裴 植 戴 旭 袁依輪 易文超 陳 勇

浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，杭州，310023

0 引言

裝備制造業(yè)的發(fā)展水平是國(guó)家制造能力和科技實(shí)力的體現(xiàn)，在當(dāng)前生產(chǎn)網(wǎng)絡(luò)化大背景下已形成了以核心制造企業(yè)為主導(dǎo)，協(xié)同上下游企業(yè)和其他服務(wù)外包企業(yè)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[1]。面對(duì)突發(fā)公共衛(wèi)生事件，管理部門(mén)及相關(guān)企業(yè)需要快速響應(yīng)，包括及時(shí)分配應(yīng)急裝備物資、合理制定生產(chǎn)計(jì)劃來(lái)控制傳染病擴(kuò)散[2]，關(guān)鍵的應(yīng)急物資包括呼吸機(jī)、防護(hù)服等醫(yī)療裝備以及余氯快速測(cè)定儀等監(jiān)測(cè)裝備。在裝備生產(chǎn)過(guò)程中,系統(tǒng)狀態(tài)、質(zhì)量和關(guān)聯(lián)關(guān)系存在隨機(jī)性，制造服務(wù)信息具有時(shí)變性[3]。應(yīng)急裝備的制造需求呈現(xiàn)出實(shí)時(shí)性強(qiáng)和波動(dòng)性高的特征，從而實(shí)時(shí)影響著所對(duì)應(yīng)任務(wù)之間的功能需求和流程需求[4]，使得動(dòng)態(tài)資源的有效配置成為應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)中亟需解決的問(wèn)題之一。

為提高制造企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力，孫林巖等[5]提出融合制造與服務(wù)的服務(wù)型制造(service-oriented manufacturing, SOM)新模式，其整合、增值和創(chuàng)新等特點(diǎn)可促進(jìn)制造業(yè)結(jié)構(gòu)升級(jí)和區(qū)域經(jīng)濟(jì)的均衡發(fā)展。近十余年來(lái)，服務(wù)型制造作為一種新型制造模式越來(lái)越受到國(guó)內(nèi)外企業(yè)界和學(xué)術(shù)界的重視[6]，制造型服務(wù)商和服務(wù)型制造商組成的服務(wù)型制造網(wǎng)絡(luò)可整合資源、協(xié)同制造以及共享利益。服務(wù)型制造企業(yè)為簡(jiǎn)化生產(chǎn)環(huán)節(jié)以增強(qiáng)企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力，會(huì)模塊化分解生產(chǎn)工序，并將非核心制造業(yè)務(wù)外包給網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)企業(yè)，或在市場(chǎng)直接采購(gòu)原材料或半成品[7]?；诜?wù)型制造網(wǎng)絡(luò)云結(jié)構(gòu)，單子丹等[8]構(gòu)建了服務(wù)型制造網(wǎng)絡(luò)流程的優(yōu)化模型，其研究結(jié)果表明，客戶(hù)需求的不確定性會(huì)影響服務(wù)型制造網(wǎng)絡(luò)(service-oriented manufacturing network, SOMN)的制造流程。

