王友漁，唐自新，李德倫，曾 磊，張昕蕊，王 念

(1.北京空間飛行器總體設(shè)計部空間智能機器人系統(tǒng)技術(shù)與應(yīng)用北京市重點實驗室，北京100094；2.北京衛(wèi)星制造廠，北京100094)

1 引言

空間機械臂是空間站建造、運營、維修及拓展等過程中不可或缺的關(guān)鍵設(shè)備，其精度是設(shè)計制造需要考慮的重要因素，也是開展高精度動力學(xué)與控制技術(shù)研究的基礎(chǔ)。

最具代表性的空間艙外機械臂是加拿大研制的大型遙操作臂系統(tǒng)(SSRMS)，安裝在國際空間站上。根據(jù)載人航天任務(wù)規(guī)劃，中國空間站也將配備一個大型七自由度空間站機械臂，目前已完成鑒定產(chǎn)品研制，開展了大量的精度設(shè)計、分析與驗證工作。當(dāng)前空間機械臂精度研究主要集中在針對地面機械臂建立位姿誤差模型，并進行相關(guān)的誤差分析上，研究方法具有一定的片面性，分析的誤差因素不全面。影響空間機械臂精度的因素很多，如制造及裝配的誤差、關(guān)節(jié)間隙誤差、控制誤差、計算誤差等地面機械臂常見誤差源，還有環(huán)境溫度影響等空間機械臂特有誤差源。特別是關(guān)節(jié)作為中國空間站大型空間機械臂的核心部件，采用多級傳動系統(tǒng)設(shè)計方案，如果采用傳統(tǒng)國家標(biāo)準(zhǔn)進行計算，其計算過程十分繁瑣復(fù)雜，很多參數(shù)需要查表，對標(biāo)準(zhǔn)制度的依賴性很強。王棟等在考慮關(guān)節(jié)誤差因素基礎(chǔ)上，建立了對誤差有綜合評價性能的機械臂精度模型。于登云、劉志全等針對大型空間機械臂關(guān)節(jié)重點研究了關(guān)節(jié)誤差及其柔性變形影響，并應(yīng)用于機械臂動力學(xué)建模及控制。何曉煦等為了提高飛機裝配機器人末端定位精度，提出了基于誤差相似度的殘差補償方法，實現(xiàn)對機器人的幾何參數(shù)誤差辨識及誤差補償，并完成了試驗驗證。龔星如、柯振輝等以六自由度串聯(lián)機器人為實驗對象，分別開展了機器人誤差因素和誤差源的綜合分析，并對特定構(gòu)型的機械臂末端誤差進行了試驗研究。Adel、Song等針對特種工業(yè)機器人精度預(yù)估及誤差補償技術(shù)開展研究工作，并用于提高機器人控制精度。劉冬雨等開展了七自由度機械臂在軌操作末端誤差的尺寸鏈分析，并利用手眼相機完成機械臂末端維修操作精度標(biāo)定策略研究及試驗驗證。然而上述研究均未考慮空間環(huán)境及構(gòu)型影響，不適用于特定構(gòu)型工況任務(wù)的高精度操作預(yù)估分析需求。

為了實現(xiàn)空間機械臂在軌不同任務(wù)構(gòu)型工況的快速高效精度分析，本文綜合各因素影響，采用綜合分析方法進行機械臂精度建模，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型編寫機械臂精度分析軟件，以輔助機械臂精度設(shè)計分析并指導(dǎo)工程制造及裝配，最后通過實例計算驗證所建數(shù)學(xué)模型與軟件的有效性。

2 空間機械臂精度影響因素分析

影響空間機械臂的精度因素主要包括以下4類:

1)參數(shù)因素:主要包括制造及裝配的誤差引起的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角輸出誤差、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸偏差、桿件長度誤差以及基座和目標(biāo)點安裝位置誤差等；

2)負載因素:包括桿件彈性變形、關(guān)節(jié)傳動剛度等，該部分為動態(tài)影響因素，不影響穩(wěn)態(tài)到位精度；

3)計算誤差:包括控制計算誤差、數(shù)據(jù)舍入誤差等，該部分相對其他誤差影響很??；

4)環(huán)境因素:包括溫度影響，噪聲擾動影響等。

根據(jù)對系統(tǒng)影響規(guī)律分析，上述因素可分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差。其中加工制造誤差、基座和目標(biāo)點安裝位置誤差等屬于系統(tǒng)誤差，可以通過精測標(biāo)定手段加以補償，但是對于關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角輸出誤差、關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸偏差、控制計算誤差以及環(huán)境因素影響等隨機誤差很難消除。

