基于小波分析和復(fù)矩陣稀疏表示的人臉識(shí)別方法

曹玉濤，吳愛弟

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222）

人臉識(shí)別研究可以追溯到20 世紀(jì)六七十年代，經(jīng)過幾十年的發(fā)展已日趨成熟。人臉識(shí)別技術(shù)的發(fā)展分為3 個(gè)階段：第1 階段為簡單背景中的人臉識(shí)別；第2 階段為人機(jī)交互中的人臉識(shí)別；第3 階段為機(jī)器自動(dòng)識(shí)別。小波分析具有很好的局部化特征，在圖像處理和人臉識(shí)別方面應(yīng)用廣泛。文獻(xiàn)[1-2]僅對(duì)低頻成分提取特征進(jìn)行人臉識(shí)別，由于缺少高頻成分，往往識(shí)別效果不佳；文獻(xiàn)[3]驗(yàn)證了盡管高頻子帶不像低頻子帶那樣包含較多的信息，但也包含反應(yīng)臉部細(xì)節(jié)的邊緣及輪廓的重要信息。因此，對(duì)于高頻特征（包含信息較少）只需提取主要特征，采用分塊的方式選取出信息較多的子塊。

人臉圖像特征可以細(xì)分為全局和局部2 種特征。全局特征主要是體現(xiàn)圖像的整體輪廓，包含圖像的大多數(shù)信息，而局部特征則是對(duì)整體特征的一個(gè)補(bǔ)充，注重于細(xì)節(jié)部分。全局特征方法如PCA（principal components analysis）[4-5]、LDA（linear discriminant analysis）[6-7]和LPP（linear performance pricing）[8]等廣泛應(yīng)用于人臉識(shí)別，圖像的局部特征提取可以通過分塊子圖像方法[9-11]實(shí)現(xiàn)。全局特征和局部特征所描述的內(nèi)容和作用各不相同，基于全局特征的方法往往缺乏對(duì)人臉光照、表情等細(xì)節(jié)的描述；而單純基于局部特征的方法又忽略了局部特征間的聯(lián)系，從而損失了部分全局特征。本文提出一種高頻子帶和低頻子帶融合為復(fù)矩陣的人臉識(shí)別方法，不僅能體現(xiàn)整體特征與局部特征的不同優(yōu)勢，避免簡單地融合為列向量，以及因維數(shù)災(zāi)難導(dǎo)致的識(shí)別效果不佳，而且還能進(jìn)一步提高識(shí)別率。

1 人臉識(shí)別的相關(guān)理論

1.1 小波原理

令 L2（R）表示平方可積函數(shù)空間，函數(shù) f∈L2（R）的一維連續(xù)小波變換定義為

對(duì) a 和b 進(jìn)行離散，令a=2n且b=2nk，該過程即為離散小波變換。經(jīng)過1 層小波變換和2 層小波變換的圖像分別如圖1 和圖2 所示。

圖1 1 層小波分解圖像

圖2 2 層小波分解圖像

1.2 稀疏表示

設(shè) X 是 M × N 的矩陣，X 中的絕大多數(shù)元素非0。稀疏表示[12-13]的含義為：用K×N 的系數(shù)矩陣A 以及M×K 字典矩陣B，使X 盡可能地表示為B×A 的線性組合，且A 中盡可能多的元素為0。A 便是X 的稀疏表示。設(shè) A=[a1，a2，…，aN]，X=[x1，x2，…，xN]，則利用l1范數(shù)最小化問題可以求得稀疏系數(shù)

也可以使用l2范數(shù)最小化問題

式（3）為最小化二乘問題，其解

1.3 加權(quán)順序字典更新

式（2）只求解稀疏系數(shù)，字典沒有同步更新。而稀疏表示的效果關(guān)鍵在于字典的選擇，對(duì)字典的更新可以得到更好的稀疏表示，從而提高人臉的識(shí)別率。加權(quán)順序字典更新[14]模型為