原毅軍等[9]指出，裝備制造業(yè)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中存在耦合關(guān)系，不同企業(yè)在制造網(wǎng)絡(luò)中需要共享信息、相互協(xié)調(diào)，為核心制造企業(yè)提供支持。為定量化解決不確定需求下的應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，向峰等[10]制定了服務(wù)水平等級(jí)協(xié)議以對(duì)制造服務(wù)能效進(jìn)行評(píng)估。在應(yīng)急裝備生產(chǎn)過(guò)程中，生產(chǎn)數(shù)據(jù)信息具有隨加工過(guò)程的時(shí)變特性，這對(duì)跨企業(yè)間的數(shù)據(jù)、信息和知識(shí)的協(xié)同與交互效能提出了更高的要求，針對(duì)此，WU[11]將排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用于制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的性能分析。針對(duì)由制造集成商、服務(wù)承包商與需求市場(chǎng)組成的產(chǎn)品服務(wù)供應(yīng)鏈，彭永濤等[12]借助變分不等式探討各節(jié)點(diǎn)的最優(yōu)決策與均衡條件，分析產(chǎn)品服務(wù)關(guān)聯(lián)度、客戶(hù)異質(zhì)性偏好和服務(wù)水平對(duì)供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中自營(yíng)和外包服務(wù)流的影響。針對(duì)具有排隊(duì)現(xiàn)象的服務(wù)型供應(yīng)鏈，SCHONLEIN等[13]利用近似流體排隊(duì)模型分析了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。在制造車(chē)間層級(jí)，NEGRI等[14]基于開(kāi)環(huán)排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)和近似參數(shù)分解算法權(quán)衡生產(chǎn)資源投資成本和在制品的庫(kù)存成本，可有效求解作業(yè)網(wǎng)絡(luò)的資源分配。考慮供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)中商品的變質(zhì)具有不確定性，HANUKOV等[15]利用排隊(duì)模型減少產(chǎn)品在配送中心的駐留時(shí)間，并構(gòu)建了針對(duì)運(yùn)營(yíng)成本與碳排放的多目標(biāo)魯棒優(yōu)化模型。由于應(yīng)急裝備訂單的到達(dá)具有高度動(dòng)態(tài)性和不確定性，故本文假設(shè)制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的產(chǎn)品流具有時(shí)變函數(shù)形式，KIM等[16]的研究曾證明該函數(shù)形式的到達(dá)過(guò)程符合非齊次泊松過(guò)程(NHPP)的性質(zhì)。

應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)包括設(shè)施布局、資源配置以及資源調(diào)度等問(wèn)題。為解決裝備制造服務(wù)中的資源建模、資源需求、資源搜索、資源匹配和資源響應(yīng)等問(wèn)題，沈磊等[17]建立了面向裝備制造行業(yè)的云制造服務(wù)需求與資源響應(yīng)模型，并采用直覺(jué)梯形模糊集匹配算法進(jìn)行求解。針對(duì)應(yīng)急裝備的制造網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)需要同時(shí)考慮需求的不確定性和時(shí)效性，制造等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將會(huì)導(dǎo)致客戶(hù)撤銷(xiāo)訂單，故應(yīng)急裝備制造具有產(chǎn)品交貨期短、生產(chǎn)加工和運(yùn)輸時(shí)間短等苛刻的服務(wù)要求。針對(duì)有高時(shí)效性要求的制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，ASKIN等[18]結(jié)合時(shí)變的制造需求分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)，通過(guò)仿真方法驗(yàn)證近似算法的有效性。

現(xiàn)有文獻(xiàn)鮮有涉及在外部需求符合NHPP時(shí)，考慮帶有系統(tǒng)性能約束的制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)資源配置優(yōu)化問(wèn)題。為此，筆者首先建立一個(gè)三層級(jí)制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，據(jù)此構(gòu)建四個(gè)節(jié)點(diǎn)的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型；然后在滿(mǎn)足制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)水平下分別考慮每個(gè)環(huán)節(jié)的資源動(dòng)態(tài)配置問(wèn)題，提出基于排隊(duì)論的近似公式；最后通過(guò)數(shù)值算例分析與仿真驗(yàn)證檢查算法的有效性。本研究可為面向應(yīng)急裝備的制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)提供資源配置的理論依據(jù)和管理建議。

1 問(wèn)題描述與模型構(gòu)建

面向應(yīng)急裝備的制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)資源配置需考慮客戶(hù)需求到達(dá)的高波動(dòng)性及客戶(hù)需求的時(shí)效性特點(diǎn)。應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的耦合性質(zhì)使得每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的資源配置存在較大難度。本節(jié)將基于時(shí)變排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析，針對(duì)服務(wù)資源動(dòng)態(tài)配置問(wèn)題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并提出求解算法。

1.1 問(wèn)題描述

考慮一個(gè)以應(yīng)急裝備核心制造商主導(dǎo)上下游企業(yè)的外包型制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，其中核心制造商包含收貨理貨、加工制造以及包裝運(yùn)輸三個(gè)環(huán)節(jié)，首先由核心制造商收貨理貨，再根據(jù)生產(chǎn)計(jì)劃聯(lián)合生產(chǎn)承包商執(zhí)行制造服務(wù)，最后由核心制造商集中完成包裝運(yùn)輸。

