分類討論在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

袁海軍　徐詩(shī)佳

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解（或分割）成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略.俗稱“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”.它是一種重要的解題思想，也是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一. 縱觀近年的數(shù)學(xué)高考，無(wú)論是選擇題、填空題、還是解答題，都非常重視對(duì)分類討論思想的考查，是考生數(shù)學(xué)邏輯思維、理性思維能力高低的體現(xiàn). 常見(jiàn)的分類情形有：按數(shù)的特性分類;按字母的取值范圍分類;按事件的可能性分類;按圖形的位置特征分類等.

為了更好地掌握分類討論思想，本文就它在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例分析，供同學(xué)們參考.

一、科學(xué)合理的分類

把一個(gè)集合A分成若干個(gè)非空真子集Ai（i=1、2、3···n）（n≥2，n∈N），使集合A中的每一個(gè)元素屬于且僅屬于某一個(gè)子集. 即

① A1∪A2∪A3∪…∪An=A;

②Ai∩Aj=？準(zhǔn)（i，j∈N，且i≠j）.

則稱對(duì)集合A進(jìn)行了一次科學(xué)的分類（或稱一次邏輯劃分）

科學(xué)的分類滿足兩個(gè)條件：條件①保證分類不遺漏;條件②保證分類不重復(fù). 在此基礎(chǔ)上根據(jù)問(wèn)題的條件和性質(zhì)，應(yīng)盡可能減少分類.

二、探討引起分類討論的原因，從而確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)或題型

在確定討論的對(duì)象后，最困難是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，一般來(lái)講，分類標(biāo)準(zhǔn)的確定通常有以下有六種：

（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念來(lái)確定分類標(biāo)準(zhǔn)，

如絕對(duì)值，直線的斜率，指數(shù)與對(duì)數(shù)，直線與平面所成的角等的定義中都包含了分類.

例如，絕對(duì)值的定義是：a=a （a>0）0 （a=0）-a （a<0）

例1 已知f（x）=x2+2x-4+a.

（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f（x）>x2+x的解集;

（2）若不等式f（x）≥0的解集為實(shí)數(shù)集R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=x2+2x-4-3.

∴f（x）>x2+x？圳2x-4-x>3

？圳x≤0，1-x>0或00或x>2，x-7>0

？圳x≤0或07？圳x<■或x>7.

∴當(dāng)a=-3時(shí)，不等式f（x）>x2+x的解集為（-∞，■）∪（7， +∞）.

（2）∵f（x）≥0的解集為實(shí)數(shù)集R，即x2+2x-4≥-a恒成立.

令g（x）=x2+2x-4，則g（x）=（x+1）2-5，x≥2（x-1）2+3，x<2

x≥2時(shí)g（x）min=4，x<2時(shí)g（x）min=3，

∴ g（x）min=3，∴ a≥-3，故a的取值范圍是 [-3， +∞）.

點(diǎn)評(píng)此題對(duì)含有絕對(duì)值的式子首先需要對(duì)絕對(duì)值里面的式子分為負(fù)數(shù)，非負(fù)數(shù)來(lái)去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解，此題涉及到兩個(gè)絕對(duì)值式子，需要采用零點(diǎn)分段法將數(shù)軸分為3段來(lái)討論.

例2 解關(guān)于x的不等式組loga2x<2logax，（a-1）x20且a≠1）.

解析對(duì)于參數(shù)a，需分a>1還是0

（Ⅰ）當(dāng)0

（Ⅱ）當(dāng)a>1時(shí)，可解得：x>2，0

（1）當(dāng)1

（2）當(dāng)a>3時(shí)解集為（2，■）.

綜上所述：當(dāng)0

當(dāng)1

當(dāng)a>3時(shí)，解集為（2，■）.

點(diǎn)評(píng)此題含有對(duì)數(shù)不等式且底數(shù)不確定，故需要先分底數(shù)a>1，0

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)中的定理，公式和性質(zhì)確定分類標(biāo)準(zhǔn).

數(shù)學(xué)中的某些公式，定理，性質(zhì)在不同條件下有不同的結(jié)論，在運(yùn)用它們時(shí)，就要分類討論，分類的依據(jù)是公式中的條件.

