王云天，曾祥國，陳華燕，楊 鑫，王 放，祁忠鵬

（1. 四川大學建筑與環(huán)境學院深地科學與工程教育部重點實驗室，四川 成都 610065；

2. 成都理工大學環(huán)境與土木工程學院地質(zhì)災害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室，四川 成都 610059；3. 西南大學材料與能源學院，重慶 400715）

延性金屬在強動載荷下的動態(tài)破壞是沖擊波物理中重要的基礎科學問題之一，在武器制造和裝甲防護等特殊環(huán)境中具有廣泛應用。層裂是延性金屬在強動載荷下的一種典型動態(tài)破壞形式，不僅包含了金屬材料在動態(tài)破壞過程中的豐富信息，而且層裂實驗原理簡單、理論分析成熟，因此一直作為研究材料動態(tài)破壞過程的主要方法[1]。Curran 等[2]通過對大量實驗結(jié)果進行觀察，提出延性金屬的層裂是由于內(nèi)部的孔洞（或微損傷）成核、長大以及聚集，最后導致材料內(nèi)部發(fā)生斷裂，產(chǎn)生層裂飛片的動力學過程，這也是目前得到廣泛認可的延性金屬層裂的基本物理內(nèi)涵。

平板撞擊實驗具有能夠在加載過程中保持一維、平面應變載荷條件以及便于測量和分析回收的特點，是研究材料層裂的常用方式，在層裂實驗中，自由面速度曲線是研究層裂演化過程最重要的參考數(shù)據(jù)之一[3]。圖1 為平板撞擊實驗原理示意圖。飛片在t0時刻以一定速度撞擊樣片，二者相撞時會分別傳入沖擊波，當沖擊波到達樣片自由面和飛片后表面時會形成反射稀疏波，由于飛片厚度比樣片厚度小，兩束稀疏波會在樣片內(nèi)部相遇并形成拉伸區(qū)域，如果拉伸應力超過材料的動態(tài)承載極限，材料便會發(fā)生層裂[2]。通過VISAR（Velocity interferometer system for any reflector）、DISAR（Displacement interferometer system for any reflector）等診斷技術，可以得到樣片的自由面速度曲線，從中可以分析得到延性金屬材料動態(tài)損傷宏觀響應的一系列重要信息，如加載應力幅值、拉伸應變率、層裂強度和層裂片厚度等[4]。

Meyers 等[5]系統(tǒng)地總結(jié)和評述了20 世紀80 年代之前關于層裂的主要研究結(jié)果。2003 年，Antoun 等[3]在其著作中對21 世紀以來的層裂研究歷史和現(xiàn)狀作了權(quán)威性總結(jié)。近年來，國內(nèi)外學者通過實驗、理論和數(shù)值模擬方法對層裂開展了深入研究。陳永濤等[6]采用等厚對稱碰撞實驗，對純鐵在沖擊壓力超過相變閾值下的層裂特性進行了研究，發(fā)現(xiàn)樣品出現(xiàn)2 次層裂現(xiàn)象。Thomas 等[7]采用對稱碰撞的方式對鐵在低于沖擊相變閾值下的層裂特性進行了研究，碰撞速度在0.2～0.4 km/s 范圍內(nèi)，獲得了鐵在低速沖擊下的Hugoniot 彈性極限與層裂強度數(shù)據(jù)。翟少棟等[8]利用輕氣炮與激光加載等方式對鋁的層裂特性進行了研究，分析表明層裂強度具有明顯的應變率效應。Koller 等[9]研究了無氧銅在不同沖擊波作用下的層裂特性，結(jié)果表明沖擊波波形與峰值應力以及拉伸脈沖的持續(xù)時間對層裂損傷有顯著影響。張林等[10]開展了鉭在30 GPa 以內(nèi)沖擊波加載下的層裂實驗，并對不同的層裂強度計算模型進行了分析討論。實驗研究由于其自身的特點，難以直接獲得樣品內(nèi)部物理量隨時間的變化數(shù)據(jù)，只能通過自由面速度等間接獲得樣品內(nèi)部層裂信息。而通過數(shù)值模擬方法可以提供完整的層裂演化信息，是實驗研究的有力補充。目前關于層裂現(xiàn)象的數(shù)值仿真技術主要有有限元方法和分子動力學方法。張鳳國等[11]基于應力瞬時斷裂判據(jù)和Tuler-Butcher 判據(jù)對延性金屬在三角波加載下的多次層裂破壞問題進行了研究，分析表明延性金屬層裂片厚度主要由材料本身的物理性質(zhì)和加載條件決定。種濤等[12]使用一維流體動力學軟件模擬了鐵的沖擊相變與層裂損傷之間的相互影響。賀年豐等[13]采用光滑粒子流體動力學（Smoothed particle hydrodynamics, SPH）方法對爆轟加載下錫的層裂進行了數(shù)值模擬，得到的結(jié)果與實驗結(jié)果基本吻合。席濤等[14]通過分子動力學方法研究了超高應變率下銅的層裂特性，獲得了銅在109～1010s-1時的層裂強度。Glam 等[15]采用數(shù)值模擬方法研究了鋁在不同溫度下的層裂強度與Hugonoit 彈性極限，結(jié)果表明預加熱的鋁有更高的層裂強度。