當(dāng)客戶(hù)隨機(jī)產(chǎn)生制造需求后，會(huì)由下游制造商向核心制造商訂貨，訂單資金流由下游制造商指向核心制造商；核心制造商會(huì)將原材料需求發(fā)送至上游制造商，訂單資金流由核心制造商指向上游制造商；同時(shí)核心制造商為了提高自身效益會(huì)將非核心業(yè)務(wù)外包給生產(chǎn)承包商，訂單資金流由核心制造商指向生產(chǎn)承包商。信息流存在于兩兩交互的制造網(wǎng)絡(luò)各成員企業(yè)之間。上游制造商為下游制造商提供制造服務(wù)，其間原材料和在制品等產(chǎn)品方向則與訂單資金流方向相反，如圖1所示。

為有效控制制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)營(yíng)成本，制造商會(huì)提高資源利用率，不會(huì)超額配置制造服務(wù)資源數(shù)量。當(dāng)制造服務(wù)環(huán)節(jié)資源不足時(shí)，產(chǎn)品會(huì)出現(xiàn)等待現(xiàn)象從而在緩存區(qū)內(nèi)滯留，而產(chǎn)品等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致客戶(hù)取消制造需求，即產(chǎn)生客戶(hù)放棄制造服務(wù)的行為。為滿(mǎn)足每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的服務(wù)水平，即客戶(hù)放棄比例不超過(guò)管理人員設(shè)置的目標(biāo)值，筆者構(gòu)建優(yōu)化模型并設(shè)計(jì)求解算法來(lái)最優(yōu)化配置制造服務(wù)資源。

1.2 模型描述

由于應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)下游的訂單需求符合NHPP的性質(zhì)，因此產(chǎn)品流從上游制造商向下游制造商的傳輸過(guò)程也具有相應(yīng)的隨機(jī)波動(dòng)性，每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)在滿(mǎn)足服務(wù)水平的要求下都需最優(yōu)化安排各自資源。當(dāng)下游制造商有銷(xiāo)售需求時(shí)，會(huì)向核心制造商訂貨。核心制造商根據(jù)下游制造商的訂單信息向上游制造商購(gòu)買(mǎi)原材料半成品等產(chǎn)品。核心制造商從上游制造商處將原材料等收貨理貨后，將非核心業(yè)務(wù)的生產(chǎn)環(huán)節(jié)外包給生產(chǎn)承包商，由其完成后再交回包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)，產(chǎn)品經(jīng)包裝運(yùn)輸后送至下游制造商，每一個(gè)環(huán)節(jié)均存在緩存區(qū)供待加工產(chǎn)品暫存。

圖1 應(yīng)急裝備SOMN結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of SOMN for emergency equipment