根據(jù)上述分析可知，機械臂精度主要由關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角輸出誤差，關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸誤差以及連桿幾何誤差等構(gòu)成。其中環(huán)境溫度影響可以等效分解到上述環(huán)節(jié)，也可以統(tǒng)一通過整臂熱分析計算。

1)各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角輸出誤差:各個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角輸出誤差對末端的影響效果與末端端點到關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸的垂直距離成正比。由于機械臂關(guān)節(jié)狀態(tài)在變化，因此各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角輸出誤差對末端的影響因子也會隨著各關(guān)節(jié)到機械臂末端端點的距離變化而變化。該項影響因子定義為α。

2)各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)軸偏差:即旋轉(zhuǎn)連桿除了在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面上旋轉(zhuǎn)外，還在過轉(zhuǎn)軸的平面上轉(zhuǎn)動角度。該影響因素也與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸與回轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)連桿中心線的交點到機械臂末端端點的距離成正比。該項影響因子定義為β。

3)連桿幾何誤差:主要考慮環(huán)境溫度影響導(dǎo)致的連桿熱變形誤差，空間機械臂連桿一般選用碳纖維材料時，該項誤差相比關(guān)節(jié)引起誤差可以忽略，但是關(guān)節(jié)等采用金屬材料的需要重點考慮。

關(guān)節(jié)精度通常包括上面提到的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角輸出誤差和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸偏差，而關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角輸出誤差又包括傳動誤差和回程誤差。影響嚙合齒輪傳動精度即傳動誤差的因素有:齒輪的剛度、齒輪的制造裝配誤差。而輪齒的厚度、齒輪副的中心距變化、齒輪副回轉(zhuǎn)中心的平行度誤差、輪齒齒向誤差、軸承間距和齒廓誤差等都會對齒輪副側(cè)隙有影響，另外環(huán)境溫度也會對齒輪的側(cè)隙產(chǎn)生影響。齒輪的側(cè)隙和單向傳動誤差組成齒輪的回程誤差。這些因素相互之間有耦合作用。

傳動系中各級齒輪對輸出精度的影響因子與各級齒輪轉(zhuǎn)速和輸出轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速之比成反比，因此首先考慮的是提高輸出軸附近齒輪的轉(zhuǎn)角輸出精度。根據(jù)齒輪的一般設(shè)計方法來選擇齒輪的傳動精度等級，設(shè)計齒輪側(cè)隙的時候要綜合考慮到空間環(huán)境溫度變化影響以及側(cè)隙對齒輪回程誤差的影響。

3 空間機械臂精度建模

本文通過機械臂運動學(xué)理論并綜合概率學(xué)知識建立考慮因素全面的空間機械臂精度分析模型。首先采用Denavit-Harterberg(D-H)參數(shù)法定義運動學(xué)模型中各名義參數(shù)關(guān)系，然后對運動學(xué)方程進行推導(dǎo)和分析，最終得到機械臂運動學(xué)模型。

某大型空間站七自由度機械臂全長約為10 m，包括7個關(guān)節(jié)和2個末端，其運動學(xué)參數(shù)坐標(biāo)系關(guān)系如圖1所示，參數(shù)數(shù)值參見表1。

圖1 機械臂運動學(xué)參數(shù)坐標(biāo)系Fig.1 Reference frame ofmanipulator kinematics

表1 某大型空間站機械臂運動學(xué)參數(shù)Table 1 Kinematic parameters of a large spacemanipulator

其中:θ為第i(i＝1，2，3)關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角(兩連桿法線的夾角)；d為兩連桿的相對位置；a為兩連桿的公法線距離；α為繞X軸由Z軸轉(zhuǎn)到Z軸的偏角；β為繞Y軸由Z軸轉(zhuǎn)到Z軸的偏角。并規(guī)定軸線平行關(guān)節(jié)d為0，軸線非平行關(guān)節(jié)β為0。

采用D-H參數(shù)建模方式建立廣義坐標(biāo)變換矩陣，根據(jù)平移和旋轉(zhuǎn)矩陣的先后關(guān)系，可以采用Tran(a，0，0)Rot(x，α)Tran(0，0，d)Rot(z，θ)Rot(y，β) 以 及 Rot(z，θ)Tran(0，0，d)Tran(a，0，0)Rot(x，α)Rot(y，β)兩種模式的建模方式。本軟件保留兩種建模方案，在實例計算時采用后者建立的相鄰連桿間廣義坐標(biāo)變換矩陣如式(1):

