吳天鳳，李 莉，楊洪濤*

（1.安徽理工大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽淮南232001；2.安徽理工大學(xué)礦山智能裝備與技術(shù)安徽省重點實驗室，安徽淮南232001）

1 引 言

直線導(dǎo)軌是實現(xiàn)高端數(shù)控機床進(jìn)行平移運動的根本，精確地對直線導(dǎo)軌誤差分析建模及補償，是提高機床加工精度的前提［1］。數(shù)控機床XY工作臺常用堆棧式結(jié)構(gòu)工作臺，每個方向依靠兩根直線導(dǎo)軌共同支撐。XY工作臺導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差是機床幾何誤差的重要組成部分，必須對其進(jìn)行全面補償才能提高機床加工精度［2-4］。

目前進(jìn)行數(shù)控機床幾何誤差補償考慮的由于導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差引起的工作臺誤差主要包括定位誤差［5］、平動誤差［6］和角度誤差［7］等，并將這些誤差代入多體系統(tǒng)誤差補償模型進(jìn)行補償，取得了一定效果。由于導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差不僅與導(dǎo)軌系統(tǒng)本身質(zhì)量有關(guān)，而且受到運動速度、溫度等參數(shù)的影響［8］，X向?qū)к壥前惭b在Y向?qū)к壷?，因此在工作臺導(dǎo)軌系統(tǒng)的運動過程中，Y方向?qū)к壪到y(tǒng)誤差不僅會產(chǎn)生本方向上常見的線值誤差和角度誤差，而且還會傳遞至安裝其上的X方向?qū)к壪到y(tǒng)，使其產(chǎn)生附加的線值和角度誤差，從而產(chǎn)生附加阿貝誤差［9］，與X向?qū)к壪到y(tǒng)原始阿貝誤差相互耦合，可見Y向?qū)к壪到y(tǒng)的誤差影響是二維的，與工作臺X向運動誤差之間存在相關(guān)性和抵償性。針對機床幾何誤差建模以及考慮到阿貝誤差的影響，現(xiàn)有的國內(nèi)外專家對此方向開展了許多研究。張恩忠等［10］利用激光干涉儀和溫度傳感器實際測量的數(shù)控機床定位誤差和溫度數(shù)據(jù)，建立了基于牛頓插值法和最小二乘法的幾何與熱復(fù)合誤差建模，并根據(jù)復(fù)合模型進(jìn)行了補償實驗。但利用激光干涉儀測量數(shù)據(jù)過程中，不符合阿貝原則，因此實際定位誤差測量過程中會包含阿貝誤差的存在，造成補償結(jié)果不精確。趙狀等［11］基于阿貝原則對齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣的數(shù)控機床幾何誤差補償模型進(jìn)行了優(yōu)化，并基于阿貝原則和布萊恩原則推導(dǎo)了阿貝誤差對機床定位誤差精度影響的理論計算公式，并實測機床體對角線誤差進(jìn)行實驗驗證，提高了幾何誤差補償效果，但是理論推導(dǎo)過程中并未考慮到工作臺下層導(dǎo)軌對上層導(dǎo)軌的附加影響，因此建立的阿貝定位誤差模型不精確。LIU等［12］對數(shù)控機床的幾何誤差測量進(jìn)行了研究，分析了阿貝誤差的產(chǎn)生原理。建立了基于阿貝原理的誤差模型，并通過軟件補償?shù)姆椒▽Π⒇愓`差進(jìn)行了補償，從而提高數(shù)控機床的加工精度。CHEN［13］等人對傳統(tǒng)兩維工作臺的定位誤差補償方法進(jìn)行了研究，提出一種利用CO2激光加工的方法對機床定位誤差預(yù)測和定位精度的校正。ZHONG等［14］提出一種五軸數(shù)控機床位置幾何誤差建模方法，建立了定位誤差模型，通過使用基于遞歸軟件的誤差補償方法對定位誤差進(jìn)行補償，提高了機床定位精度。

上述學(xué)者關(guān)于基于阿貝原則的機床幾何誤差建模以及定位誤差補償?shù)难芯恐校旧现豢紤]單一方向的導(dǎo)軌系統(tǒng)引起的阿貝誤差，造成機床誤差補償效果有限，因此本文對溫度作用下的數(shù)控機床XY工作臺單向運動二維阿貝誤差的變化規(guī)律、傳遞機理和建模方法開展研究。

2 數(shù)控機床XY工作臺導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差源及相關(guān)性分析

