苗晉達，羅天任，蔡 寧，張明敏，潘志庚

AR物理實驗中的磁感線仿真

苗晉達1，羅天任2，蔡 寧2，張明敏1，潘志庚2

(1. 浙江大學計算機科學與技術學院，浙江 杭州 310012； 2. 杭州師范大學虛擬現(xiàn)實與智能系統(tǒng)研究院，浙江 杭州 311121)

針對如何在中學物理實驗中，在增強現(xiàn)實(AR)的虛擬環(huán)境中模擬出符合物理規(guī)律的磁感線、電場線等曲線的問題，研究了一套在三維空間中擬合出符合磁感線性質(zhì)的磁感線算法，并將其應用到多模態(tài)自然交互的AR實驗系統(tǒng)中。該算法使用四階龍格庫塔方法生成磁感線，并在必要時使用能量最小化的方法進行修正。該AR系統(tǒng)使用基于實物套件的增強現(xiàn)實并利用多相機協(xié)同AR三維注冊來克服傳統(tǒng)二維MARK跟蹤失效問題。最終以中學教學中常見的電生磁實驗為例，測試了該磁感線生成算法和實驗系統(tǒng)。結(jié)果表明，該磁感線符合物理定律，并可以較好地服務于電磁相關的物理實驗中，具有解決實驗現(xiàn)象不明顯，使學生理解更為直觀透徹的實際意義。

磁感線；仿真；MARK；龍格庫塔方法；修正

1 背景介紹

近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)和移動互聯(lián)網(wǎng)大潮的來臨，增強現(xiàn)實(augmented reality，AR)技術正在和傳統(tǒng)的教育方法進行深度融合。AR物理實驗具有增強實驗現(xiàn)象的優(yōu)點，可令學生更加直觀、易懂地理解抽象概念。其中，電磁場相關概念的重要性對于初高中物理是不言而喻的。然而，由于其概念的抽象性，中學生在理解時難免會出現(xiàn)困難，產(chǎn)生挫敗感。如何在AR的虛擬環(huán)境中模擬出符合物理規(guī)律的磁感線、電場線等曲線便成為了亟待解決的焦點問題。

磁感線是用以形象地描繪磁場分布的曲線，是人為假設的曲線。人們將磁感線定義為處處與磁感應強度相切的線。磁感線方向與磁感應強度的方向相同，磁感線的密度與磁感應強度的大小成正比。了解磁感線的基本特點是掌握和分析磁路的基礎。然而傳統(tǒng)的中學實驗具有很多的局限性如成本高、抽象(如磁感線、電流不可視等)。在中學常見的電磁學實驗中，磁場的可視化是通過鐵屑在磁場中的分布來間接實現(xiàn)的，如圖1所示。

圖1 磁感線可視化的傳統(tǒng)做法

傳統(tǒng)做法有以下缺陷：在實驗過程中，由于實驗是在水平桌面上進行，易給學生帶來誤導；磁感線布滿磁體周圍整個空間，并不在一個平面上。輕敲玻璃板時，由于晃動鐵屑轉(zhuǎn)動不均勻不能直觀展現(xiàn)磁場分布。

與之相比，AR為用戶提供了一個無縫的界面，其結(jié)合了現(xiàn)實世界和虛擬世界。用戶可與周圍的真實場景中的虛擬對象進行交互，并獲得最自然和真實的人機交互體驗。

本文主要研究了通電螺線管生成的磁感線及磁場的幾種可視化方法。并使之符合磁感線的基本屬性，如閉合的，疏密表示磁感應強度大小。之后將其集成到AR系統(tǒng)中，最后在真實的場景中可以看到AR模擬出的虛擬的磁感線及磁場。

進一步研究了對磁場中離散點的磁感應強度的可視化的方法。通過畢奧薩伐爾定理可以精確地計算出空間上某一位置的磁感應強度。還研究了磁場中閉合磁感線的可視化方法。使之在美觀的同時在視覺上符合磁感線的物理約束，并與目前常見的中學物理書上示意圖式的磁感線方式相比，本文呈現(xiàn)的磁感線更精確、更能表現(xiàn)磁感線的真實意義。

圖2展示了AR物理實驗中的磁場可視化?？煽吹秸鎸嵉氖趾吞摂M的螺線管產(chǎn)生的磁感線在三維空間中相互遮擋，另一只手拿起了虛擬的小磁針。通過調(diào)節(jié)滑動變阻器改變磁感線的疏密。

