陳志明，謝紅強(qiáng)，王 岳，譚嘉進(jìn)

(東華理工大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

矢量光孤子是非線性光學(xué)中重要的光孤子類型，這是由光的矢量性導(dǎo)致的結(jié)果。不同偏振方向分量的非線性光波會(huì)發(fā)生相互作用，當(dāng)自相位調(diào)制(self-phase modulation，SPM)和交叉相位調(diào)制(cross-phase modulation，XPM)產(chǎn)生的非線性效應(yīng)與衍射或色散效應(yīng)平衡時(shí)，即形成空間或時(shí)間矢量光孤子(Manakov, 1974)。由于矢量光孤子具有豐富的非線性物理特性與潛在的應(yīng)用價(jià)值(Malomed et al., 2019)，人們在許多不同的非線性光學(xué)體系中研究了矢量光孤子(Skryabin et al., 2004; Rand et al., 2007;Assanto et al., 2008; Li et al., 2018;Guo et al., 2019;Ma et al., 2019)。

矢量光孤子的早期研究主要集中在光與非共振被動(dòng)介質(zhì)的相互作用。利用被動(dòng)介質(zhì)產(chǎn)生的克爾非線性效應(yīng)十分微弱，故需提供強(qiáng)激光場來獲得較強(qiáng)的非線性效應(yīng)。另外，為了避免介質(zhì)對(duì)光場的吸收，光場的頻率必須遠(yuǎn)離介質(zhì)的共振頻率，使得矢量光孤子的傳播速度接近于光速，從而導(dǎo)致人們不便主動(dòng)操控光孤子。幸運(yùn)的是，電磁感應(yīng)透明(electromagnetically induced transparency,EIT)效應(yīng)的出現(xiàn)順利地克服了被動(dòng)介質(zhì)中所遇到的困難(Fleischhauer et al., 2005)。EIT 技術(shù)顯現(xiàn)了許多重要的物理性質(zhì)：①有限地抑制了介質(zhì)對(duì)光場的吸收；②顯著地減小光場的傳播速度；③極大地增強(qiáng)了非線性光學(xué)效應(yīng)等?；诖耍藗冊诠舱窠橘|(zhì)系統(tǒng)中研究了時(shí)間矢量孤子(Hang et al., 2008; Si et al., 2009)、空間矢量孤子(Qi et al., 2011; Deng et al., 2019)以及Thirring型光孤子(Li et al., 2017; Qi et al., 2018；Chen et al., 2019)等。目前尚未利用Λ-梯型五能級(jí)相干原子系統(tǒng)研究時(shí)間矢量光孤子。該體系具有以下優(yōu)點(diǎn)：①只需單組份原子就可實(shí)現(xiàn)矢量孤子模型；②探測光場的兩個(gè)偏振分量的群速度易實(shí)現(xiàn)相互匹配，有利于增強(qiáng)克爾非線性效應(yīng)。

本次利用Λ-梯型五能級(jí)相干原子系統(tǒng)，研究基于雙EIT的超慢矢量光孤子。首先，根據(jù)多重尺度展開法，求解描述系統(tǒng)原子布居的幾率幅方程和光場傳播的麥克斯韋方程，導(dǎo)出了探測光場兩個(gè)偏振分量所滿足的耦合非線性薛定諤方程。其次，通過選取適當(dāng)?shù)奈锢韰⒘?，增?qiáng)系統(tǒng)產(chǎn)生的自克爾和交叉克爾非線性效應(yīng)，從而可與群速度色散效應(yīng)相平衡。在此條件下，探測光場的左旋和右旋偏振分量可形成穩(wěn)定的弱光時(shí)間矢量孤子。該矢量光孤子傳播的速度可降至10-5c，且所需輸入的光功率低至微瓦量級(jí)。最后，將證明該系統(tǒng)可形成Manakov時(shí)間矢量光孤子。該研究結(jié)果不僅對(duì)弱光非線性光學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展有較重要的理論價(jià)值，而且在光信息處于與傳輸、弱光全光開關(guān)設(shè)計(jì)等方面具有一定的理論指導(dǎo)意義。