根據(jù)機械臂末端誤差定義，可得機械臂連桿i相對連桿i-1的誤差模型如式(2):

其中Δ為運動學(xué)微分變換矩陣，可表示為式(3):

其中d x，d y，d z和δx，δy，δz分別表示連桿i末端的位置和姿態(tài)誤差。

在實際過程中由于Δθ、Δd、Δa、Δα、Δβ等機械臂各參數(shù)誤差都很小，可以采用連桿間的微分運動學(xué)模型來代替，對坐標(biāo)變換矩陣進行全微分，代入式(2)和(3)可得式(4):

通過累計各連桿誤差形成機械臂末端總誤差模型如式(7):

4 空間機械臂精度分析

4.1 關(guān)節(jié)傳動誤差分析

如果關(guān)節(jié)齒輪傳動裝置的組成零部件沒有制造和安裝誤差，在工作時也沒有熱變形、彈性變形等的影響，那么在關(guān)節(jié)傳動過程中，輸入軸轉(zhuǎn)角φ和輸出軸轉(zhuǎn)角φ之間應(yīng)該符合理想的線性關(guān)系曲線，即φ和φ之比應(yīng)該是一個常數(shù)，等于總傳動鏈的傳動比，即i＝φ/φ。 實際上，各零部件不可能沒有制造、裝置誤差，而且在工作過程中還會產(chǎn)生熱變形和彈性變形。因此在傳動過程中輸出軸的轉(zhuǎn)角難免有誤差。

轉(zhuǎn)角誤差的角值φ與其在分度圓上的線值Δ之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系如式(8):

式中，m為模數(shù)，z為齒數(shù)。本文綜合國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的計算方法，提出基于統(tǒng)計學(xué)原理的關(guān)節(jié)精度計算方法。首先根據(jù)齒輪精度影響因素分析，區(qū)分出影響關(guān)節(jié)傳動準(zhǔn)確性誤差的因素，主要包括切向綜合偏差、齒距累積偏差、徑向跳動、徑向綜合偏差、公法線長度變動影響因素。然后利用概率統(tǒng)計理論，針對影響傳動準(zhǔn)確性誤差因素進行逐步分析:先計算影響傳動準(zhǔn)確性的單個齒輪傳動誤差，重點考慮制造裝配誤差影響；最后計算整個傳動鏈的傳動誤差，重點考慮傳動過程載荷作用變形影響。通過跳過現(xiàn)有方法中對齒輪副傳動誤差的計算，避免了定軸輪系中傳動副誤差累計且不易區(qū)分的現(xiàn)象。

基于概率分析齒輪傳動誤差時，由于傳動誤差屬于隨機誤差，因此應(yīng)該先列出傳動誤差的基本綜合式，然后利用概率統(tǒng)計理論，列出傳動誤差的統(tǒng)計學(xué)算式，求出均值和方差，最后通過式(9)所示求出考慮3倍方差的關(guān)節(jié)傳動系統(tǒng)的傳動誤差。

式中，Δφ為綜合轉(zhuǎn)角誤差；M(φ)為多次計算轉(zhuǎn)角誤差φ的均值；D(φ)為多次計算轉(zhuǎn)角誤差φ的方差。

4.2 機械臂整體精度分析

一般來說，給定運動學(xué)D-H參數(shù)誤差值，機器人在不同位姿下，末端的位置誤差不同。同樣，在同一姿態(tài)下，當(dāng)各個D-H誤差參數(shù)值在給定范圍內(nèi)變化時，末端位置誤差也不同。根據(jù)現(xiàn)有機械臂D-H參數(shù)模型可以得到機械臂特定姿態(tài)特定誤差時的末端誤差，但是不能給出在機械臂工作空間內(nèi)，給定關(guān)節(jié)傳動誤差范圍時的最大誤差。

空間機械臂末端誤差可以表示為如式(10)、(11)函數(shù):

其中θ表示各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角值，Δθ為各關(guān)節(jié)的 轉(zhuǎn) 角 誤 差 大 小。 若 令 x ＝(θ，…，θ，…θ；Δθ，…，Δθ，…Δθ)則可以將機械臂末端最大誤差值問題轉(zhuǎn)化為非線性最優(yōu)化問題，如式(12)所示。