式中：殘差矩陣M=X-BA；M 的協(xié)方差對(duì)角線元素構(gòu)成對(duì)角矩陣的逆矩陣為Rm×m；tr 為矩陣跡的運(yùn)算符。

權(quán)重矩陣R 能夠?qū)ι鲜鰵埐罹仃嘙 的不同方差給予不同大小的權(quán)重值。采取交替優(yōu)化的方法可以求解約束ai的l0的解。

可采用凸松弛的方法，實(shí)現(xiàn)稀疏系數(shù)的求解，此時(shí)字典不更新，采用l1范數(shù)最小化方法求解稀疏系數(shù)

實(shí)驗(yàn)中采用OMP 方法[15]解決上述稀疏系數(shù)求解問題。在字典更新階段，順序更新第k 個(gè)字典bk和稀疏矩陣A 的第k 行使用交替最小二乘法近似得到的的1 級(jí)矩陣，從而獲得不同于SVD 分解字典更新的方法。其優(yōu)化問題可表述為

利用懲罰回歸方法可以求解上式的優(yōu)化問題。固定 bk且‖bk‖2=1，可以通過式（5）最小化求得的值

其中，v 是屬于RN的全為1 的行向量。由于R 的加權(quán)作用，因此就產(chǎn)生了不同的新的更新規(guī)使R 中較大方差的相關(guān)項(xiàng)權(quán)重系數(shù)降低，該相關(guān)項(xiàng)有更大的可能縮減為0。隨后保持不變，式（6）的最小化bk為

1.4 基于復(fù)矩陣的主成分分析

設(shè)A 和B 分別為M×N 的矩陣，定義復(fù)矩陣C=A+Bi，Cj是C 的列向量。將復(fù)矩陣的協(xié)方差矩陣定義為其中為 C 的均值，并且（GC）H=GC（H 為共軛轉(zhuǎn)置），GC是埃爾米特矩陣。埃爾米特矩陣的所有特征值均為實(shí)數(shù)，因此GC的特征值能夠確定變換軸，將特征值降序排列，可以根據(jù)前若干個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量決定變換軸。設(shè)定Y1，Y2，…，Yd前d 個(gè)最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為變換軸，則對(duì)樣本Cj變換后的結(jié)果為Rj=CjY，Y=[Y1，Y2，…，Yd]。

2 基于復(fù)矩陣的人臉識(shí)別

首先，對(duì)測試樣本和訓(xùn)練樣本依次進(jìn)行2 層小波分解，并提取第 2 層 HH，HL，LH 和 LL 共 4 部分，對(duì)得到的3 個(gè)高頻子帶分別做分塊處理，依次選取信息量多的若干子塊，組成新的高頻子帶，將新的高頻子帶與未處理的低頻子帶組合為1 個(gè)復(fù)矩陣。然后，應(yīng)用復(fù)矩陣的主成分分析進(jìn)行降維，應(yīng)用加權(quán)順序字典更新方法對(duì)字典進(jìn)行更新。最后，根據(jù)得到的稀疏表示進(jìn)行分類，算法流程如圖3 所示。

圖3 算法流程圖

具體步驟如下：

（1）對(duì)測試樣本和訓(xùn)練樣本做2 層小波分解，并提取第 2 層 HH、HL、LH 和 LL 4 部分。

（2）LL 不做處理，依次將 HH、HL、LH 做分塊處理，依次計(jì)算每一個(gè)子塊的能量值，根據(jù)能量值進(jìn)行降序排列，然后依次選出HH、LH、LH 中排序靠前的若干塊，選出的塊組成1 個(gè)新的高頻子帶gH。