1 理論模型

考慮一個(gè)Λ-梯型五能級(jí)冷原子系統(tǒng)分別與一束較弱的脈沖型探測光場(中心頻率ωp/2π)和兩束較強(qiáng)的連續(xù)型控制光(中心頻率分別為ωc1/2π和ωc2/2π)相互作用(圖1)。線性偏振的探測光場Ep可分解為右旋偏振光(σ+)和左旋偏振光(σ-)，并分別與能級(jí)躍遷|1〉?|3〉和|1〉?|4〉耦合?？刂乒鈭鯡c1和Ec2分別耦合能級(jí)躍遷|2〉?|3〉和|4〉?|5〉。因此，Λ-梯型系統(tǒng)可看成為|1〉?|3〉?|2〉的Λ型系統(tǒng)和|1〉?|4〉?|5〉的梯型系統(tǒng)組成，則該系統(tǒng)會(huì)形成雙EIT。

圖1 原子系統(tǒng)的能級(jí)結(jié)構(gòu)與激發(fā)構(gòu)型圖Fig.1 Energy level structure and excited configuration of atomic system

假設(shè)探測光場和控制光場均沿著z軸傳播，則它們的電場強(qiáng)度矢量可表示為E=∑l=p,c1,c2elElei(k1z-ω1t)+c.c.，其中el(El，kl)表示光場偏振方向的單位矢量(包絡(luò)函數(shù)，波矢)。在薛定諤表象下，描述系統(tǒng)原子布居的幾率幅和探測光相互作用的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

在慢變包絡(luò)近似下，描述探測光場傳播的運(yùn)動(dòng)方程為：

(2a)

(2b)

其中定義κ13=Nω|p13·e+|2/(2?ε0c)和κ14=Nω|p14·e-|2/(2?ε0c)為探測光場的傳播系數(shù)。

上述的物理模型可以在實(shí)際的原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)。選取五能級(jí)Λ-梯型87Rb原子系統(tǒng)，其能級(jí)分別為|1〉=|52S1/2,F=1,mF=0〉,|2〉=|52S1/2,F=2,mF=1〉,|3〉=|52P1/2,F=1,mF=1〉,|4〉=|52P1/2,F=2,mF=-1〉和|5〉=|52D1/2,F=3,mF=-1〉。因此，各個(gè)能級(jí)的衰減率為γ1=γ2=1 kHz，γ3=γ4=6 MHz和γ5=0.4 MHz。假設(shè)87Rb原子密度為N=3.67×1011cm-3，則κ13=κ14=1.0×1010cm-1·s-1。

2 非線性包絡(luò)方程和巨克爾非線性效應(yīng)

2.1 非線性包絡(luò)方程的推導(dǎo)

圖2表示探測光場的線性色散關(guān)系的虛部Im(K1)和實(shí)部Re(K1)與頻率偏移量ω的函數(shù)關(guān)系(以右旋偏振分量為例)。虛部和實(shí)部分別表示原子介質(zhì)對(duì)探測光場的吸收和原子介質(zhì)體系的色散。虛線表示無控制光場輸入系統(tǒng)，則探測光場的吸收曲線在中心頻率附近出現(xiàn)很強(qiáng)的吸收。實(shí)線表示有控制光場輸入系統(tǒng)(即Ωc1≠0)，則吸收曲線在其中心頻率附近產(chǎn)生了一個(gè)透明窗口，可有效抑制介質(zhì)對(duì)光場的吸收，即EIT效應(yīng)。同時(shí)，線性色散關(guān)系的實(shí)部在共振頻率點(diǎn)附近也出現(xiàn)明顯的改變，由此可實(shí)現(xiàn)超慢群速度。

圖2 探測光場線性色散關(guān)系Fig.2 Linear dispersion relation of the probe field

在二階(l=2)近似下，導(dǎo)出可解條件i[?Fm/?z1+(?Km/?ω)?Fm/?t1]=0，其中vgm=(?Km/?ω)-1表示包絡(luò)函數(shù)在原子介質(zhì)中傳播的群速度。其他的二階解為：

(3a)

(3b)

在三階(l=3)近似下，非線性效應(yīng)將扮演著重要的角色。結(jié)合一階和二階近似解，導(dǎo)出探測光場兩個(gè)偏振分量的耦合非線性薛定諤方程(m=1,2)：

(4)

其中定義τ=t-z/vg，vg=2vg1vg2/(vg1+vg2),Um=εFme-αmz,αm=Im[Km(ω=0)]，δ=(1/vg1-1/vg2)和Km2=?2Km/?ω2。式中的系數(shù)Wml(m=l)和Wml(m≠l)分別表示SPM和XPM產(chǎn)生的非線性效應(yīng)，其表達(dá)式為：

