一種基于參數(shù)標(biāo)定的投影條紋周期簡易校正方法

（內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；內(nèi)蒙古自治區(qū)特殊服役智能機器人重點實驗室，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

引言

光學(xué)三維輪廓測量在逆向工程、機器人視覺、虛擬現(xiàn)實、醫(yī)學(xué)圖像診斷等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[1-2]。條紋投影測量法是一種重要的三維輪廓測量技術(shù)，具有非接觸、全場測量，測量速度快等優(yōu)點[3-4]。條紋投影三維輪廓測量系統(tǒng)通常需要偏轉(zhuǎn)投影儀的鏡頭光軸，獲得合適的光軸夾角。對于參考平面而言，此時處于傾斜投影狀態(tài)，需要采用遠心鏡頭投影[5]來保證條紋周期的一致性。如果采用普通鏡頭進行傾斜投影，則參考平面上條紋周期不再恒定，必然導(dǎo)致相位-高度映射模型復(fù)雜化[6]，對后續(xù)測量系統(tǒng)標(biāo)定帶來困難[7]。此外，若采用傅里葉變換法也就是傅里葉變換輪廓術(shù)[8-9]進行相位復(fù)原，會影響頻域濾波操作，甚至影響系統(tǒng)測量精度。特別是應(yīng)用在大視場測量時，這種現(xiàn)象對測量精度的影響會更加嚴重。

針對上述情況，可通過對投影條紋周期進行校正來解決，許多學(xué)者對此進行了研究。當(dāng)傾斜投影時，若把參考平面上的條紋周期看成恒定值，將會產(chǎn)生高度測量誤差。為此，Sansoni 等人[10]提出一個誤差補償算法作為校正措施。Maurel 等人[11]指出參考平面上條紋周期從左向右逐漸增大，如果得到傾斜投射角則可以得到參考面上的條紋周期表達式。Zhang 等人[12]、和Fu 等人[13]在傳統(tǒng)二維模型基礎(chǔ)上建立了光柵投影模型的方法，提高了測量精度。這2種方法需要事先測量出模型中的未知參數(shù)，例如Zhang的方法需要測量出投影儀光軸和攝像機光軸之間的夾角，測量難度較大；Fu的方法需要測量投影儀光心與攝像機光心之間的距離以及投影儀光心至參考平面的距離，由于投影儀與攝像機的光心位置難以確定，所以這2個幾何長度的準(zhǔn)確測量存在困難。邊心田等人[14]建立了雙光軸異面情況下的高度計算模型，并在模型中實現(xiàn)條紋周期預(yù)校正，主要是為了解決測量系統(tǒng)約束條件問題；但是仍存在類似前面方法的問題，需事先測量3個距離參數(shù)。李巖等人[15]提出一種無模型預(yù)校正方法，通過投射標(biāo)準(zhǔn)正弦條紋到參考平面，使用傅里葉條紋分析方法復(fù)原出非線性相位分布，對比理想線性相位分布反算新的待投影條紋；因為非線性相位分布與空間坐標(biāo)關(guān)系會給相位計算帶來誤差，并且條紋周期不便于控制。此外也有學(xué)者采用后處理技術(shù)消除非線性載波影響，如Srinivasan 等人[16]針對未校正條紋利用相位調(diào)制技術(shù)復(fù)原相位，采用相位映射方法得到高度數(shù)據(jù)。

上面的技術(shù)方法能夠在一定程度上消除條紋周期非線性變化所帶來的誤差。然而，處理過程或者復(fù)雜、可操作性較差，或者不能完全消除條紋周期誤差；多次實驗結(jié)果的重復(fù)性較差，校正效果存在不確定性。本文借鑒反向條紋投影思想實現(xiàn)投影條紋周期校正，以投影條紋圖像中各級條紋橫向坐標(biāo)為控制變量推導(dǎo)條紋周期校正理論模型。通過建立實驗系統(tǒng)，引入特定光柵圖案實現(xiàn)數(shù)學(xué)模型中未知參數(shù)標(biāo)定，進而生成反向投影條紋；最后通過條紋周期校正實驗和三維測量實驗進一步驗證本文方法正確性和有效性。