圖1 平板撞擊實驗原理及自由面速度曲線示意圖Fig. 1 Theoretical illustration of the flat plate impact test and the schematic diagram of the free surface velocity curves

實驗研究成本高、周期長、得到的實驗數(shù)據(jù)有限，數(shù)值模擬的加載范圍與條件更加靈活，并且計算快速、結(jié)果直觀，已經(jīng)逐漸成為實驗研究的重要補充?；诰W(wǎng)格的計算方法對彈塑性材料在中低速沖擊下比較可靠，但金屬在高速沖擊產(chǎn)生的高溫高壓環(huán)境下會表現(xiàn)出流體的性質(zhì)，在利用傳統(tǒng)網(wǎng)格方法進行數(shù)值模擬時會遇到一些困難，網(wǎng)格可能會發(fā)生嚴重扭曲，甚至會導致計算無法正常進行。SPH 方法[16]是一種無網(wǎng)格粒子算法，相較于傳統(tǒng)網(wǎng)格方法，具有精確追蹤自由表面、變形邊界等優(yōu)勢。SPH 方法不依賴網(wǎng)格，而是將材料離散為帶有質(zhì)量、能量、動量的運動粒子進行計算，非常適合模擬層裂、剝落及碎片等現(xiàn)象。Libersky 等[17]率先將材料強度效應引入SPH 方法，成功地進行了高速碰撞的數(shù)值模擬計算。徐志宏等[18]利用改進的SPH 方法研究了超高速碰撞問題，分析了靶板厚度、彈丸速度和形狀對碎片云的影響。Zhou 等[19]則利用SPH 方法開展了鋁球超高速撞擊鋁板的數(shù)值模擬，并與實驗結(jié)果進行了對比。綜上所述，SPH 方法在模擬高速沖擊中是一種有效、可行的數(shù)值方法。數(shù)值模擬結(jié)果受狀態(tài)方程、本構(gòu)模型和失效模型等因素的影響很大，準確合理的模型選擇至關重要。