(5a)

(5b)

通過引入部分關(guān)系式，可將方程(4)轉(zhuǎn)化為無量綱形式(m=1,2)：

(6)

2.2 系統(tǒng)產(chǎn)生的巨克爾非線性效應(yīng)

3 時(shí)間矢量光孤子

當(dāng)系統(tǒng)的自相位調(diào)制和交叉相位調(diào)制系數(shù)滿足關(guān)系g11g22=g12g21時(shí)，則該系統(tǒng)可支持穩(wěn)定傳播的亮-亮、亮-暗、暗-暗等形式的時(shí)間矢量光孤子。本次研究的物理模型是一個(gè)有壽命展寬的原子系統(tǒng)，方程(6)中的系數(shù)均為復(fù)數(shù)。當(dāng)該系統(tǒng)滿足EIT條件時(shí)，方程(6)中各個(gè)系數(shù)的實(shí)部將遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其虛部，故各系數(shù)的虛部可以忽略不計(jì)。

為了研究的簡便，在此只給出亮-亮矢量光孤子解。該解的具體形式為：

u1=V1sech(Aσ+Bs)exp[i(P1σ+Q1s)]

(7a)

u2=V2sech(Aσ+Bs)exp[i(P2σ+Q2s)]

(7b)

式中，P1=(B+gδA)/(g1A),P2=(B-gδA)/

結(jié)合上述的物理參數(shù)，以及U0=39.2 MHz,τ0=5×10-8s，則二階色散為K12=K22=-(1.99-0.20i)×10-14s2·cm-1。同時(shí)，系統(tǒng)的特征色散長度等于特征非線性長度，即LD=LNon=0.13 cm，特征群速度失配長度為Lδ=141.3 cm。故方程(6)中的各個(gè)無量綱系數(shù)分別為g1=g2=-1,g11=g12=1.0-0.009i,g21=g22=1.0-0.019i,gδ=LD/Lδ=0.001，則各系數(shù)的虛部和群速度失配系數(shù)可以忽略，且滿足g11g22=g12g21。

圖3表示亮-亮?xí)r間矢量光孤子在原子介質(zhì)中的穩(wěn)定傳播圖。在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，圖3a和3b的自由參量選為P1,2=1,Q1,2=0,V1=0.8。圖3c和3d的自由參量選為P1,2=2,Q1,2=1,V1=1。從圖3可知，探測光場的左旋和右旋偏振分量可以在原子介質(zhì)中穩(wěn)定地傳播，是群速度色散和非線性效應(yīng)相互平衡的結(jié)果。

圖3 時(shí)間矢量光孤子的穩(wěn)定傳播Fig.3 Stable propagation of temporal vector optical solitons

根據(jù)上述的數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)Manakov可積模型，并形成穩(wěn)定的Manakov矢量光孤子。將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入方程(6)，則該方程可簡化為：

(8a)

(8b)

則亮-亮Manakov矢量孤子解為u1=cos(θ)sech(σ)exp(is/2)和u2=sin(θ)sech(σ)exp(is/2)，其中θ為自由參量。圖4表示Manakov時(shí)間矢量光孤子的穩(wěn)定傳播。在數(shù)值模擬時(shí)，選定自由參量θ=π/4。

圖4 Manakov時(shí)間矢量光孤子的傳播圖Fig.4 Propagation of Manakov temporal vector optical soliton

4 結(jié)論

本次研究了基于電磁感應(yīng)透明效應(yīng)的Λ-梯型五能級(jí)原子中的超慢矢量光孤子。利用多重尺度展開法，推導(dǎo)了探測光場兩個(gè)偏振分量的耦合非線性薛定諤方程?？芍?，當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生的克爾非線性效應(yīng)與群速度色散效應(yīng)相互平衡時(shí)，探測光場的兩個(gè)偏振分量可形成穩(wěn)定的弱光時(shí)間矢量孤子。結(jié)果顯示，該矢量光孤子傳播的速度可降至10-5c，且所需輸入的光功率低至微瓦量級(jí)。同時(shí)證明了該系統(tǒng)可形成Manakov時(shí)間矢量光孤子。該研究結(jié)果不僅對(duì)弱光非線性光學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展有較重要的理論價(jià)值，而且在光信息處理與傳輸、弱光全光開關(guān)設(shè)計(jì)等方面具有一定的理論指導(dǎo)意義。