例如，在數(shù)列中的兩種分類，an=S1，（n=1）Sn-Sn-1，（n≥2）和Sn=na1，（q=1）■. （q≠1）

例3 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0（n=1，2，…）.

（Ⅰ）求q的取值范圍;

（Ⅱ）設(shè)bn=an+2-■an+1，記 {bn} 的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn與Tn的大小.

解析（Ⅰ）因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0.

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1>0;

當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=■>0，即■>0，（n=1， 2，…）

上式等價(jià)于不等式組：1-q<0，1-qn<0，（n=1， 2，…）……①

或1-q>0，1-qn>0，（n=1， 2，…）……②

解①式得q>1;解②，由于n可為奇數(shù)、可為偶數(shù)，得-1<q<1.

綜上，q的取值范圍是（-1， 0）∪（0， +∞）.

（Ⅱ）由bn=aa+2-■an+1得bn=an（q2-■q），Tn=（q2-■q）Sn .

于是Tn-Sn=Sn（q2-■q-1）=Sn（q+■）（q-2）.

又∵ Sn >0且-1<q<0或q>0，

當(dāng)-1<q<-■或q>2時(shí)，Tn-Sn >0即Tn >Sn;

當(dāng)-■<q<2且q≠0時(shí)，Tn-Sn <0即Tn <Sn;

當(dāng)q=-■或q=-2時(shí)，即Tn=Sn .

點(diǎn)評(píng)在解數(shù)列這類問(wèn)題時(shí)，如果公比q是可以變化的量，就要以q為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論.

例4 已知函數(shù)f（x）=sin2x-asin2■，（x撾R，a R，）試求以a表示f（x）的最大值b.

解析原函數(shù)化為f（x）=-（cosx-■）2+■，令t=cosx，則-1≤t≤1.

記g（t）=-（t-■）2+■，t∈[1，1]. 因?yàn)槎魏瘮?shù)y=g（t）的最大值的取得與二次函數(shù)y=g（t）的圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相對(duì)于定義域 [-1， 1] 的位置密切相關(guān)，所以以■相對(duì)于區(qū)間[-1， 1]的位置分三種情況討論：

（1）當(dāng)-1≤■≤1，即-4≤a≤4時(shí)，b=g（t）max=■，此時(shí)t=■，

（2）當(dāng)■<-1，即a<-4時(shí)，b=-a，此時(shí)t=-1，

（3）當(dāng)■>1，即a>4時(shí)，b=0，此時(shí)t=1，

綜上所述，b=0，（a>4）■，（-4≤a≤4）-a. （a<-4）

點(diǎn)評(píng)對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區(qū)間 [p， q] 上，它的最值應(yīng)分如下情況：

（1）當(dāng)-■

（2）當(dāng)-■>q時(shí)，f（x）在[p，q]上單調(diào)遞減，f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）;

（3）當(dāng)p≤■≤q時(shí)，f（x）在[p，q]上最值情況是：f（x）min=f（-■）=■，f（x）max=max{f（p），f（q）}，即最大值是f（p），f（q）中較大的一個(gè)值.

（3）根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

如分式的分母不等于零，偶次根式的被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的次冪為正或?yàn)樨?fù)，不等式兩邊同乘以實(shí)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響等.

例如：解不等式組3

顯然，應(yīng)以3，4為標(biāo)準(zhǔn)將a分為14三種情況進(jìn)行討論.

例5 在（1+x+x2）（1-x）5的展開(kāi)式中，x4項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)__________.

解析由題意直接分成三類：

第1類：（1+x+x2）出1，則（1-x）5出x4，該項(xiàng)為：1·C45·1·（-x）4=5x4;

第2類：（1+x+x2）出x，則（1-x）5出x3，該項(xiàng)為：x·C35·12·（-x）3=-10x4;

第3類：（1+x+x2）出x2，則（1-x）5出x2，該項(xiàng)為：x2·C25·13·（-x）2=-10x4.

綜上所述：合并后x4的項(xiàng)的系數(shù)為5.