利用平板撞擊實驗研究金屬材料在高速沖擊下的動態(tài)損傷時，對沖擊波的分析一般采用流體力學近似的方法，忽略固體材料抗剪切能力。要想準確地描述金屬材料的復雜力學行為，就必須考慮沖擊過程中非各向同性應力狀態(tài)下的應力、應變、應變率和溫度的變化，以及它們之間的相互關系。迄今為止，已經(jīng)有一些材料模型用來描述延性金屬在強動載荷下的動態(tài)破壞現(xiàn)象，其中被商用有限元軟件廣泛采用的主要有3 種：Johnson-Cook（JC）模型[20]、Steinberg-Cochran-Guinan（SCG）模型[21]以及Zerilli-Armstrong（ZA）模型[22]。ZA 模型基于不同微觀結(jié)構(gòu)（FCC、BCC 結(jié)構(gòu)）特點建立，參數(shù)的物理意義明確。JC 模型是一種獲得廣泛應用的動態(tài)本構(gòu)模型。在JC 模型中假定材料的屈服強度與應變率相關而與壓力無關，其模型參數(shù)較少，通過一維應力實驗可快速獲得，一般認為JC 模型在應變率低于104s-1時有較好的適用性。SCG 模型則考慮了材料在強動載荷下壓力和溫度對剪切模量與屈服強度的影響，忽略材料在高壓下的應變率效應，常用于描述高壓狀態(tài)下材料的動態(tài)破壞，例如鋁在10 GPa 以上時的應變率效應可以忽略，屈服強度和剪切模量只與溫度、壓力相關[21]，除此之外，SCG 模型在延性金屬層裂的數(shù)值模擬中也得到廣泛應用[4,13,23-24]。

鉭具有高密度、高熔點、良好的延展性和熱傳導性以及耐腐蝕、可焊接性好、高沖擊阻抗與高斷裂韌性等特點，在國防領域具有廣泛應用。本研究選取鉭作為研究對象，利用AUTODYN 軟件中的Lagrange 模塊與SPH 模塊，對鉭在高速沖擊下的層裂行為進行研究，對比JC、ZA、SCG 模型在層裂數(shù)值模擬中的結(jié)果以及SPH 方法與Lagrange 方法在層裂模擬中的差異，分析自由面速度曲線的物理意義與獲得的物理量之間的關系。得到的結(jié)果可以為延性金屬層裂的數(shù)值模擬方法中材料模型的選擇和實際工程應用提供參考。

1 計算方法和模型

1.1 本構(gòu)模型、狀態(tài)方程與失效模型

1.1.1 JC 模型

JC 模型[20]考慮了延性金屬在強動載荷下的應變、應變率硬化和溫升軟化等因素，假設材料為各向同性，將應變、應變率硬化效應和溫升軟化效應解耦，廣泛應用于表征材料在沖擊作用下的動態(tài)力學行為[25-26]。JC 模型的表達式為

表1 JC 模型參數(shù)[27]Table 1 Parameters of Johnson-Cook model[27]

1.1.2 ZA 模型

Zerilli 等[22]基于熱激活和位錯動力學理論，建立了面心立方金屬（FCC）與體心立方金屬（BCC）的本構(gòu)模型，ZA 模型具有明確的物理意義，綜合考慮了應變率與溫度的影響，能夠準確地描述多種延性金屬的動力學行為[28-29]。對于FCC 金屬，ZA 模型的表達式為

對于BCC 金屬，ZA 模型的表達式為

式中：C1、k1、C2、C3、C4、C5為材料常數(shù)，T 為溫度， λ為晶粒尺寸。本研究中計算所采用的ZA 模型參數(shù)如 表2[22]所示。

表2 ZA 模型參數(shù)[22]Table 2 Parameters of Zerilli-Armstrong model[22]

1.1.3 SCG 模型

金屬材料的屈服強度Y 與剪切模量G 之間存在比例關系[21,30]，Steinberg 等[21]通過研究發(fā)現(xiàn)，對于應變率不敏感的材料，屈服強度Y 與剪切模量G 成正比，即Y 與G 的比值為常數(shù)?；诖?，Steinberg、Cochran 和Guinan 提出了一種適用于金屬材料在高壓高應變率下的本構(gòu)模型，考慮了靜水壓力對剪切模量和屈服強度的強化效應以及溫度軟化效應，同時忽略了應變率效應，并假設金屬在熔化狀態(tài)下可以忽略材料強度。SCG 模型中屈服強度Y 和剪切模量G 的關系表示為