其中A為4n行2n列矩陣，前2n行為單位矩陣，后2n行為單位矩陣乘以-1，b為4n維列向量，前2n個分量分別為θ，…，θ，…，θ，Δθ，…，Δθ，…，Δθ。 后2n個分量為-θ，…，-θ，…，-θ，-Δθ，…，-Δθ，…，-Δθ。

對于該類型的最優(yōu)化問題可以采用梯度投影法等進行求解。針對空間機械臂工作可靠性及安全性高的特點，本文提出一種求解系統(tǒng)最大末端誤差的方法，以保證足夠的安全距離。首先按照工作空間要求設(shè)置適合的關(guān)節(jié)角組合，確定機械臂末端姿態(tài)，然后在該姿態(tài)下搜索誤差組合值，使末端姿態(tài)最大。關(guān)節(jié)傳動誤差對機械臂末端端點位置誤差的影響程度取決于末端端點到關(guān)節(jié)原點或轉(zhuǎn)軸的距離，據(jù)此設(shè)計適合空間機械臂末端誤差搜索算法如下:

如圖2所示，θ是第i個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，p是第i＋1個坐標(biāo)系的原點，d是第i＋1個坐標(biāo)系的原點到基坐標(biāo)原點的距離。當(dāng)?shù)趇個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角變化時，第i＋1個坐標(biāo)系原點的軌跡為圓弧?；鴺?biāo)系原點到圓上點的距離有且只有一個最大值。其距離的變化規(guī)律類似正弦函數(shù)。用一般的二分法難以找到其最大值?？梢钥紤]先把整個角度變化區(qū)間等距離取20個角度值，對每個角度值求第i＋1個關(guān)節(jié)坐標(biāo)系原點到基坐標(biāo)系原點的距離。然后比較這些距離，找到距離最大值對應(yīng)的關(guān)節(jié)值。以該關(guān)節(jié)綜合傳動誤差范圍為搜索區(qū)間，然后利用三分法搜索距離最大值。

圖2 機械臂末端誤差搜索算法示意圖Fig.2 Diagram of search algorithm for end accuracy error of spacem anipu lator

5 算例分析

空間機械臂精度分析軟件由軟件界面和分析算法庫兩部分組成，根據(jù)分析層次其界面又分為關(guān)節(jié)精度分析界面和機械臂系統(tǒng)精度分析界面。用戶通過軟件界面輸入相關(guān)設(shè)計參數(shù)或指標(biāo)，并點擊界面命令按鈕，程序就會調(diào)用算法庫對用戶指定類型關(guān)節(jié)及機械臂進行精度分析。

5.1 關(guān)節(jié)精度分析

采用齒輪鏈傳動誤差分析方法建立的關(guān)節(jié)精度分析軟件框架總體布局如圖3所示。

圖3 關(guān)節(jié)精度分析界面Fig.3 Interface of joint accuracy analysis

關(guān)節(jié)精度分析界面可以分為四大區(qū)域:添加關(guān)節(jié)齒輪區(qū)、編輯關(guān)節(jié)齒輪區(qū)、齒輪嚙合關(guān)系設(shè)置區(qū)和計算結(jié)果顯示區(qū)。其中個數(shù)是指在同一轉(zhuǎn)速級別，具有該類型參數(shù)的齒輪的個數(shù)；載荷為該齒輪承受的轉(zhuǎn)矩，單位為Nm；配合間隙是考慮到齒輪安裝時的裝配誤差，可以為齒輪孔與齒輪軸的配合間隙，齒輪軸與軸承內(nèi)圈的配合間隙，軸承內(nèi)圈與外圈的配合間隙，軸承外圈與殼體的配合間隙，界面中各間隙順序沒有影響；泊松比和彈性模量是齒輪的材料屬性；壓力角為齒輪分度圓上壓力角，默認值為20°。在使用關(guān)節(jié)精度分析軟件過程中，先設(shè)置好各編輯框的值，然后單擊添加按鈕，則可添加相應(yīng)參數(shù)的齒輪到關(guān)節(jié)齒輪鏈當(dāng)中。齒輪添加區(qū)域增加的齒輪會在關(guān)節(jié)齒輪鏈編輯區(qū)域中顯示出來。并按照添加順序設(shè)置齒輪代號。