2.1 導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差源分析

數(shù)控機床目前經(jīng)常采用的是堆棧式結(jié)構(gòu)XY工作臺，如圖1所示。X方向?qū)к壨ㄟ^溜板安裝在Y方向?qū)к壷?，工作臺則安裝在X導(dǎo)軌溜板的上面，待加工的工件則放在工作臺上［15］。每個方向?qū)к壪到y(tǒng)在運動過程中均存在六項幾何誤差，包括三項平動誤差和三項轉(zhuǎn)角誤差［16］。當(dāng)導(dǎo)軌沿X方向運動時，三項平動誤差包括定位誤差σxx和Y方向上的直線度誤差σxy和Z方向上的直線度誤差σxz。三項轉(zhuǎn)角誤差包括偏擺角誤差εxz、俯仰角誤差εxy、滾轉(zhuǎn)角誤差εxx（誤差符號下標(biāo)的第一個字母表示運動的方向，第二個字母表示誤差產(chǎn)生的方向）如圖2所示。在溫度作用下，每項幾何誤差分量會產(chǎn)生附加熱誤差，包括偏擺角熱誤差俯仰角熱誤差和滾轉(zhuǎn)角熱誤差因此每項誤差分量分別是原始誤差分量、附加熱誤差的疊加。

圖1 數(shù)控機床工作臺結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of CNC machine tool table

圖2 三軸機床X向?qū)к壱苿痈?項誤差示意圖Fig.2 Schematic diagram of the six errors of X axis

2.2 XY工作臺導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差相關(guān)性分析

2.2.1Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運動Y方向誤差分析

設(shè)工件待加工點在XY工作臺上的理想位置坐標(biāo)為B(x，y)，X和Y向?qū)к壣系墓鈻虐惭b位置如圖1所示［17］。設(shè)X，Y軸光柵測量系統(tǒng)的讀數(shù)頭與零點之間的距離分別為x，y。當(dāng)工作臺沿著Y軸單向運動時，Y軸導(dǎo)軌存在由于機床制造精度等原因產(chǎn)生的幾何誤差，將相應(yīng)的線值和角度誤差分別用和俯仰角偏擺角滾轉(zhuǎn)角表示。由于溫度變化的影響［18-21］，Y向?qū)к壱泊嬖诹烁郊訜嵴`差：俯仰熱誤差偏擺熱誤差滾轉(zhuǎn)熱誤差因此Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運動時的各誤差分量分別是上述原始誤差、附加熱誤差的矢量和。

2.2.2Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運動各誤差分量對X軸導(dǎo)軌誤差相關(guān)性分析

因為堆棧式XY工作臺的特殊結(jié)構(gòu)，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)安裝在Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)上，所以在X軸導(dǎo)軌運動的過程中，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差會通過溜板結(jié)構(gòu)傳遞至上層結(jié)構(gòu)，引起X方向?qū)к壆a(chǎn)生相應(yīng)的各種附加誤差，因此下面分析X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)各項誤差的特性和計算公式。

由上述分析可知，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身同樣存在了Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)類似的三項線值誤差σxx，σxy，σxz，和三項角度誤差，俯仰角偏擺角滾轉(zhuǎn)角包括由于溫度影響引起的附加熱誤差X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)三項線值誤差不受Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的影響，但是Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)角度誤差會傳遞到X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)，因此X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合偏擺角βz(x，y)等于X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身偏擺角和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)偏擺角的矢量和。

同理，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合俯仰角αx(x，y)等于X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身俯仰角和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角的矢量和。

同理，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合滾轉(zhuǎn)角γx(x，y)等于X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)自身滾轉(zhuǎn)角和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)俯仰角的矢量和。

3 導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差引起的XY工作臺阿貝誤差建模

3.1 阿貝偏移分析

在以光柵尺為位置控制單元的機床上，運動軸的位置是靠光柵測量系統(tǒng)實時反饋得到的，光柵尺的位置作為基準(zhǔn)測量軸線［11］。在XY工作臺誤差測量的過程中，從圖1可知，Y軸光柵尺的基準(zhǔn)線與待加工工件所在的測量線不在同一條直線上，不滿足阿貝原理［22］，因而存在阿貝誤差［23-24］。待加工點B與Y向光柵測量系統(tǒng)之間的阿貝偏移關(guān)系如圖3（a）所示，其中測量點B與光柵零點之間的直線距離為沿Y軸導(dǎo)軌運動時的阿貝偏移大小。設(shè)Ax為該阿貝偏移在X方向上的分量大小，由機床的結(jié)構(gòu)分析可知，Ax與加工點B的X坐標(biāo)相關(guān)。同理Az為其阿貝偏移在Z方向上的分量大小，其與加工點B的Z坐標(biāo)相關(guān)。