式中： η為壓縮比， εp為等效塑性應變，T 為溫度，p 為壓強，G0和Y0分別為初始狀態(tài)下的剪切模量和屈服強度（T = 300 K，p = 0，ε = 0）， β和n 為材料常數(shù)。

屈服強度滿足

式中：Ymax為最大屈服強度。本研究中計算所采用的SCG 模型參數(shù)如表3[21]所示。JC 模型與ZA 模型中采用的剪切模量、屈服強度、熔點等材料參數(shù)與SCG 模型相同。

表3 SCG 模型參數(shù)[21]Table 3 Parameters of Steinberg-Cochran-Guinan model[21]

1.1.4 Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程

Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程廣泛應用于沖擊動力學相關問題的數(shù)值模擬研究中，內(nèi)嵌在AUTODYN與LS-DYNA 等商業(yè)軟件中，可以較為準確地描述絕大部分金屬固體在沖擊載荷下的動力學行為。常用于有限元軟件中的形式為[13]

式中： ρ為沖擊后材料密度， ρ0為初始材料密度，C0為初始波速，S1為材料常數(shù)， γ為Grüneisen 系數(shù)，e 為質(zhì)量內(nèi)能。本研究中計算所采用的Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程參數(shù)如表4[31]所示。在計算中，材料密度均選用表4 中給出的數(shù)值。

表4 Mie-Grüneisen 狀態(tài)方程參數(shù)[31]Table 4 Parameters of Mie-Grüneisen equation of state[31]

1.1.5 Grady 失效模型

在層裂的數(shù)值模擬中，常用最大主應力失效模型與Grady 失效模型。Rinehart[32]將材料靜態(tài)拉伸斷裂模型推廣到動態(tài)斷裂中，提出了最大拉應力失效模型：當材料內(nèi)部拉應力 σ達到層裂強度 σspall時，材料發(fā)生層裂。最大主應力失效模型需預設層裂強度，而層裂強度是一個與沖擊過程相關的物理量。Grady[33]基于斷裂力學理論提出了層裂的能量平衡破碎模型，將層裂強度 σspall與層裂碎片平均尺寸和應變 率聯(lián)系起來，層裂強度隨沖擊加載過程而改變。對于延性金屬，層裂強度 σspall的表達式為[34]

式 中：Cb為材料體積聲速， εc為材料臨界失效應變，金屬材料一般取0.15[33]。

1.1.6 層裂強度、拉伸應變率與層裂片厚度

層裂強度是表征材料在強動載荷下性能的一個重要指標，在工程應用中具有重要參考意義，但其在實驗中難以直接測量。目前關于如何計算層裂強度還沒有統(tǒng)一的方法，常用的方法是通過樣片自由面速度曲線來進行計算。Novikov[35]基于聲學近似的方法給出了計算層裂強度的公式

式中：Δus為自由面速度曲線最大值與第一次速度拉回時的差值。

通過自由面速度曲線，可以得到樣片在層裂過程中的平均拉伸應變率計算公式為[36]