1 條紋周期校正理論模型

條紋投影三維測量原理如圖1所示，Ep和Ec分別為投影儀的出瞳和攝像機的入瞳。投影儀光軸和攝像機光軸相交于參考面R上O點，二者夾角為φ。投影平面和CCD平面分別與光軸和垂直。經(jīng)過Op點作參考面R的平行線作為虛擬平面I。

圖1 條紋投影三維測量系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of fringe projection 3D measurement system

由圖1可知，投影儀將周期性分布的條紋圖像（柵線垂直于投影平面，即平面）投射在參考平面R上，此時參考平面上的條紋從左向右逐漸增大，呈現(xiàn)非均勻變化。要使得R上的條紋為周期性分布，則虛擬平面I上的條紋同樣也應(yīng)該為周期性分布。假設(shè)A點為投影平面上任意一點，光線投射在參考面R上于B點，B點在成像系統(tǒng)（即CCD平面）中的像點為Bc點。另外的反向延長線交虛擬平面I于Bp點。過A點作平行于虛擬平面I的直線交光軸于于C點。設(shè)投影平面上A點的坐標(biāo)為Xp，即=Xp，該點在成像系統(tǒng)中對應(yīng)的像點Bc的坐標(biāo)為Xc，即=Xc。

另設(shè)由 ?BpOpEp與?ACEp相似可得

在 ?ACOp中，根據(jù)三角形定理可得

將（2）和（3）式代入（1）式可得

設(shè)投影儀與攝像機的放大倍率分別為M1=u和并設(shè)再由?BpOpEp～?BOEp、?BOEc～?BcOcEc得

進一步可得

式中：φ、u、M1和M2均為測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)或為恒定量，令 sinφ/uM1M2=a，cosφ/M1M2=b，于是（9）式可以簡寫為

式中：Xp與Xc單位均為像素。上式表明Xp/Xc與Xp呈明確的線性關(guān)系。這樣將原來的4個系統(tǒng)參數(shù)轉(zhuǎn)化為2個組合參數(shù)，盡管這2個參數(shù)a和b不具有明確的物理意義，但是它卻為后續(xù)的條紋周期校正提供了極大方便。

（10）式所示的數(shù)學(xué)模型中的2個參數(shù)的確切數(shù)值可通過標(biāo)定方法獲取。若得到a和b的數(shù)值后，也就建立了CCD平面與投影平面上各級條紋橫向坐標(biāo)之間的關(guān)系，即

經(jīng)投影條紋周期校正后得到的條紋應(yīng)為周期分布，即Xc與條紋級次為線性關(guān)系，因此可以將線性變化的Xc作為輸入量，再通過求取反函數(shù)計算出待投影條紋坐標(biāo)：

將其代入下面余弦函數(shù)：

便可設(shè)計出待投影條紋模式，然后經(jīng)該系統(tǒng)投影后便得到周期分布條紋。這里Ib和Im分別表示條紋的背景和調(diào)制度，f表示條紋頻率。

2 模型參數(shù)標(biāo)定

條紋投影實驗系統(tǒng)如圖2所示，投影儀傾斜投射，攝像機安裝在一維平移臺上可上下平移。計算機1 控制投影儀加載條紋圖像，計算機2 顯示和處理由攝像機獲取到的條紋圖像。實驗之前需調(diào)整攝像機光軸與參考平面垂直，以及投影儀光軸與攝像機光軸相交于參考平面。具體步驟為：投影儀投影一幅田字格圖像至參考平面，田字格目標(biāo)位于投影平面中心位置；攝像機拍攝參考平面上目標(biāo)圖像并在計算機2 實時顯示。打開攝像機控制軟件中的十字線（代表CCD 圖像平面坐標(biāo)系），上下一定范圍內(nèi)移動攝像機的過程中，通過調(diào)節(jié)攝像機位姿使控制軟件中的十字線始終與田字格中心線重合，由此完成系統(tǒng)調(diào)整。