同理，待加工點B與X光柵測量系統(tǒng)之間的阿貝偏移如圖3（b）所示。By為該阿貝偏移在Y方向上的分量大小，與加工點B的Y坐標(biāo)相關(guān)。BZ為其阿貝偏移在Z方向上的分量大小，其與加工點B的Z坐標(biāo)相關(guān)。

圖3 B點和光柵測量系統(tǒng)之間阿貝偏移示意圖Fig.3 Abbe offset diagram between point B and grating measuring system

3.2 阿貝誤差計算

3.2.1Y軸導(dǎo)軌單向運動一維阿貝誤差建模

在上述分析的Y向?qū)к壪到y(tǒng)俯仰和偏擺綜合角度誤差作用下，測量點B在Y向的阿貝誤差包括兩個分量δpy和δfy，其與對應(yīng)的阿貝偏移與角度誤差關(guān)系如圖4所示。

從圖4（a）可知，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)原始偏擺角β0yz和B點X方向上的阿貝偏移Ax聯(lián)合作用產(chǎn)生的偏擺阿貝誤差δpy可利用式（7）計算：

從圖4（b）可知，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)原始俯仰角和B點Z方向上的阿貝偏移Az聯(lián)合作用下產(chǎn)生的俯仰阿貝誤差δfy可利用式（8）計算：

因此由偏擺阿貝誤差δpy和俯仰阿貝誤差δfy聯(lián)合作用下的待加工點B在Y方向的阿貝誤差δy1為：

同理分析可知，在溫度綜合影響下的Y軸導(dǎo)軌單向運動一維阿貝誤差模型為：

圖4 待測量點B點沿Y導(dǎo)軌方向的阿貝誤差示意圖Fig.4 Abbe error diagram of point B to be measured along the Y guide rail

3.2.2X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)二維阿貝誤差建模

從圖5（a）可知，X向偏擺阿貝誤差δpx是由X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)偏擺角βz(x，y)和加工點B在Y方向阿貝偏移聯(lián)合作用的結(jié)果，如圖5（b）所示X向俯仰阿貝誤差δfx是X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)俯仰角αy(x，y)和加工點在Z方向阿貝偏移聯(lián)合作用結(jié)果。

圖5 B點沿X導(dǎo)軌方向阿貝誤差示意圖Fig.5 Abbe error diagram of point B to be measured along the X guide rail

在溫度綜合影響下的Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差對X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)二維阿貝誤差模型為：

4 實驗驗證

4.1 XY工作臺導(dǎo)軌系統(tǒng)角度誤差相關(guān)性驗證

從2.2節(jié)可知，XY工作臺X軸導(dǎo)軌的角度誤差不僅與X軸導(dǎo)軌自身的角度誤差有關(guān)，而且與Y軸導(dǎo)軌角度誤差相關(guān)。為了驗證XY工作臺沿X，Y軸導(dǎo)軌運動時角度誤差的相關(guān)性，由于實驗條件的限制，實際機床的控溫操作難度較大，因此本文實驗部分暫時未考慮溫度作用下的導(dǎo)軌系統(tǒng)角度誤差相關(guān)性影響，只著重于考慮在正常環(huán)境溫度下的角度相關(guān)性分析。下面以X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)偏擺角為例進(jìn)行實驗驗證。

圖6 誤差測量實驗裝置圖Fig.6 Experimental device for error measurement

本文以TONMAC數(shù)控銑床為實驗對象，利用RenishawXL-80雙頻激光干涉儀［25］測量機床工作臺沿X軸、Y軸導(dǎo)軌單獨運動時和X，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)45°對角線方向上聯(lián)動時的X軸偏擺角度［26］，所搭建的實驗裝置如圖6所示。圖6（b）顯示的是工作臺沿著X方向和Y方向同時運動時的偏擺角測量裝置，即激光干涉儀的參考鏡和反射鏡安裝在工作臺運動的45°對角線方向上。根據(jù)所測量的機床工作臺實際行程限制，設(shè)置工作臺的測量行程為150 mm，采樣的間距為5 mm，上述三種運動模式下每種行程重復(fù)測量三次，取三次平均值作為最終誤差測量結(jié)果，誤差曲線如圖7所示。將測量得到的X軸導(dǎo)軌和Y軸導(dǎo)軌運動時的偏擺角按照式（4）進(jìn)行矢量和，計算得到Y(jié)軸的相關(guān)性綜合偏擺角誤差曲線如圖7所示，可以看出，Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)的綜合偏擺角整體上與工作臺X，Y軸聯(lián)動測量的X軸偏擺角相比，誤差呈下降趨勢，且最大差值達(dá)到0.92弧秒（arc sec），可以證明公式（4）的準(zhǔn)確性。同理可以證明X軸導(dǎo)軌的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角計算公式（5）和（6）的準(zhǔn)確性。