式中：Δts分別為自由面上速度最大值和第一個極小值之間的時間差。

為了能夠更系統(tǒng)地了解自由面速度曲線，計算了自由面速度回跳速率，即極小值到峰值速度之間的 斜率?；靥俾实挠嬎愎綖?/p>

式中：Δur與Δtr分別為自由面上速度第一個極小值與其后峰值之間的速度差和時間差。

通過自由面速度曲線可以獲得層裂片厚度dsp，計算公式為

式中：Δt 為第一個層裂振蕩周期持續(xù)時間，CL為彈性縱波聲速。

1.2 研究方法

數(shù)值模擬采用在沖擊動力學研究中廣泛應用的有限元軟件AUTODYN[34,37-41]。AUTODYN 包含歐拉（Euler）求解器、拉格朗日(Lagrange)求解器、任意拉格朗日歐拉（ALE）求解器以及SPH 求解器。相對于其他同類軟件，AUTODYN 中內(nèi)嵌了豐富的材料模型及對應參數(shù)，便于快速部署應用。本研究中采用Lagrange 與SPH 兩種求解器對延性金屬在平板撞擊下的層裂問題進行分析。Lagrange 求解器對于侵徹、碰撞類低速、中速以下變形問題的模擬具有很好的適應性和精確性。SPH 求解器是近年來快速發(fā)展的一種粒子類方法，沒有網(wǎng)格束縛，可以有效地避免網(wǎng)格畸變問題，能方便地處理斷裂、層裂、破碎等材料破壞問題[13,34,42]。本研究中算例的模型尺寸參數(shù)如表5 所示。其中：df為飛片厚度，ds為樣片厚度，Ds為樣片直徑，v 為撞擊速度。采用二維軸對稱方式建模，有限元網(wǎng)格尺寸為0.05 mm，SPH 粒子尺寸為0.10 mm。平板撞擊模型與306 m/s 撞擊速度下的結(jié)果如圖2 所示。由圖2 可以看出，層裂區(qū)域內(nèi)的材料已經(jīng)完全分離，分離界面如圖2 中白色區(qū)域所示，這表明鉭靶板在306 m/s 的撞擊速度下發(fā)生了完全層裂。

表5 驗證模型參數(shù)設置Table 5 Parameter settings of simulation validation cases

圖2 306 m/s 撞擊速度下平板撞擊模型與模擬結(jié)果Fig. 2 Configuration of the plate impact simulations and simulation results at 306 m/s

2 模擬結(jié)果與分析

2.1 本構(gòu)模型驗證

為了分析不同本構(gòu)模型與求解器對模擬結(jié)果的影響，分別采用JC、ZA、SCG 模型與Lagrange 和SPH 求解器對撞擊速度為306 m/s、飛片厚度為3.00 mm 的情況進行了模擬計算，得到的自由面速度曲線與實驗數(shù)據(jù)[43]的對比如圖3 所示。從圖3 中可以看出，（1）在0～2 μs 內(nèi)，即碰撞初始到自由面速度達到最大值階段，Lagrange 求解器的模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合較好，SPH 求解器由于其粒子特性在速度上升段與實驗數(shù)據(jù)稍有不同；二者的區(qū)別還體現(xiàn)在，Lagrange 求解器的結(jié)果可以觀察到明顯的Hugoniot 彈性極限信號，而SPH 求解器的結(jié)果中Hugoniot 彈性極限信號不是特別明顯，可見SCG 與ZA 本構(gòu)模型對鉭的彈塑性行為有較好的描述。除SPH 求解器結(jié)合ZA 本構(gòu)模型得到的自由面速度曲線最大值稍低之外，其他模擬結(jié)果都與實驗數(shù)據(jù)非常接近。（2）對比層裂信號出現(xiàn)時的自由面速度，Lagrange 求解器結(jié)合JC 模型的偏差最大，差值達到65%，Lagrange 求解器結(jié)合ZA、SCG 模型的偏差在25%左右。SPH 求解器得到的結(jié)果中，JC 模型偏差最大，約為55%，而ZA、SCG 模型得到的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)基本相同。（3）對比層裂信號出現(xiàn)后速度回拉曲線與振蕩周期，Lagrange 求解器得到的模擬結(jié)果中速度回跳速率快于實驗數(shù)據(jù)。具體來看，SCG 模型的振蕩周期與實驗數(shù)據(jù)較為一致，但回跳速率最大值過高，JC、ZA 模型的振蕩周期均小于實驗數(shù)據(jù)。SPH 求解器的結(jié)果中，JC 模型偏差較大，ZA 模型速度回跳的最大值低于實驗數(shù)據(jù)，SCG 模型與實驗數(shù)據(jù)比較吻合。