點(diǎn)評(píng)本題不利于直接展開(kāi)所有項(xiàng)求解，應(yīng)由已知表達(dá)式展開(kāi)式中的每一項(xiàng)由兩部分相乘而成，要想湊得x4，不妨從其中的一個(gè)式子切入進(jìn)行分類討論（以（1+x+x2）為例）. 討論完成后再整合即可.

例6 已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S5=2a4+a5，a9=a3+a4.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（2）若amam+1=am+2，求正整數(shù)m的值;

（3）是否存在正整數(shù)m，使得■恰好為數(shù)列{an}中的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的m值，若不存在，說(shuō)明理由.

解析（1）設(shè)a1， a3， a5，…，a2k-1，…的公差為d，設(shè)a2， a4，a6，…， a2k，…的公比為q， a4=a2q=2q， a3=a1+d=1+d， a9=1+4d

由S5=2a4+a5，a9=a3+a4？圯a4=a1+a2+a3，a1+4d=a1+d+2q？圯d=2，q=3.

∴ a2k=a2qk-1=2·3k-1，a2k-1=a1+（n-1）d=2k-1

∴ an=n， n=2k-12·3■. n=2k

（2）若m=2k（k∈N？鄢），則a2ka2k+1=a2k+2，即2·3k-1（2k+1）=2·3k，

解得：2k+1=3？圯k=1，即m=2.

若m=2k-1（k∈N？鄢），即a2k-1a2k=a2k+1.

（2k-1）·2·3k-1=2k+1？圯2·3k-1=1+■.

因?yàn)?·3k-1為正整數(shù)，∴■為正整數(shù). ∴ 2k-1=1？圯k=1.

代入可知k=1不符2·3k-1=1+■，故舍去.

綜上所述：m=2.

（3）若■為{an}中的一項(xiàng)，則■為正整數(shù).

S2m-1=（a1+a3+…+a2m-1）+（a2+a4+…+a2m-2）

=■+■=3m-1+m2-1，

∴■=■=■=3-■≤3，

故若■為{an}中的某一項(xiàng)只能為a1， a2， a3 .

①若3-■=1無(wú)解;

②若3-■=2，即3m-1+1-m2=0，可知m=2是方程的根.

當(dāng)m≥3時(shí)，設(shè)f（x）=3x-1+1-x2，∴f′（x）=3x-1ln3-2x.

f″（x）=3x-1（ln3）2-2>0，∴f′（x）在 [3， +∞）單調(diào)遞增.

∴f′（x）≥f′（3）=9ln3-6>0，∴f（x）在 [3， +∞）單調(diào)遞增.

∴f（x）>f（2）=0.

∴ m≥3時(shí)，3m-1+1-m2=0無(wú)解，即m=2是方程唯一解.

③若3-■=3，則m2=1？圯m=1，

綜上所述：m=1或m=2.

點(diǎn)評(píng)當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)有符號(hào)限制時(shí)，應(yīng)分n為奇數(shù)，n為偶數(shù)進(jìn)行討論，通項(xiàng)公式要用分段函數(shù)表達(dá). 若是求數(shù)列前n項(xiàng)和，一般先求S2n，再求S2n+1，且S2n+1=S2n+a2n+1，避免重復(fù)計(jì)算.

（4）根據(jù)參數(shù)的變化需要確定分類標(biāo)準(zhǔn)

一般指數(shù)學(xué)中某些含參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.

例7? 設(shè)函數(shù)f（x）=■ax3-■（a+1）x2+x+9，（a∈R），求f（x）的單調(diào)減區(qū)間.

解析依題意得？圳f′（x）=ax2-（a+1）x+1<0？圳（ax-1）（x-1）<0.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式解為x>1;

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，原不等式化為a（x-1）（x-■）<0.

①若a<0，則原不等式化為（x-1）（x-■）>0，

易知■<1，∴不等式的解為x<■或x>1.

②若a>0，則原不等式化為（x-1）（x-■）<0，

（?。┊?dāng)a>1時(shí)，■<1，不等式解為■

（ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，■=1，不等式解為x∈？覫;

（ⅲ）當(dāng)01，不等式解為1

綜上所述：當(dāng)a<0時(shí)，減區(qū)間為（-∞，■），（1， +∞）;當(dāng)a=0時(shí)，減區(qū)間為（1，+∞）;

當(dāng)01時(shí)，減區(qū)間為（■， 1）.