圖2 AR物理實驗中的磁場可視化

2 相關工作

經(jīng)過研究和測試，AR技術用于中小學和大學的教育確實可以起到促進學生學習的作用。LEE[1]描述了AR如何應用于教育和培訓，以及對未來實驗教育的潛在影響。ARICI等[2]關注了AR在2013– 2018年度發(fā)表的科學教育文章中的應用，指出了化學實驗需要更接近真實自然的交互。文獻[3]篩選出68篇期刊論文進行分析，發(fā)現(xiàn)AR技術在教育環(huán)境中具有許多優(yōu)勢，且可提高學生的學習成績。文獻[4]分析了AR對學生學習成績的有利影響。此外，還分析了學習環(huán)境、學習者類型等變量對學習收益的影響。

近年來，具有三維空間的虛擬實驗的交互技術研究越來越受到研究者們的青睞，并將虛擬現(xiàn)實(virtual reality，VR)和AR技術應用于實驗教育，并取得良好的效果。

WANG等[5]開發(fā)了一個基于AR的移動設備交互應用程序DSIAR來模擬雙縫干涉物理實驗，實驗結(jié)果表明，DSIAR在輔助物理實驗教學、吸引學生注意力、激發(fā)學生興趣等方面具有積極的作用。文獻[6]探討不同類型的AR與引導策略對高中生電化學概念的影響。文獻[7]提出了一種用于教育的三維磁場沉浸式實時可視化系統(tǒng)，使用戶能夠在增強的三維空間中方便地觀察和掌握由多個源(如磁鐵和/或多個線圈)產(chǎn)生的磁場。允許用戶在可視化空間內(nèi)自由交互移動磁源，實時觀察磁場干擾。文獻[8]使用AR與運動傳感學習技術教授磁場的知識，參與實驗的38名八年級學生被分為實驗組和對照組。結(jié)果表明，基于AR的運動感知軟件可以改善學生的學習態(tài)度和學習成果。文獻[9]挑選101名參加數(shù)學展覽的參與者，測量利用AR技術在非正式學習環(huán)境中獲取和記憶數(shù)學知識的效果。與沒有AR的展覽相比，參觀者從增強展覽中獲得了更多的知識。文獻[10]使用AR工具來幫助化學教學，通過直觀的3D用戶界面幫助學生更好地理解幾何圖形的空間結(jié)構(gòu)。文獻[11]利用AR可視化模擬光學工作臺，學生可以交互式地修改透鏡類型等屬性和儀器在空間中的位置，進一步促進學生對光學定律的理解。文獻[12]使用AR和VR的開源技術，將分子可視化應用于原子上。文獻[13]針對初中化學課堂物質(zhì)部分的構(gòu)成，設計開發(fā)了一套基于探究性的AR學習工具。學生可利用標記物控制、組合，與三維微粒子模型交互，進行一系列探究性實驗。文獻[14]利用虛實融合技術，以凸透鏡成像實驗為例，利用AR技術進行互動性、綜合性的成像實驗以提高教學效果，發(fā)現(xiàn)虛實融合的學習環(huán)境可極大地激發(fā)學生的學習興趣、提高學習能力。文獻[15]提出了基于價層電子對互斥(valence shell electron pair repulsion，VSEPR)理論的AR教學系統(tǒng)，旨在提高學生的三維空間認知和更深刻理解化學反應的能力。文獻[16]開發(fā)了一種針對中學生的電磁感應AR教學輔助工具，以127名日本中學生為實驗對象，實驗發(fā)現(xiàn)，63%的學生在使用AR教具后能夠科學地講解電磁感應原理。文獻[17]采訪了使用物理方面的AR輔助教育系統(tǒng)的老師，并總結(jié)出以下幾點對AR教育系統(tǒng)設計的建議，即要有新穎性、強化性、探索性、多變的展示和協(xié)同性。文獻[18]則使用unity開發(fā)了使用AR的現(xiàn)代教育系統(tǒng)。

3 系統(tǒng)框架

本研究的技術流程如圖3所示。

本研究根據(jù)具體的實驗定制出符合實驗特點的虛實交互方案，以中學實驗較為復雜和典型的奧斯特實驗(電生磁實驗)為例進行交互設計。表1和表2分別介紹了該AR實驗中實物和虛物的選擇與交互的方式。

圖3 技術流程圖

表1 實物和虛物的選擇

表2 交互方式

4 虛實融合實驗仿真及其關鍵技術實現(xiàn)