圖2 條紋投影實驗系統(tǒng)Fig.2 Experimental system of fringe projection

通過實驗方式標(biāo)定數(shù)學(xué)模型（10）式中的未知參數(shù)時，輸入和輸出參量為條紋圖像中各級條紋的橫向坐標(biāo)。為了方便準(zhǔn)確地提取條紋位置坐標(biāo)，由計算機仿真產(chǎn)生一幅如圖3（a）所示的光柵圖像，大小為1 309×200像素，包含11條白色柵線，任意兩條相鄰白色柵線中心之間的距離為130像素。這里指出，投影圖像的大小只與顯示器分辨率、投影于參考平面上的視場范圍以及攝像機空間分辨率有關(guān)。將光柵圖像投影到參考平面后，攝像機拍攝到的投影條紋如圖3（b）所示，大小為1 361×200像素；計算出的條紋間距如圖4所示，由圖4可見條紋間距從左向右逐漸增加且呈非線性變化，最大最小間距之差為46像素。

圖3 未校正光柵條紋圖像Fig.3 Fringe images without correction

圖4 未校正條紋的間距Fig.4 Spacing of fringe without correction

以圖3所示2 幅光柵圖像左側(cè)第一級柵線為基準(zhǔn)，由此分別獲得各級條紋橫向坐標(biāo)Xp和Xc。對Xp/Xc和Xp進行線性擬合后有

式中：a=1.50×10?4，b=1.08。圖5給出了計算數(shù)據(jù)和擬合直線，二者吻合很好，這也進一步驗證了上述理論模型的正確性。

圖5 理論模型的擬合結(jié)果Fig.5 Fitting results of theoretical model

3 投影條紋周期校正實驗

獲得模型參數(shù)后代入（12）式得Xp=Xc/(1.08?1.50×10?4Xc)。其中Xc為線性坐標(biāo)，由1像素開始，其最大范圍結(jié)合攝像機空間分辨率、參考平面上投影視場范圍等條件給出。進一步代入（13）式可以設(shè)計出待投影余弦條紋，設(shè)Ib=Im=128，f=1/150，待投影余弦條紋如圖6（a）所示，大小為1 300×200像素；將其投射至參考平面，采集到校正后的條紋圖像如圖6（b）所示，大小為1 381×200像素。校正后條紋間距如圖7所示，間距變化不超出均值的±0.1像素范圍，說明本文方法能夠準(zhǔn)確獲得周期分布的投影條紋。

圖6 校正后投影條紋圖像Fig.6 Projection fringe image after correction

圖7 校正后條紋的間距Fig.7 Spacing of fringe after correction

4 三維輪廓測量實驗

針對周期校正前后的光柵條紋分別產(chǎn)生四步移相條紋后投影于參考平面。將一個平板作為測量對象，利用四步移相算法求解相位分布。對系統(tǒng)進行標(biāo)定后恢復(fù)出物體高度信息。投影條紋周期校正前后的物體測量結(jié)果分別如圖8和圖9所示。使用精度為0.02 mm 游標(biāo)卡尺多次測量得到物體的實際高度為8.22 mm；條紋校正前測量結(jié)果為7.304 mm，誤差為?0.916 mm；條紋校正后測量結(jié)果為8.242 mm，誤差為0.022 mm，測量誤差為校正前誤差的2.4%。

圖8 條紋周期校正前三維測量結(jié)果Fig.8 3D measurement results before fringe period correction

圖9 條紋周期校正后三維測量結(jié)果Fig.9 3D measurement results after fringe period correction

5 結(jié)論

提出一種新的投影條紋周期校正方法，推導(dǎo)出的校正模型只包含2個未知參數(shù)，且為明確的線性關(guān)系；在系統(tǒng)搭建時，投影儀出瞳與攝像機入瞳連線無需平行于參考平面，放寬了傳統(tǒng)方法對測量系統(tǒng)的約束條件。詳細介紹了實驗測量系統(tǒng)調(diào)整以及模型參數(shù)標(biāo)定過程，通過實驗在參考平面上獲得了周期性分布的投影條紋。該方法原理簡單、易于操作、結(jié)果準(zhǔn)確，可以應(yīng)用于投影條紋三維形貌測量中改善測量精度、降低系統(tǒng)標(biāo)定復(fù)雜性。尤其是在大視場、條紋數(shù)目少的測量場合，該方法的優(yōu)勢和價值將更為明顯。