點(diǎn)評(píng)此題為典型的一元二次不等式的基本解法，涉及到要討論的情形比較復(fù)雜;必須先討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為>0，=0，<0.三種情形，然后再每種條件下單獨(dú)討論根的大小，并結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)得出解集，此類題應(yīng)注重分類的原則、方法與技巧，做到分類對(duì)象確定、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重復(fù)不遺漏、分層次.

例8 已知函數(shù)f（x）=x3，x>0，-x，x<0. 若函數(shù)g（x）=f（x）-kx2-2x

（k∈R）恰有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）

A. （-∞，-■）∪（2■，+∞）? B. （-∞，-■）∪（0，2■）

C. （-∞，0）∪（0，2■）???????? D. （-∞，0）∪（2■，+∞）

解析注意到g（0）=0，所以要使g（x）恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程kx-2=■恰有3個(gè)實(shí)根即可，令h（x）=■，即y=kx-2與h（x）=■的圖像有3個(gè)不同交點(diǎn).

因?yàn)閔（x）=■=x2，x>01，x<0

當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)y=2，如圖1，y=2與h（x）=■有1個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意;

當(dāng)k<0時(shí)，如圖2，此時(shí)y=kx-2與?? h（x）=■恒有3個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意;

當(dāng)k>0時(shí)，如圖3，當(dāng)y=kx-2與y=x2相切時(shí)，聯(lián)立方程得x2-kx+2=0，

令△=0得k2-8=0，解得k=2■（負(fù)值舍去），所以k>2■.

綜上，k的取值范圍為（-∞，0）∪（2■，+∞）.? 故選：D.

點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸，分類討論等思想方法的綜合應(yīng)用，是一道中檔題. 此題等價(jià)轉(zhuǎn)化后需要對(duì)變量進(jìn)行合理的分類，最后再整合得出答案.

（5）根據(jù)幾何圖形中點(diǎn)、線、面的相對(duì)位置不確定引起的分類討論

如兩直線的位置關(guān)系、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系，立體幾何中的建系多樣性等等

例9 設(shè)k∈R，問(wèn)方程（8-k）x2+（k-4）y2=（8-k）（k-4）表示什么曲線？

解析（1）當(dāng)k=4時(shí)，方程變?yōu)閤=0，表示直線（y軸）;

（2）當(dāng)k=8時(shí)，方程變?yōu)閥=0，表示直線（x軸）;

（3）當(dāng)k≠4且k≠8時(shí)，方程化為■+■=1，

（?。┤鬹<4時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線;

（ⅱ）若4

（ⅲ）若k=6時(shí)，方程表示圓心在原點(diǎn)的圓;

（ⅳ）若6

（ⅴ）若k>8時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.

點(diǎn)評(píng)此題為二元二次方程的分類討論問(wèn)題，基本涵蓋了所學(xué)的圓錐曲線知識(shí)概念，是一道開(kāi)放式，復(fù)雜多樣的分類討論難題，需注意討論避免漏解，要考慮全面到位.

例10 若雙曲線x2-■=1與直線y=kx-1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則這樣的直線有幾條（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析把直線方程y=kx-1代入雙曲線的方程可得4x2-（kx-1）2=4，

整理得（4-k2）x2+2kx-5=0，（*）

（1）若4-k2=0，得k=±2，（*）式只有一個(gè)解，則雙曲線與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);

（2）若4-k2≠0，由△=4k2+20（4-k2）=80-16k2=0，解得k=±■.

綜上，當(dāng)k=±■，k=±2時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，故有4條直線符合題意.

點(diǎn)評(píng)此題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是高考的重要考點(diǎn)與熱點(diǎn). 通常聯(lián)立直線與曲線方程，轉(zhuǎn)化到一元二次方程實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，但不能想當(dāng)然的默認(rèn)一定為一元二次方程，需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否為0進(jìn)行討論，再來(lái)討論“△”的三種情形，避免漏解.