在給定機械臂關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料特性、加工精度及潤滑特性等輸入條件下，利用本軟件的關(guān)節(jié)精度分析模塊進行計算，即可得到關(guān)節(jié)輸出軸的傳動誤差和回程誤差均值，標(biāo)準(zhǔn)差以及最大值和最小值。該大型空間機械臂關(guān)節(jié)精度分析的軟件計算界面及結(jié)果參見圖4及表2所示。根據(jù)分析計算可得關(guān)節(jié)最大總轉(zhuǎn)角誤差約6′。

表2 關(guān)節(jié)精度計算結(jié)果Table 2 Calculated results of joint accuracy

圖4 關(guān)節(jié)精度計算結(jié)果Fig.4 Calculated results of joint accuracy

5.2 機械臂精度分析結(jié)果

機械臂末端最大誤差搜索頁面如圖5所示。其關(guān)節(jié)設(shè)置區(qū)域的主要功能是設(shè)置各個關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角范圍和各項角度誤差范圍。先選中關(guān)節(jié)序號下面的一個序號，然后再后面的編輯框中輸入相應(yīng)的數(shù)字，點擊設(shè)定按鈕，則設(shè)定一組值。之后列表框中會顯示各轉(zhuǎn)角范圍以及在當(dāng)前轉(zhuǎn)角范圍和轉(zhuǎn)角誤差范圍狀態(tài)下使末端位置誤差最大的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角值以及關(guān)節(jié)誤差值。同時最下面的理論位姿矩陣和實際位姿矩陣也會顯示最大誤差值時的位姿矩陣，右下角的編輯框中得到最大誤差距離預(yù)估值。

圖5 最大誤差搜索界面Fig.5 Interface ofmaximum error search

根據(jù)本機械臂精度分析軟件進行分析，其中關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差按5.1節(jié)的計算結(jié)果設(shè)置。在關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角±180°范圍約束和關(guān)節(jié)誤差范圍約束條件下，基于最大值搜索算法計算分析得到的機械臂系統(tǒng)末端精度結(jié)果界面如圖6所示，可以得到該大型空間機械臂末端最大位置誤差為23.02 mm，對應(yīng)該七自由度機械臂構(gòu)型為各關(guān)節(jié)角度依次為[0°，-180°，90°，0°，90°，180°，-180°]。

圖6 機械臂精度計算結(jié)果Fig.6 Calculated results ofmanipulator accuracy

已知該機械臂關(guān)節(jié)及末端外殼材料為鋁合金，熱膨脹系數(shù)23×10/K，溫差范圍80℃；臂桿材料為碳纖維，熱膨脹系數(shù)接近0，其變形忽略不計。根據(jù)空間環(huán)境溫度場熱變形理論分析計算可知，溫度影響導(dǎo)致的等效關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差約0.8′，機械臂末端位置誤差約6.5 mm。

因此考慮空間環(huán)境情況下，該空間機械臂的末端最大位置誤差約為23.02＋6.5＝29.52 mm，能夠滿足中國空間站任務(wù)要求。

5.3 試驗驗證

按照GB_T20868-2007《工業(yè)機器人＋性能規(guī)范及其試驗方法》標(biāo)準(zhǔn)，采用激光跟蹤儀在二維氣浮平臺對該機械臂工程樣機的末端精度進行了測試，如圖7所示。通過數(shù)據(jù)分析確定氣浮臺測試情況下機械臂工程樣機末端位置誤差為22.2 mm，與未考慮溫度影響前的機械臂末端最大位置誤差預(yù)估值23.02 mm接近，誤差不超過5%，證明了該精度分析方法的可靠性和準(zhǔn)確性。

圖7 空間機械臂工程樣機Fig.7 Prototype of a spacemanipulator

原機械臂的精度設(shè)計分析周期需要一周左右時間，現(xiàn)采用該軟件可以在2 h內(nèi)完成分析。因此采用該軟件能夠快速預(yù)估空間機械臂末端精度并應(yīng)用于實際在軌任務(wù)，其計算結(jié)果可以作為最大末端誤差進行保守預(yù)估，從而保證空間機械臂實際運行過程中預(yù)留足夠的安全距離。

6 結(jié)論

本文提出了一種大型空間冗余機械臂精度快速預(yù)估分析方法；設(shè)計的軟件經(jīng)試驗測試，能綜合考慮關(guān)節(jié)輸出精度、各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸誤差以及環(huán)境溫度等因素影響，可實現(xiàn)在軌不同任務(wù)構(gòu)型工況的空間機械臂末端精度快速預(yù)估，提高空間機械臂精度設(shè)計分析效率。