圖3 不同模型的自由面速度曲線與實驗數(shù)據(jù)[43]的對比（撞擊速度306 m/s）Fig. 3 Comparison of free surface velocity profiles between different simulations and experiment data[43] (impact velocity 306 m/s)

為了進一步驗證SPH 方法結(jié)合SCG 本構(gòu)模型的準確性，分別對比了撞擊速度為212 與412 m/s 下的實驗數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖4 所示。從圖4 中可以看出，SPH 求解器結(jié)合SCG 本構(gòu)模型得到的模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)在各個階段都有較好的一致性。因此，本研究采用SPH 求解器與SCG 模型開展鉭在平板撞擊下的層裂行為模擬。為了探究不同拉伸應變率下鉭的層裂行為，保持樣片厚度4.95 mm、直徑50.00 mm不變，通過改變飛片的厚度來改變飛片自由面反射的稀疏波到達樣片自由面的距離，改變樣片中的沖擊波卸載時間，以此達到不同的拉伸應變率，模擬參數(shù)和結(jié)果如表6 所示。其中：ps為沖擊壓力，umax為峰值層裂速度。

按照模型參數(shù)開展了不同拉伸應變率下的層裂行為模擬，模擬結(jié)果如圖5 所示，拉伸應變率范圍為2.13 × 104～5.40 × 104s-1。從圖5 中可以看出，在相同的加載速度下，樣片自由面速度曲線峰值平臺持續(xù)時間逐漸延長。這是由于隨著飛片厚度的增大，其自由面反射稀疏波到達樣片自由面的距離增大，導致自由面速度衰減的稀疏波波頭到達自由面的時間延長，自由面速度的衰減時間逐漸延后；在飛片厚度相同時，自由面速度曲線隨加載速度增大而升高，峰值速度平臺持續(xù)時間基本相同。

圖4 不同速度下SCG-SPH 模型模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)對比Fig. 4 Comparison of SCG-SPH model simulation results and experimental data with different velocities

表6 層裂模型參數(shù)與結(jié)果Table 6 Parameters of plate impact simulations and results

圖5 數(shù)值模擬得到的不同加載情況下的自由面速度曲線Fig. 5 Numerical simulation of free surface velocity profiles with different loading conditions

2.2 層裂特性分析

層裂強度是金屬材料動態(tài)損傷行為的重要參數(shù)之一，本研究采用式(11)來計算鉭在不同拉應變率下的層裂強度?，F(xiàn)有研究表明，在不同加載條件下，金屬材料會表現(xiàn)出不同的強度性質(zhì)[44]。圖6 給出了鉭的層裂強度隨拉伸應變率的變化情況，從圖6 中可以看出，層裂強度與加載速度之間沒有明確的對應關系，表明層裂強度不是一個僅受加載速度影響的物理量。進一步分析可以發(fā)現(xiàn)，層裂強度隨拉伸應變率的增長而增加，結(jié)合式(12)，可以推斷出層裂強度受沖擊加載速度和應力脈沖持續(xù)時間等因素的綜合作用。這表明層裂強度不是一個特定的材料常數(shù)，而是隨加載情況的不同而改變。

文獻[3]給出了某銅材料的層裂強度與拉伸應變率的擬合關系

圖6 層裂強度與拉伸應變率的關系Fig. 6 Relationship between spall strength and tensile strain rate

通過數(shù)值分析方法，對數(shù)值模擬得到的數(shù)據(jù)進行擬合，得到鉭的層裂強度與拉伸應變率之間的關系為

圖7 給出了對數(shù)坐標下層裂強度與拉伸應變率之間的關系。從圖7 可以看出，在對數(shù)坐標下鉭的層裂強度隨拉伸應變率的變化呈線性增長趨勢。由于本研究中數(shù)值模擬的最高拉伸應變率為5.4 × 104s-1，在圖7 中還對比了更高拉伸應變率下的實驗數(shù)據(jù)[45]。更高拉伸應變率下層裂強度與模擬結(jié)果呈現(xiàn)相同的增長趨勢，并且位于模擬結(jié)果的線性擬合曲線上，這再次驗證了數(shù)值模擬結(jié)果的準確性。

