中點(diǎn)聯(lián)想，模型魅力

羅麗云

1 原題呈現(xiàn)

如圖，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)E在邊AB上，BE=4;過點(diǎn)E作EF∥BC，分別交BD、CD于點(diǎn)G，F(xiàn)兩點(diǎn).若M，N分別是DG，CE的中點(diǎn)，則MN的長是________________________。

2 題目分析

本題源自2017年寧波中考卷第11題，是一道融推理與計(jì)算于一體的幾何綜合題。它考查知識眾多，內(nèi)涵豐富。

2.1 基本知識

考查了三角形的中位線，正方形、矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊的中線，平行線分線段成比例，勾股定理及逆定理，證明線段的數(shù)量關(guān)系等核心知識;

2.2 基本能力

考查學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力。

2.3 基本思想方法

考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想。

利用中點(diǎn)找到突破口，并歸納解決此類問題的條件、依據(jù)和模型，再進(jìn)一步挖掘問題的本質(zhì)，探究解題通法，落實(shí)解決此類問題的方法和策略，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3 學(xué)情分析

本題的難點(diǎn)是添加輔助線，關(guān)鍵信息是兩個中點(diǎn)。要求MN的長度，多數(shù)同學(xué)會想到勾股定理之類，但與MN有直接相關(guān)的條件不足，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線來解決本題，而學(xué)生可能會遇到的問題是不能從條件中提取關(guān)鍵有效的信息;不知道如何綜合利用條件進(jìn)行聯(lián)想，進(jìn)行添加輔助線，是學(xué)生的思維障礙所在。單個條件，添一條輔助線，學(xué)生容易，而多個條件，添多條輔助線，學(xué)生倍感困難。

4 解法賞析

同一個問題，從不同的角度探究與分析，有不同的解法。一題多解，有利于溝通各知識間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性和創(chuàng)造性。

【說明】：此法運(yùn)用等腰三角形的“三線合一”構(gòu)造直角三角形，利用矩形對角線性質(zhì)，及勾股定理，解題思路明確簡潔。

【說明】：證明線段相等，常常用全等、平行四邊形的性質(zhì)或圓的基本性質(zhì)等。因?yàn)椤鱀GF是等腰直角三角形，且M是DG的中點(diǎn)，結(jié)合正方形ABCD的性質(zhì)，易想到構(gòu)造方法2的“手拉手”型全等三角形。

5 拓展遷移

5.1 延伸拓展

如圖6，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點(diǎn)E在邊AB上，BE=4;過點(diǎn)E作EF∥BC，分別交BD、CD于點(diǎn)G，F(xiàn)兩點(diǎn).M，N分別是DG，CE的中點(diǎn)。

（1）求MN的長;

（2）延長CM交AD于H點(diǎn)，連接EH

①求證：EH=BE+DH;

②點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動時(shí)，△AEH的周長是否發(fā)生變化，若不變，請求出它的周長;若發(fā)生變化，請說明理由.

【說明】：添加（2）題 ① 是正方形“半角模型”的應(yīng)用;其次考查線段和差的證明，常用“截長補(bǔ)短”。②是將靜態(tài)問題變成動態(tài)問題，如何解決動態(tài)問題，對學(xué)生既是一個考驗(yàn)，也一個能力提升過程。

5.2 類題遷移

（2020河南14題）如圖，在邊長為的正方形ABCD中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長度為___________________________________。

6 題后反思

數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵是抓住關(guān)鍵信息，產(chǎn)生聯(lián)想。本題的關(guān)鍵信息是：兩個中點(diǎn)。由中點(diǎn)想到一些常見的圖形和結(jié)論：

多解歸一，通性通法：這5種方法其實(shí)歸結(jié)為兩種：第一種直接求MN的長度，有視角四和視角五;第二種利用轉(zhuǎn)化思想求，有視角一，視角二，視角三。

羅增儒教授說過，誰也沒法教會我們所有的題目，重要的是通過有限道題目去領(lǐng)會那種可以解決無限道題的素養(yǎng)。這就要求老師有相應(yīng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)去對題目進(jìn)行專業(yè)的解題分析，需要教師先跳進(jìn)“題?！?，然后幫助學(xué)生跳出“題?！?作為老師，只有不斷地思考和閱讀，才能增進(jìn)專業(yè)知識和增強(qiáng)專業(yè)技能，才能站在更高的視覺看待問題。通過一題多解，多解歸一，從不同的角度，不同的視角去分析和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，幫助學(xué)生構(gòu)建自己的知識體系和提升解題能力。

7 教學(xué)啟示

7.1 落實(shí)基礎(chǔ)，積累模型

一道綜合題，難在知識點(diǎn)多，圖形復(fù)雜，需要學(xué)生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)，能在復(fù)雜問題中抽象出基本概念，定理及基本圖形等，甚至要添加必要的輔助線，將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，這就需要我們在課堂教學(xué)中不斷挖掘、積累基本圖形，不斷幫助學(xué)生落實(shí)基礎(chǔ)知識和常規(guī)的解題思維，提高學(xué)生認(rèn)識幾何模型、運(yùn)用幾何模型、探究幾何模型的能力。學(xué)生只有基礎(chǔ)落實(shí)了，才會融會貫通，才能捕捉到關(guān)鍵信息，才能在復(fù)雜圖形中分離出基本模型，對問題的解決起到重要的作用。

7.2 變式教學(xué)，發(fā)散思維

通過變式教學(xué)，可以開闊學(xué)生思路，能使學(xué)生多角度地分析數(shù)學(xué)問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對學(xué)生思維的訓(xùn)練和能力的提升具有很大的幫助，也是新課標(biāo)對學(xué)生的基本要求。在探求多解之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生提煉各種解法的共性，進(jìn)行多解歸一，這樣可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，促進(jìn)對通性通法的認(rèn)識，逐步養(yǎng)成顧局全面的聯(lián)想意識，提高解題技巧與能力。

7.3 引導(dǎo)反思，自悟提升

著名數(shù)學(xué)家波利亞所言“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”。

任何數(shù)學(xué)解題策略的產(chǎn)生首先離不開解題者已有的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)（概念、公式、法則、定理，由基本圖形形成的“知識塊”及解題的基本思想方法等）。在課堂教學(xué)中，老師要加強(qiáng)引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建自己的知識體系，反思自己的學(xué)習(xí)方式方法;讓學(xué)生自己學(xué)會題型的歸類，歸納構(gòu)建基本理論和基本圖形，加強(qiáng)變式練習(xí)，一題多解練習(xí)，充分儲備自己的知識庫。比如引導(dǎo)學(xué)生動手重新畫圖做做，引導(dǎo)學(xué)生在畫圖中，感受基本圖形的“魅力”，找出題中直接決定解題成功關(guān)鍵的“基本圖形”;在畫圖中聯(lián)想每個已知的作用，聯(lián)想每個條件間的聯(lián)系……，通過畫圖，讓學(xué)生體會：心中有圖，處處有路。學(xué)生只有通過不斷地反思積累，不斷地逐漸內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，形成解決問題的自覺意識，才能提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

浙江省臨海市臨海中學(xué) （浙江省臨海市 317000）