結(jié)合圖1應(yīng)急裝備SOMN中核心制造商和生產(chǎn)承包商的產(chǎn)品流，組成收貨理貨、自營(yíng)制造核心業(yè)務(wù)、生產(chǎn)外包非核心業(yè)務(wù)和包裝運(yùn)輸四個(gè)環(huán)節(jié)，構(gòu)建如圖2所示的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型。圖2中，λi(t)為產(chǎn)品在時(shí)刻t到達(dá)制造服務(wù)環(huán)節(jié)i的速率函數(shù)；ξi(t)為時(shí)刻t客戶(hù)在緩存區(qū)i實(shí)際放棄的速率函數(shù)；σi(t)為時(shí)刻t產(chǎn)品在制造服務(wù)環(huán)節(jié)i完成后離開(kāi)的速率函數(shù)；Qi(t)為時(shí)刻t產(chǎn)品在緩存區(qū)i的等待的產(chǎn)品函數(shù)；Bi(t)為時(shí)刻t產(chǎn)品在制造服務(wù)環(huán)節(jié)i所需的繁忙服務(wù)資源函數(shù)；p為概率。其中，i=1,2,3,4。i=1表示收貨理貨環(huán)節(jié)；i=2表示自營(yíng)核心制造服務(wù)環(huán)節(jié)；i=3表示生產(chǎn)外包的承包服務(wù)環(huán)節(jié)；i=4表示包裝運(yùn)輸服務(wù)環(huán)節(jié)。為使模型貼合實(shí)際應(yīng)急裝備的加工過(guò)程，通過(guò)建立通用排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)表達(dá)服從一般分布的服務(wù)時(shí)間，并將排隊(duì)模型近似為8個(gè)無(wú)窮服務(wù)器(infinite server, IS)所組成的延遲服務(wù)器網(wǎng)絡(luò)(delayed infinite server network, DISN)模型。上游到達(dá)的產(chǎn)品承擔(dān)客戶(hù)的角色，核心制造商和生產(chǎn)承包商組成的4個(gè)環(huán)節(jié)所需配置的制造服務(wù)設(shè)施分別承擔(dān)服務(wù)器的角色。每一個(gè)環(huán)節(jié)的制造服務(wù)設(shè)施數(shù)量都是有限的，因此存在緩存區(qū)承擔(dān)隊(duì)列的角色，從而緩存區(qū)中的應(yīng)急裝備超過(guò)一定時(shí)間將會(huì)導(dǎo)致制造需求的撤銷(xiāo)即客戶(hù)放棄現(xiàn)象。

圖2 應(yīng)急裝備制造排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of emergency equipment manufacturing queueing network

服務(wù)型制造網(wǎng)絡(luò)中由核心制造商和生產(chǎn)承包商中的收貨理貨、自營(yíng)制造、生產(chǎn)外包和包裝運(yùn)輸4個(gè)環(huán)節(jié)組成了Mt/(GI,GI,GI,GI)/(st,st,st,st)+(GI,GI,GI,GI) 排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，前面4個(gè)GI分別表示4個(gè)環(huán)節(jié)的制造服務(wù)時(shí)間滿(mǎn)足一般獨(dú)立累積概率分布，后面4個(gè)GI分別表示顧客放棄等待時(shí)間服從一般獨(dú)立累積概率分布，4個(gè)st分別表示4個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)所配置的服務(wù)資源數(shù)量。產(chǎn)品流進(jìn)入核心制造商的收貨理貨環(huán)節(jié)為到達(dá)速率函數(shù)λ1(t)服從NHPP，因等待時(shí)間超過(guò)耐心范圍后客戶(hù)的放棄速率函數(shù)為ξ1(t)，產(chǎn)品在收貨理貨環(huán)節(jié)完成服務(wù)后的離開(kāi)速率函數(shù)為σ1(t)，假設(shè)自營(yíng)核心業(yè)務(wù)進(jìn)入核心制造環(huán)節(jié)的概率為p，即外包非核心業(yè)務(wù)進(jìn)入生產(chǎn)承包商的概率為1-p。由此，產(chǎn)品進(jìn)入核心制造環(huán)節(jié)的到達(dá)速率函數(shù)為λ2(t)=pσ1(t)，因等待時(shí)間過(guò)長(zhǎng)造成客戶(hù)放棄的放棄速率函數(shù)為ξ2(t)，產(chǎn)品在核心制造環(huán)節(jié)完成制造服務(wù)后的離開(kāi)速率函數(shù)為σ2(t)，隨即進(jìn)入包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)。產(chǎn)品進(jìn)入生產(chǎn)承包商的到達(dá)速率函數(shù)為λ3(t)=(1-p)σ1(t)，因等待時(shí)間超期產(chǎn)生放棄的放棄速率函數(shù)為ξ3(t)，產(chǎn)品在生產(chǎn)承包商完成制造服務(wù)后的離開(kāi)速率函數(shù)為σ3(t)，隨即進(jìn)入包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)。產(chǎn)品進(jìn)入包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的到達(dá)速率函數(shù)為λ4(t)=σ2(t)+σ3(t)，客戶(hù)放棄速率函數(shù)為ξ4(t)，產(chǎn)品在包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)完成服務(wù)后的離開(kāi)速率函數(shù)為σ4(t)。