4.1 總體流程

該虛實融合實驗主要用到的關鍵技術有：①三維空間的磁感線可視化技術；②基于實物套件的AR技術；③虛實空間關系一致性渲染技術。具體步驟為：

(1)獲取實驗中螺線管的各參數(shù)，如半徑、匝數(shù)等。根據(jù)畢奧薩伐爾定理計算周圍的磁場分布。

(2)通過空間離散不均勻向量場生成磁感線模型。

(3)將上述生成的磁感線模型導入本文的虛實融合實驗系統(tǒng)，利用RGB-D相機和其他輔助相機追蹤手和手上佩戴的紙環(huán)標記物，并根據(jù)深度信息進行三維重建還有追蹤實物套件上的MARK來進行三維注冊。

(4) 利用虛實遮擋算法進行渲染處理，將渲染的結(jié)果輸出到主屏幕上。

4.2 磁場仿真的關鍵技術實現(xiàn)

4.2.1 磁場中離散點的磁感應強度可視化

已知通電導體周圍存在磁場，由式(1)畢奧薩伐爾定理的推論可知，有限長通電直導線在任意一點產(chǎn)生的磁感應強度的大小(磁場)為

其中，為點的磁感應強度的大小，而磁感應強度的方向可由右手螺旋定則給出：用右手握住通電直導線，大拇指指向電流的方向，四指指向的是磁感線的環(huán)繞方向；為點到直導線所在直線的距離；為通電導線的電流強度；μ0為常數(shù)。其他符號如圖4所示。

由畢奧薩伐爾定理可知，空間中任意點的磁感應強度與通電導線的形狀有關，中學實驗中大多數(shù)導線圈都是圓形線圈組，為了加速計算，將不規(guī)則形狀近似成很多直線段來求解，根據(jù)算法表現(xiàn)的性能還可以控制近似參數(shù)，達到視覺效果與計算速度的折衷平衡。

在本例中，將圓形導線近似成正多邊形進行求解。首先分別計算多邊形的每一條邊在某一位置生成的磁感應強度，最后疊加所有磁感應強度即可得到該螺線圈在該位置的磁感應強度大小。

通電線圈附近空間中處處有磁強，由此構(gòu)成的磁場是一個連續(xù)的向量場，但在計算機中只能生成離散場，用本文方法生成的可視化離散場如圖5所示。

本文依據(jù)畢奧薩伐爾定理，空間中每點的磁強是根據(jù)每段導線的影響進行積分而得的，即將各個直線段在該點產(chǎn)生的磁感應強度疊加起來。因此磁強度和方向不依賴于線圈的形狀，所以可以用此方法可視化任何形狀的通電導線生成的磁場，如圖6所示，該磁場是由三角形形狀的線圈產(chǎn)生的。

圖4 有限長通電直導線的磁場強度計算示意圖

圖5 2個圓形通電線圈生成的磁場在二維圓形區(qū)域內(nèi)的可視化

圖6 正三角形螺線管的磁場在球形區(qū)域內(nèi)的可視化

4.2.2 磁感線的可視化

磁感線的可視化首先要滿足磁感線的物理性質(zhì)。由麥克斯韋方程組可知，磁場的散度總合為零，其物理性質(zhì)為：磁感線是閉合曲線；任意2條磁感線不相交；磁感線上每一點的切線方向都表示該點的磁場方向；磁感線的疏密程度表示磁感應強度的大小。

綜上，可知空間任意位置的磁感應強度。并根據(jù)其擬合出磁感線，已知三維空間中的某曲線(磁感線)在離散點上的方向(磁感應強度的方向)，擬合出該曲線。選擇使用擁有較高階的精度四階龍格庫塔法(圖7)，如式(2)

其中，u為磁感線上的第個點(的三維位置坐標)；為步長；函數(shù)()的參數(shù)是三維位置坐標，返回的是該位置的單位磁感應強度；u+1即為所求。

由于磁感線可視化算法的復雜性，本文很難令磁感線的生成達到動態(tài)交互的水平。然而，當螺線管的參數(shù)(如半徑、匝數(shù)、形狀)確定時，其周圍的磁場僅由通過螺線管的電流強度的大小決定。也就是說，對于同一個螺線管的磁感線的可視化，電流大小的改變會改變磁感線的根數(shù)(疏密)，而不會改變磁感線的形狀?；谏鲜龇治觯⑶铱紤]到中學的電生磁物理實驗中不會改變螺線管的半徑、匝數(shù)、形狀，而只會通過滑動變阻器改變通過電流強度的大小，故可先根據(jù)螺線管的參數(shù)生成足夠多根磁感線模型(這一步會花費較長的時間)，之后將模型整合到實驗中去，在實驗過程中可以動態(tài)地根據(jù)電流大小改變磁感線根數(shù)。