圖7 X導(dǎo)軌偏擺角相關(guān)性驗證圖Fig.7 X guide rail yaw angle correlation verification diagram

4.2 工作臺二維阿貝誤差修正效果驗證

為了比較由于工作臺二維阿貝誤差對工作臺定位誤差的影響，本文利用XL-80雙頻激光干涉儀測量XY工作臺導(dǎo)軌沿對角線45°方向上聯(lián)動的定位誤差和聯(lián)動偏擺角，再分別測量出X軸導(dǎo)軌的偏擺角、俯仰角和Y軸導(dǎo)軌的偏擺角和俯仰角，測量行程和采樣間距與4.1節(jié)測量過程保持一致。

首先對測量得到的工作臺定位誤差進(jìn)行傳統(tǒng)的阿貝誤差補償，即在聯(lián)動定位誤差的基礎(chǔ)上減去相應(yīng)偏擺角、俯仰角與對應(yīng)阿貝偏移的乘積，補償結(jié)果記為補償后定位誤差1；同理，利用誤差相關(guān)性和二維阿貝誤差對定位誤差進(jìn)行阿貝誤差補償，即在聯(lián)動定位誤差的基礎(chǔ)上減去聯(lián)動偏擺角與阿貝偏移的乘積以及Y軸導(dǎo)軌偏擺角、俯仰角與其對應(yīng)阿貝偏移的乘積（公式（11）），補償結(jié)果記為補償后定位誤差2，結(jié)果如圖8所示。

圖8 導(dǎo)軌系統(tǒng)阿貝誤差修正對比圖Fig.8 Abbe error correction comparison diagram of guide rail system

從圖8中可以看出，利用工作臺二維阿貝誤差補償后的定位誤差2整體誤差呈減小趨勢，且比用傳統(tǒng)方法補償后的定位誤差1最大相差3 μm左右，占補償后的工作臺總誤差的三分之一，補償效果更好，因此本文建立的工作臺二維阿貝誤差補償模型更符合工作臺實際的誤差分布特點和規(guī)律。

5 結(jié) 論

本文詳細(xì)分析了數(shù)控機床XY工作臺導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差源和Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)單向運動各誤差分量對X軸導(dǎo)軌誤差相關(guān)性，建立了XY工作臺Y軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差和上層X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)誤差相關(guān)性模型，從中可以得出，X軸導(dǎo)軌系統(tǒng)綜合偏擺角是X軸導(dǎo)軌自身偏擺角和Y軸導(dǎo)軌偏擺角的矢量和，X軸導(dǎo)軌綜合俯仰角是X軸導(dǎo)軌自身俯仰角和Y軸導(dǎo)軌滾轉(zhuǎn)角的矢量和，X軸導(dǎo)軌綜合滾轉(zhuǎn)角是X軸導(dǎo)軌自身滾轉(zhuǎn)角和Y軸導(dǎo)軌俯仰角的矢量和。

建立了Y向?qū)к壪到y(tǒng)的阿貝誤差和X向?qū)к壪到y(tǒng)二維阿貝誤差計算模型，分別進(jìn)行了X軸導(dǎo)軌和Y軸導(dǎo)軌角度誤差相關(guān)性驗證和導(dǎo)軌系統(tǒng)定位誤差補償效果對比實驗。實驗結(jié)果證明利用工作臺二維阿貝誤差補償后的定位誤差2整體誤差呈減小趨勢，且比用傳統(tǒng)方法補償后的定位誤差1最大相差3μm左右，占補償后的工作臺總誤差的三分之一。本文所建立的導(dǎo)軌系統(tǒng)二維阿貝誤差模型更符合數(shù)控機床XY工作臺誤差的實際變化規(guī)律，利用該模型導(dǎo)軌進(jìn)行的工作臺聯(lián)動定位誤差補償效果比傳統(tǒng)補償方法的修正效果更好，為提高機床加工精度和在機測量系統(tǒng)的測量精度打下理論基礎(chǔ)。