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      滑塊碰撞次數(shù)與圓周率π的聯(lián)系

      2021-03-29 01:23:32李開瑋
      物理教師 2021年1期
      關鍵詞:能量守恒相空間木塊

      李開瑋

      (廣東理工學院,廣東 肇慶 526100)

      圖1 問題示意圖

      1 問題提出

      如圖1所示,水平光滑的地面上放置小木塊m,大木塊M,左端是固定的墻壁,初始時刻m靜止,M以初速度v0向左運動,將與m發(fā)生碰撞,之后m獲得速度向左運動,將與墻壁發(fā)生碰撞反彈,設所有碰撞均沒有動能損失,求碰撞次數(shù).

      解析:首先分析最簡單情況,若兩滑塊質(zhì)量相等m=M,則M向左運動第1次與m碰撞,根據(jù)動量守恒和能量守恒,大木塊將把速度傳遞給小木塊,而自身靜止,m將以v0向左運動,直至與墻壁第2次碰撞,速度反向向右,大小不變,之后向右運動,與M第3次碰撞,同樣的道理,碰撞后,m停止,M以v0向右運動.碰撞次數(shù)一共為3.

      若M≠m呢,總碰撞次數(shù)將是多少?接下來利用速度相空間法跟蹤兩滑塊碰撞過程,求解出碰撞次數(shù).

      2 速度相空間法

      當兩滑塊質(zhì)量不相等時,設M/m=k,以水平向右為正方向,設第n次碰撞后,m與M速度分別為un和vn,初始速度即為0和v0,當m與M速度向右,且m速率小于等于M速率時,碰撞結束,若第n次碰撞為兩滑塊間碰撞,則根據(jù)動量守恒、能量守恒有

      mun+Mvn=mun-1+Mvn-1,

      將兩滑塊碰撞前后速度用矩陣運算表示可得

      (1)

      若第n次碰撞為小滑塊與墻壁間碰撞,則小木塊速度反向,大木塊速度不變,表示成矩陣運算為

      (2)

      利用(1)、(2)迭代運算及碰撞結束時的限制條件,可以編寫計算程序,統(tǒng)計出碰撞次數(shù),作者也編寫了一個MATLAB程序用于計算碰撞次數(shù),代碼如圖2所示.計算結果如表1所示,通過計算數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)碰撞次數(shù)與π的聯(lián)系.

      圖2 MATLAB代碼

      表1 碰撞次數(shù)隨著k的變化

      圖3 速度相空間軌跡示意圖

      mu1+Mv1=Mv0=C.

      (4)

      坐標移動到B點,根據(jù)(4)式有AB斜率為

      (5)

      第1次碰撞后,m將向左并與墻壁發(fā)生碰撞,速度反向,而M速度不變,因此第2次碰撞后速度坐標與B點關于水平軸對稱,位于圓上C點,之后發(fā)生第3次碰撞為兩滑塊間碰撞,同樣根據(jù)動量守恒得到類似(4)的等式

      mu3+Mv3=mu2+Mv2=C.

      (6)

      (7)

      由圓的幾何知識:一段圓弧對應的圓心角是圓周角的2倍,可知

      (8)

      (9)

      (10)

      3 總結

      本文通過速度相空間的方法巧妙的求解了碰撞次數(shù),將力學過程幾何化,直觀清晰,這也反映了物理與數(shù)學的內(nèi)在關聯(lián)之美.

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