除分析層裂強度與拉伸應變率的關系外，圖8 給出了層裂強度與回跳速率之間的關系。由圖8可知，層裂強度與回跳速率之間近似呈線性增長關系，表明回跳速率與層裂強度存在一定的內(nèi)在聯(lián)系。

圖7 對數(shù)坐標下層裂強度與拉伸應變率的關系Fig. 7 Relationship between spall strength and tensile strain rate in logarithmic coordinates

圖8 層裂強度與回跳速率的關系Fig. 8 Relationship between spall strength and bounce rate

本研究中的層裂強度根據(jù)式(11)進行計算，這也是目前研究中廣泛采用的聲學近似計算方法。式(11)進行了一定的簡化，并未考慮塑性波和層裂片厚度等因素的影響。Stepanov 等[46]指出，對于彈塑性材料，層裂沖擊應以彈性縱波速度CL傳播。而在它前面的入射稀疏塑性波應以體積聲速Cb傳播，當彈性波重要時，可以采用有效聲速Ce

將式(11)修正為

在式(11)基礎上，Kanel[47]指出層裂強度的計算應考慮層裂片厚度的影響，并給出了一種考慮層裂片厚度影響的修正公式

3 種方法得到的層裂強度計算結(jié)果如表7 所示。從表7 可以發(fā)現(xiàn)，第2 種方法對第1 種方法的修正可達8%，第3 種方法的計算結(jié)果與第2 種相差不大。這表明通過自由面速度曲線來計算層裂強度與選用的計算方法相關，而且不同計算模型之間存在一定差異，差異對結(jié)果的影響應該得到關注。

表7 不同計算層裂強度的公式得到的數(shù)據(jù)對比Table 7 Comparison of data obtained by different formulas for calculating the fracture strength

通過式(14)計算得到樣片中的層裂片厚度dsp，結(jié)果如表8 所示，其中 δ為誤差。由表8 可以看出，通過計算得到的層裂片厚度與飛片厚度基本相同，表明樣片發(fā)生了完全層裂，這與模擬得到的結(jié)果相同，同時也驗證了所選模型的準確性。樣片發(fā)生完全層裂時，自由面速度曲線表現(xiàn)出規(guī)則的振蕩，如圖5中所示，自由面速度曲線振幅逐漸減小，表明層裂片中的脈沖在往返過程中逐漸衰減。完全層裂的應力 波傳播過程如圖1 所示。

表8 不同撞擊速度下層裂片厚度Table 8 Spall scab thickness at different impact velocities

2.3 Hugoniot 彈性極限

Hugoniot 彈性極限描述了在一維應變壓縮條件下，金屬材料發(fā)生非彈性變形時的縱向應力值，是應力-體積狀態(tài)轉(zhuǎn)折點，也是重要的評價金屬材料抵抗動態(tài)破壞能力的指標[48]。從自由面速度曲線可以得到鉭的Hugoniot 彈性極限

式中：uHEL為Hugoniot 彈性極限出現(xiàn)時對應的自由面速度，對應自由面速度曲線中出現(xiàn)的第一個短平臺。表9 給出了由式(21)計算得到的Hugoniot 彈性極限。從表9 中可以看出，Hugoniot 彈性極限隨加載條件的改變而改變， σHEL的范圍為1.77～2.09 GPa，張林[45]通過實驗數(shù)據(jù)得到鉭在沖擊壓力范圍8.9～22.6 GPa 下的 σHEL為1.8～2.6 GPa，表明通過數(shù)值模擬得到的Hugoniot 彈性極限是合理的，當然在更高的沖擊壓力下，鉭有更高的Hugoniot 彈性極限。

