空間的準周期特點。②桿上各質(zhì)點振動的準同步性。在t=0時，各質(zhì)點振動處于短時間內(nèi)的最大值;經(jīng)t=0.0128T≈1/4T20，x=0處振動位移為0，其余各質(zhì)點也幾乎同步達到最小，但從x等于0～L也有空間周期性波動變化并逐漸偏離更大;至t=0.0258T≈1/2T20時，各質(zhì)點位移再次同步達到最大，但相位與t=0時幾乎相反;再經(jīng)1/2T20，各質(zhì)點完成一個周期振動，幾乎回到t=0時的狀態(tài)。顯示了在一個準周期T20時間內(nèi)，駐波疊加各質(zhì)點準同步運動的特點。

由2（b）可知，較長的時間內(nèi)桿上質(zhì)點的振動強度在桿兩端之間做周期性來回振蕩。在t=0時刻，x=0附近最大振幅最大（Amax≈2），而x=L附近最大振幅最?。ˋmax≈0）;在t=1/4T時，x=0與x=L處附近的最大振幅基本相等;在t=1/2T時，x=0附近最大振幅變?yōu)樽钚。ˋmax≈0），而x=L附近最大振幅達到最大（Amax≈2）;顯示振動強度在0～1/2T時間內(nèi)由左向右傳播的特點。由周期性和對稱性，很容易理解，再經(jīng)過半個周期（1/2T），x=0附近的最大振幅再次回到最大，而x=L附近的最大振幅也再次減到最小，即回到t=0時刻的狀態(tài)。由圖2（b）還可以看出，在x=L/2附近，最大振幅基本保持在Amax=1附近。表明兩駐波疊加使得振動強度在兩波節(jié)之間來回振蕩的特點，就像蹺蹺板的擺動一樣，即有振動形式和能量隨波流動傳遞現(xiàn)象，具有行波的一些特點。

由圖2可知，在短時間內(nèi)波動圖像主要反映的是駐波的特點，各質(zhì)點幾乎同步振動;而長時間看，兩波節(jié)之間的波動有行波的特點，振動在兩波節(jié)之間來回傳播。

（2）情況2：m=3，n=20。

由m=3可得慢周期為T3=1/3T，取慢周期的一半即1/2 T3內(nèi)6個時間點的波動圖如圖3所示。

由圖3可知，波動的整體圖像由m=3的低頻駐波決定，而局部狀態(tài)由n=20的高頻駐波決定。無論是低頻還是高頻，都表現(xiàn)出強烈的同步特點，即表現(xiàn)出兩種駐波簡單疊加的特點，好像高頻駐波對低頻駐波的圖像進行了局部修飾一樣。而即使將考察時間取得更短（比如t=0～T20），這種特征也沒有變化（為節(jié)省文章篇幅，本文不再羅列這些圖像），表明在兩列駐波頻率差別較大時，疊加后的行波特征很不明顯，這與情況1中的結(jié)果明顯不同。

3? ? 結(jié)論與討論

（1）由以上模擬分析可知，兩列頻率不同的駐波疊加時，有以下一些主要波動特征：

①若兩列駐波有兩個以上的共同波節(jié)位置時，同一共同波節(jié)兩側(cè)的波動圖像具有旋轉(zhuǎn)對稱性，即兩相鄰波節(jié)之間基本單元的波動具有代表性。

②當兩駐波頻率相差不大時，在短時間內(nèi)波動圖像主要反映的是駐波的特點，時間上具有準同步性，空間上具有準周期性;在長時間內(nèi)，兩波節(jié)之間的波動有行波的特點，振動強度在兩波節(jié)之間來回傳播。

③當兩駐波頻率相差很大時，波動的整體圖像由低頻駐波決定，而局部由高頻駐波決定。無論是低頻還是高頻，都表現(xiàn)出強烈的同步特點，即駐波特點非常明顯，而行波特點極不明顯。

（2）本文重點對頻率這一參數(shù)的影響進行了分析，對振幅A和初相位φ都做了簡單處理。很顯然，當兩列駐波的振幅值相差很大時，小振幅駐波只是對大振幅駐波進行了局部修飾調(diào)整，總的圖像是由大振幅振動決定的。初相位φ值若不同時，由于ωm≠ωn，總有時間t使等式（ωmt+φm）-（ωnt+φn）=2π成立，若將此時選為零時刻，則初始時刻兩列波具有相同的初相位。因此，φ值的不同并不影響兩列駐波疊加的本質(zhì)特征。

（3）不同駐波的疊加是物理學中很普遍的現(xiàn)象，除了本文討論的兩端固定桿（下轉(zhuǎn)第80頁）（上接第18頁）中的駐波，還有琴弦中的駐波，光學中的增透膜/高反膜[4]以及量子力學中勢阱中的物質(zhì)波[5]等，有時可能還有更多列駐波疊加，或者是二維、三維駐波疊加[6]，其情況必然更為復雜。本文對桿中兩列駐波疊加的討論，將有助于對更復雜情形下駐波疊加的物理圖像的構(gòu)建和理解。

參考文獻：

[1]曲成寬.兩個駐波能疊加成一個行波[J].工科物理，2000（03）：11-12.

[2]李建青，袁松柳.關(guān)于兩個駐波疊加結(jié)果的討論[J].物理與工程，2002，12（04）：13-14.

[3]賈惠凱.兩駐波疊加為行波的討論及計算機動態(tài)模擬[J].云南師范大學學報，2003，23（01）：31-33.

[4]趙凱華.新概念物理·光學[M].北京：高等教育出版社，2002：125.

[5]格里菲斯（David J. Griffiths）.量子力學概論（翻譯版）[M].賈瑜，胡行，李玉曉，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2009：22.

[6]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程·力學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005：362.

[7]鄭永令，賈起民，方小敏.面向21世紀課程教材·力學（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002：1435.

（欄目編輯? ? 趙保鋼）