圖7 四階龍格庫塔法

4.2.3 磁感線的修正

由于該磁感線生成的方法是利用空間中的離散點來擬合一條連續(xù)的空間曲線，所以隨著迭代次數(shù)的增多，誤差也會隨之累積。大部分情況下，生成的磁感線并不能閉合。面對這個問題，可采取的策略是，當前點與起點的位置足夠近時就停止迭代。接著進行曲線的光滑檢測，如果檢測是不光滑的，就進行修正。即將原本累積到最后一點的誤差反向分散回去。由畢奧薩伐爾定理可知磁感線終點的磁感應方向，而終點與起點的連線理論也代表終點的磁感應方向，當兩者的向量夾角大于某一既定的閾值時，表示累積誤差過大，需要修正。

圖8展示了生成的磁感線由于誤差的累積致使在起點和終點處產(chǎn)生了很大的撕裂感。為了對初始生成的磁感線進行修正，使用能量最小化使得磁感線平滑，同一磁感線上的磁感應強度均勻變化。

圖8 誤差累積導致的磁感線不閉合

修正的做法是：從最后一點X開始逆向遍歷，對任意一點X，以其為圓心以步長為半徑的球面上選擇出使能量(X+1)最小的點，將其做為下一個X+1點。經(jīng)過多次遍歷，曲線會趨近平滑。為了在球面上取得能量最小的點，需通過在球面上隨機選取個點，并取其中能量最小的點，稱該點為能量最小點的合理近似。顯然，越大，最終的結(jié)果就越精確，但所耗費的時間也越長，經(jīng)過多次測試和權衡取舍，選取值為400。圖9和圖10分別對比了修正前和修正后的效果。

圖9 對多條磁感線修正的結(jié)果

圖10 左邊是修正前；右邊為修正后

4.3 基于實物套件的增強現(xiàn)實

現(xiàn)在的AR技術大多數(shù)基于人工二維標記和單目相機，當標記物與攝像機角度過大或者被遮擋時，三維注冊將會失敗，從而無法魯棒地增強現(xiàn)實，影響體驗效果。手持紙質(zhì)MARK做交互缺乏真實物體的觸感也不夠自然，所以需進行改進，制作了實物套件如圖11(a)所示，并采取多個相機協(xié)同對貼有MARK的實物進行三維注冊，既可以無死角地進行AR，又有拿取真實物體的觸覺。

本文使用海明編碼形式的MARK，不僅賦予每個MARK需要AR出何種物體，并且還要測量出需要貼MARK的實物的特定的幾何信息并進行記錄，在讀取MARK時就可以對三維注冊后的位姿進行偏移，讓虛擬的電源和螺線管模型AR到合適的位置，如圖11(b)所示。

圖11 電生磁實驗的真實場景和AR場景((a) MARK的設計；(b) AR出的虛擬物體)

5 實驗結(jié)果分析

5.1 實施細節(jié)

為了生成磁感線，在Unity3D環(huán)境中，執(zhí)行算法的計算機為：Intel Core(TM)i7-9700K CPU@3.00 GHz和Nvidia RTX 2060。

而虛實融合的物理實驗的實施細節(jié)為：Intel Realsense D435i在本研究中作為RGB-D主相機，2臺普通規(guī)格攝像頭作為RGB輔相機。本系統(tǒng)使用Unity3D進行研發(fā)。由多相機協(xié)同追蹤二維MARK的三維注冊技術使用OPENCV C＃在CPU上執(zhí)行，對于手部MARK連通域的判斷、三維重建等步驟也在CPU上執(zhí)行。此外，追蹤并分割手和手部MARK、虛實遮擋算法和一些特殊材質(zhì)、特效的仿真使用Cg語言在著色器上實現(xiàn)，并在GPU上執(zhí)行。