表9 不同撞擊速度下的Hugoniot 彈性極限Table 9 Hugoniot elastic limit at different impact velocities

Hugoniot 彈性極限與沖擊壓力的關系如圖9 所示。通過數(shù)值分析，采用指數(shù)形式擬合σHEL與沖擊壓力數(shù)據(jù)，得到

將式(21)擴展到17 GPa 后，與實驗數(shù)據(jù)進行對比，發(fā)現(xiàn)有較好的吻合性。這表明沖擊壓力越大，鉭發(fā)生非彈性變形時的縱向應力值越高，即動態(tài)屈服強度越高。

2.4 回跳速率分析

圖9 不同沖擊壓力下Hugoniot 彈性極限Fig. 9 Hugoniot elastic limit under different impact pressures

以自由面速度曲線中第一個極小值為起點，至其后第一個峰值速度平臺，分析自由面速度曲線的變化情況，如圖10 所示。從圖10 中可以看出，自由面速度回跳曲線隨加載速度和飛片厚度的變化沒有明顯的變化趨勢，結(jié)合表6 中計算的加載應變率信息，發(fā)現(xiàn)隨著加載應變率的提高，曲線逐漸變得陡峭，斜率逐漸增大。

利用式(13) 計算了鉭的自由面速度回跳速率，圖11 給出了回跳速率與拉伸應變率的關系。從圖11可知，回跳速率隨著拉伸應變率的升高而增長，二者近似呈線性變化趨勢。Kanel 等[49]在對鋁和鎂的層裂特性分析中，發(fā)現(xiàn)了自由面速度回跳速率與損傷演化之間存在正相關的特點，二者呈線性關系

式中：D 為樣片中孔隙率的增長速率。結(jié)合本研究中鉭的數(shù)值模擬數(shù)據(jù)，可以推斷鉭在層裂過程中樣片內(nèi)部的損傷演化速率同樣隨著拉伸應變率的增長而增加，與其他延性金屬具有相似的動態(tài)損傷演化特點。

圖10 自由面速度曲線第一個極小值之后的速度曲線Fig. 10 Free surface velocity profiles after the first minimal speed

圖11 應變率對鉭樣品回跳速率的影響Fig. 11 Influence of strain rate on bounce rate of tantalum samples

3 結(jié) 論

以延性金屬鉭為研究對象，通過對不同本構(gòu)模型結(jié)合Lagrange 以及SPH 求解器，對鉭在平面沖擊下的層裂行為進行了數(shù)值模擬，分析了JC、ZA、SCG 本構(gòu)模型以及Lagrange 和SPH 求解器在數(shù)值模擬中的差異，通過改變飛片厚度與加載速度來改變沖擊加載應變率，對不同加載條件下的自由面速度曲線特性進行了分析，得到以下主要結(jié)論。

（1）JC 模型在模擬中與實驗數(shù)據(jù)相差較大，ZA 與SCG 模型在模擬彈塑性轉(zhuǎn)變過程中有較好的表現(xiàn)，綜合對比，SCG 模型得到的模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)有更好的一致性。

（2）Lagrange 求解器在模擬鉭的彈塑性轉(zhuǎn)變過程有較好的表現(xiàn)，能夠觀測到明顯的Hugoniot 彈性極限信號。SPH 求解器得到的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)更符合，能夠更全面地描述層裂全過程中的自由面速度曲線變化情況，表明利用SPH 方法研究鉭的層裂行為是可行的。

（3）鉭的層裂強度與加載速度沒有明確的對應關系，層裂強度隨拉伸應變率的增加而增大，二者近似呈指數(shù)關系。進一步對比層裂強度隨自由面速度回跳速率的關系，結(jié)果表明自由面速度回跳速率也是層裂行為的一種反映，應該得到關注。通過觀察發(fā)現(xiàn)自由面速度回跳速率與拉伸應變率之間近似為線性關系，隨拉伸應變率的增加而增大。