（6）根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的具體情況進(jìn)行分類討論

如排列、組合問(wèn)題，概率與統(tǒng)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用題等.

例11 用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A. 48 B. 36 C. 28 D. 12

解析根據(jù)題意，在0，1，2，3，4中有3個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)，可以分3種情況討論：

（1）0被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況;再將1、0、3看成一個(gè)整體，與2、4全排列，有A33=6種情況;故0被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有2A33=12種情況;

（2）2被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況;再將1、2、3看成一個(gè)整體，與0、4全排列，有A33=6種情況，其中0在首位的有2種情況，則有6-2=4種排法;故2被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有2×4=8種情況;

（3）4被奇數(shù)夾在中間時(shí)，同2被奇數(shù)夾在中間的情況，有8種情況，

則這樣的五位數(shù)共有12+8+8=28種.

點(diǎn)評(píng)本題考查了有限制條件的排列組合問(wèn)題以及分類討論思想，盡量做到不重不漏.對(duì)于題目中有特殊要求的元素，在考慮步驟時(shí)優(yōu)先安排，然后再去處理無(wú)要求的元素.

例12 某旅行社有導(dǎo)游9人，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)，其余4人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)要從中選6人，其中3人負(fù)責(zé)英語(yǔ)導(dǎo)游，另外3人負(fù)責(zé)日語(yǔ)導(dǎo)游，則不同的選擇方法有_______種

解析在步驟上可以考慮先選定英語(yǔ)導(dǎo)游，再選定日語(yǔ)導(dǎo)游. 英語(yǔ)導(dǎo)游的組成可按只會(huì)英語(yǔ)的和會(huì)雙語(yǔ)的人數(shù)組成進(jìn)行分類討論，然后再在剩下的人里選出日語(yǔ)導(dǎo)游即可. 第一種情況：沒(méi)有會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則英語(yǔ)導(dǎo)游選擇數(shù)為C33，日語(yǔ)導(dǎo)游從剩下6個(gè)人中選擇，有C36中，從而N0=C33·?? C36，第二種情況：有一個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的人加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，從而可得N1=（C14C23）·C35，依次類推，第三種情況. 兩個(gè)會(huì)雙語(yǔ)的加入英語(yǔ)導(dǎo)游隊(duì)伍，則N2=（C24·C13）·C34，第四種情況，英語(yǔ)導(dǎo)游均為會(huì)雙語(yǔ)的. 則N3=C34·C33，綜上所述，不同的選擇方法總數(shù)為S=C33·C36+（C14C23）·C35+（C24·C13）·C34+C34·C33=216（種）.

點(diǎn)評(píng)本題涉及到多面手是否入選的問(wèn)題，在解題前要優(yōu)先確定對(duì)象再進(jìn)行合理分類，此題是以英語(yǔ)導(dǎo)游為主要對(duì)象進(jìn)行逐一分類，這樣就明確解題思路，全面討論，不會(huì)漏解.

另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò)分類討論，保證其完整性，使之具有確定性. 例如要對(duì)某學(xué)?！皠?chuàng)建省智慧文明校園建設(shè)”的調(diào)查問(wèn)卷，這就需要考慮學(xué)校各學(xué)科，各部門，各層次人員的問(wèn)卷，這樣更有代表性.

三、分類討論的方法和步驟

（1）確定是否需要分類討論以及需要討論時(shí)的對(duì)象和它的取值范圍;

（2）確定分類標(biāo)準(zhǔn)科學(xué)合理分類;

（3）逐類進(jìn)行討論得出各類結(jié)果;

（4）歸納各類結(jié)論.

總之，分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，對(duì)于培養(yǎng)考生思維的邏輯性、條理性和概括性，以及提高考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力無(wú)疑具有很大的幫助. 然而，并不是問(wèn)題中一出現(xiàn)含參數(shù)問(wèn)題就一定得分類討論，我們應(yīng)弄清楚引起問(wèn)題分類討論的主要原因，做到有的放矢，這樣才能精準(zhǔn)的進(jìn)行分類討論，從而達(dá)到快速、準(zhǔn)確的解題效果.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)