5.2 磁感線生成算法的時間復雜度分析

本文的磁感線生成算法(不考慮修正)涉及的參數(shù)有：①線圈的匝數(shù)；②將圓形線圈近似成正多邊形的邊數(shù)；③需要生成的磁感線的根數(shù)；④生成磁感線的步長(與生成的磁感線上的點的個數(shù)有關)。當=10，=10，=0.1 (螺線圈半徑為2)時，使用四階龍格庫法所耗時間測試見表3。

表3 時間復雜度分析(ms)

可以看到，在有、無修正的情況下，該離線算法的時間復雜度均為()。并且可以觀察到，有修正時的耗時要比無修正時多了約3個數(shù)量級，這主要與修正時的迭代次數(shù)和修正算法中“在球面上選擇能量最小的點”的個數(shù)有關。不過，幸運的是，在使用四階龍格庫塔方法時，修正引入額外的時間耗費幾乎為0，因為四階龍格庫塔方法具有高精度，首次生成的磁感線就已經(jīng)是平滑的了。

5.3 應用了磁感線仿真的AR物理實驗

將生成的磁感線整合到虛實結(jié)合的AR物理實驗中去。并在中學的電生磁實驗對其進行了測試?？梢钥吹?，實驗符合預期，而一個可視化的磁場毫無疑問地加強了學生對磁場的理解。圖12分別展示了在電流強度較小和較大時的磁場可視化。

圖12 虛擬實驗中部分仿真展示((a)電流較小時的磁場；(b)電流較大時的磁場)

最后，將本文系統(tǒng)與文獻[7]的工作進行了對比，如圖13所示。

圖13 虛擬實驗中部分仿真展示對比((a)文獻[7]的磁感線；(b)本文的磁感線)

可以看到，本文的磁感線更密集、更能完整地呈現(xiàn)出磁場的分布。而文獻[7]的磁感線是實時生成的，綜合考慮到時間效率的問題，其只能生成寥寥數(shù)根磁感線。并且，文獻[7]的AR場景并未考慮虛實遮擋關系，虛擬的磁感線完全疊加在真實的手之上，給予受眾的是不自然感。

綜上，本文系統(tǒng)達到了預期，生成的磁感線符合電磁理論，AR交互系統(tǒng)更加方便和自然。

6 總結(jié)和展望

本文通過龍格庫塔方法和獨創(chuàng)的修正技術繪制出符合物理規(guī)律的封閉光滑的磁感線。并應用于AR物理實驗中。將抽象的磁感線具象化，從而加強中學生對電磁學的理解，并通過交互式的操作(如滑動變阻器可以觀察到磁感線疏密的變化)加深中學生對磁感線這一物理概念的印象。此外，本文用到的仿真技術可以廣泛應用于其他的數(shù)物模擬中，使復雜抽象的數(shù)物概念變得直觀易懂，既緩解了學生的學習壓力，又減輕了教師的教學負擔，具有實際意義。

在后續(xù)的工作中，將繼續(xù)提升和改進模擬算法，令其在模擬精度上和在時間效率上均有所提高，并將其應用于使用AR技術的中學科學實驗中，包括電場線的可視化、磁場中帶電粒子運動軌跡的可視化等物理實驗中，使教師和學生從中獲益。

[1] LEE K. Augmented reality in education and training[J]. Tech Trends, 2012, 56(2): 13-21.

[2] ARICI F, YILDIRIM P, CALIKLAR ?, et al. Research trends in the use of augmented reality in science education: content and bibliometric mapping analysis[J]. Computers & Education, 2019, 142: 103647.

[3] AK?AY?R M, AK?AY?R G. Advantages and challenges associated with augmented reality for education: a systematic review of the literature[J]. Educational Research Review, 2017, 20: 1-11.

[4] GARZóN J, ACEVEDO J. Meta-analysis of the impact of augmented reality on students’ learning gains[J]. Educational Research Review, 2019, 27: 244-260.

[5] WANG T, ZHANG H, XUE X R, et al. Augmented reality-based interactive simulation application in double-slit experiment[J]. Online Engineering & Internet of Things, 2018, 2(1): 701-707.

[6] CHEN M P, LIAO B C. Augmented reality laboratory for high school electrochemistry course[C]//2015 IEEE 15th International Conference on Advanced Learning Technologies. New York: IEEE Press, 2015: 132-136.

[7] MATSUTOMO S, MANABE T, CINGOSKI V, et al. A computer aided education system based on augmented reality by immersion to 3-D magnetic field[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2017, 53(6): 1-4.