（3）把gH 和LL 融合為1 個(gè)復(fù)矩陣。

Fw= α*LL+（1- α）*gHi

（4）先對(duì)Fw 降維處理，得到降維后的特征向量Fw。

（5）將Fw 利用加權(quán)順序字典更新方法進(jìn)行更新。

已知：初始化字典B=Fw，參數(shù)ρ 和迭代次數(shù)τ。

①通過誤差矩陣計(jì)算R 矩陣，并由式（6）得到稀疏系數(shù)矩陣A。

② 對(duì)于字典 B 的每一列 bk，k=1，2，…，K。

（6）利用稀疏分類算法，給出分類結(jié)果。

3 仿真結(jié)果與分析

本文在ORL 和AR 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中驗(yàn)證算法的可行性。ORL 人臉圖像數(shù)據(jù)庫包含40 個(gè)人的數(shù)據(jù)信息，根據(jù)面部表情、光照情況以及臉部遮擋物等不同條件，每人收集10 張照片，本文選取200 張灰度圖像，包含10 人的數(shù)據(jù)信息，將每個(gè)人的人臉圖像分為兩部分，選取5 張作測試集，其他5 張作訓(xùn)練集。AR人臉圖像數(shù)據(jù)庫包含126 人的數(shù)據(jù)信息，約有4 000張人臉圖像，每個(gè)人根據(jù)面部表情、光照以及臉部遮擋物等不同條件收集26 張照片，本文選取260 張灰度圖像，包含10 人的數(shù)據(jù)信息，將每個(gè)人的人臉圖像分為兩部分，13 張作測試圖像，13 張作訓(xùn)練圖像。在ORL 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中，采用的分塊數(shù)為9，組合為Fw=0.22*LL+0.78*gHi；在AR 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中，采用的分塊數(shù)為12，組合為Fw=0.26*LL+0.74*gHi。權(quán)重系數(shù)由多次實(shí)驗(yàn)確定。

3.1 樣本數(shù)不變，不同算法識(shí)別率

利用低頻部分進(jìn)行識(shí)別的算法記為f1，將高頻和低頻直接合為列向量進(jìn)行識(shí)別的算法記為f2，本文提出的算法記為f3，同時(shí)也與傳統(tǒng)的PCA[16]、PCA+LDA[17]方法進(jìn)行比較。ORL 和AR 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中不同算法下的識(shí)別率如表1 所示。

3.2 改變樣本數(shù)，不同算法的識(shí)別率

圖4 和圖5 分別給出了本文提出的算法與傳統(tǒng)方法的比較結(jié)果。從圖4 和圖5 中可以看出，本文算法具有明顯的優(yōu)勢，尤其在樣本數(shù)增加的情況下。

表1 ORL 和AR 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中不同算法下的識(shí)別率

圖4 ORL 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中不同算法的識(shí)別率

圖5 AR 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中不同算法的識(shí)別率

3.3 改變分塊數(shù)，不同算法的識(shí)別率

圖6 和圖7 為改變分塊數(shù)時(shí)2 種算法的識(shí)別率。從圖6 和圖7 中可看出，ORL 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中，分塊數(shù)為9 時(shí)算法識(shí)別率較佳；AR 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中，分塊數(shù)為12 時(shí)算法的識(shí)別率較佳。

圖6 ORL 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中不同算法的識(shí)別率

圖7 AR 人臉圖像數(shù)據(jù)庫中不同算法的識(shí)別率

4 結(jié) 語

本文對(duì)傳統(tǒng)的人臉識(shí)別方法進(jìn)行了改進(jìn)，傳統(tǒng)的人臉識(shí)別方法一般都只是單獨(dú)利用全局信息或者局部信息進(jìn)行人臉識(shí)別，不能將全局信息和局部信息融合為一個(gè)整體進(jìn)行人臉識(shí)別，而本文提出的基于小波分析的人臉識(shí)別方法，既能充分利用高頻信息（局部信息）和低頻信息（整體信息），又能避免將高頻和低頻簡單融合為列向量，因維數(shù)過高導(dǎo)致識(shí)別效果不佳的問題。因此，本算法對(duì)于提高識(shí)別率效果顯著，但是融合系數(shù)的確定為手動(dòng)填入，如何自動(dòng)確定融合系數(shù)將是今后研究的重點(diǎn)。