[8] CAI S, CHIANG F K, SUN Y C, et al. Applications of augmented reality-based natural interactive learning in magnetic field instruction[J]. Interactive Learning Environments, 2017, 25(6): 778-791.

[9] SOMMERAUER P, MüLLER O. Augmented reality in informal learning environments: a field experiment in a mathematics exhibition[J]. Computers & Education, 2014, 79: 59-68.

[10] MAIER P, KLINKER G. Augmented chemical reactions: an augmented reality tool to support chemistry teaching[C]//The 2nd Experiment@ International Conference (Exp.at’13). New York: IEEE Press, 2013: 164-165.

[11] WOZNIAK P, VAUDERWANGE O, CURTICAPEAN D, et al. Perform light and optic experiments in augmented reality[C]// Education and Training in Optics and Photonics: ETOP 2015. Bellingham: SPIE-INT SOC Optical Engineering, 2015, 9793: 97930H.

[12] ABRIATA L A. Towards commodity, web-based augmented reality applications for research and education in chemistry and structural biology[EB/OL]. [2018-06-21]. https://arxiv.org/abs/1806.08332.

[13] CAI S, WANG X, CHIANG F K. A case study of augmented reality simulation system application in a chemistry course[J]. Computers in Human Behavior, 2014, 37: 31-40.

[14] CAI S, CHIANG, WANG X. Using the augmented reality 3D technique for a convex imaging experiment in a physics course[J]. International Journal of Engineering Education, 2013, 29(4): 856-865.

[15] SINGHAL S, BAGGA S, GOYAL P, et al. Augmented chemistry: interactive education system[J]. International Journal of Computer Applications, 2012, 49(15): 1-5.

[16] AOKI Y. Augmented reality teaching aid for electromagnetic induction for middle school students[J]. The Journal of Information and Systems in Education, 2019, 18(1): 40-44.

[17] PITTMAN C, JOSEPH J. Determining design requirements for AR physics education applications[C]//2019 IEEE Conference on Virtual Reality and 3D User Interfaces (VR). New York: IEEE Press, 2019: 1126-1127.

[18] RAJU K C, YUGANDHAR K, BHARATHI D V N, et al. 3D based modern education system using augumented reality[C]//2018 IEEE 6th International Conference on MOOCs, Innovation and Technology in Education (MITE). New York: IEEE Press, 2018: 37-42.

Simulation of magnetic lines in AR physics experiments

MIAO Jin-da1, LUO Tian-ren2, CAI Ning2, ZHANG Ming-min1, PAN Zhi-geng2

(1. School of Computer Science and Technology, Zhejiang University, Hangzhou Zhejiang 310012, China; 2. Virtual Reality and Intelligent Systems Research Institute, Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang 311121, China)

This paper proposed a virtual-real fusion simulation method of magnetic lines suitable for middle school experiments, and explored a set of algorithms applicable to the properties of magnetic lines in 3D space. It was applied to the multi-modal natural interactive augmented reality (AR) experiment system. This algorithm employed RK4 to generate magnetic induction lines and adopted the minimum energy method to revise them when necessary. The AR system utilized augmented reality based on physical kits and the multi-camera cooperative AR three-dimensional registration to overcome the traditional problem of two-dimensional MARK tracking failure. Finally, an electro-magnetic experiment commonly conducted in middle school teaching was taken as an example to test this magnetic induction line generation algorithm. Tests results show that these magnetic induction lines conform to the laws of physics and can better facilitate the electromagnetics-related physical experiments, which is of practical significance. By magnifying the phenomenon of the experiment, it is conducive to students’ understanding of physical concepts.

magnetic lines; simulation; MARK; Runge Kutta method; revise

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2021010087

A

2095-302X(2021)01-0087-07

2020-08-07；

7August，2020；

2020-08-17

17August，2020

國家重點研發(fā)計劃項目(2018YFB1004900)

：State Key Research and Development Program (2018YFB1004900)

苗晉達(1996–)，男，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生。主要研究方向為物理模擬仿真。E-mail：384751024@qq.com

MIAO Jin-da (1996–), male, master student. His main research interest covers physically based simulation. E-mail：384751024@qq.com

張明敏(1968–)，女，浙江杭州人，副教授，博士。主要研究方向為虛擬現(xiàn)實、計算機圖形學等。E-mail：zhangmm@zju.edu.cn

ZHANG Ming-min (1968–), female, associate professor, Ph.D. Her main research interests cover virtual reality, computer graphics, etc. E-mail：zhangmm@zju.edu.cn