1.3 模型構(gòu)建

基于1.2節(jié)建立的應(yīng)急裝備制造排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，在不超過(guò)目標(biāo)放棄比例的前提下，構(gòu)建最小化制造服務(wù)資源配置數(shù)量的優(yōu)化模型：

(2)

(3)

si(t)∈N0≤t≤T

(4)

i∈I,I={1,2,3,4}

式(1)表示目標(biāo)函數(shù)為制造服務(wù)最小化配置數(shù)量；式(2)表示產(chǎn)品在緩存區(qū)中的放棄數(shù)量不能超過(guò)目標(biāo)值εi，不等式左邊積分項(xiàng)為產(chǎn)品在緩存區(qū)中放棄事件的累計(jì)過(guò)程；在式(3)中由給定每一類(lèi)緩存區(qū)中的目標(biāo)放棄比例αi可算得目標(biāo)放棄數(shù)量εi，不等式右邊λi的積分項(xiàng)為產(chǎn)品在制造服務(wù)環(huán)節(jié)i到達(dá)的累計(jì)過(guò)程；式(4)表示4個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的資源配置數(shù)量均為非負(fù)整數(shù)N，時(shí)間取值范圍為0≤t≤T。

2 模型求解

由于1.3節(jié)的優(yōu)化模型難以直接求解，可采用流體近似算法[19]進(jìn)行分析。針對(duì)Mt/G/∞排隊(duì)模型，最早由EICK等[20]提出無(wú)限服務(wù)器(IS)近似算法計(jì)算繁忙服務(wù)器數(shù)量。針對(duì)考慮客戶(hù)放棄行為的Mt/GI/st+GI排隊(duì)模型，為了穩(wěn)定隊(duì)列性能，LIU等[21-22]提出DIS流體近似算法求得服務(wù)器配置策略。針對(duì)核心制造商和生產(chǎn)承包商組成的服務(wù)型制造網(wǎng)絡(luò)模型，本文將收貨理貨環(huán)節(jié)構(gòu)建為Mt/GI/st+GI排隊(duì)模型，而將自營(yíng)制造環(huán)節(jié)、生產(chǎn)外包和包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)均構(gòu)建為·/GI/st+GI排隊(duì)模型，符號(hào)“·”表示到達(dá)過(guò)程是上游制造服務(wù)環(huán)節(jié)的離開(kāi)過(guò)程。因此提出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的DISN近似算法分別對(duì)4個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)使用流體近似算法求解。

2.1 DISN近似算法

根據(jù)前文的應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提出基于排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型的DISN算法求解每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的資源配置數(shù)量。

證明：

2.2 低QoS下的DISN-OL近似算法

對(duì)于一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量Z，其均值為E[Z]，累積概率分布函數(shù)為H，H(x)≡P(Z≤x)。令Ze為服從He函數(shù)的隨機(jī)變量，He為H函數(shù)對(duì)應(yīng)的剩余生命周期的累積概率分布函數(shù)，即

其中，隨機(jī)變量Ze滿(mǎn)足

E[Ze]=E[Z2]/(2E[Z])

定理2 對(duì)于應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為Mt/(GI,GI,GI,GI)/(st,st,st,st)+(GI,GI,GI,GI)的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，產(chǎn)品到達(dá)速率為λi(t)。低服務(wù)水平即高目標(biāo)放棄比例αi>0，則對(duì)應(yīng)目標(biāo)等待時(shí)間為wi>0，使用DISN近似算法求解制造服務(wù)環(huán)節(jié)所需配置的繁忙資源數(shù)E[Bi(t)]和緩存區(qū)中應(yīng)急設(shè)備數(shù)量E[Qi(t)]的期望值：

(5)

(6)

證明：基于IS和DIS流體近似算法，提出的DISN近似算法用于求解排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的制造服務(wù)所需資源配置和緩存區(qū)中應(yīng)急裝備產(chǎn)品的數(shù)量。構(gòu)建Mt/GI/st+GI模型來(lái)近似處理·/GI/st+GI排隊(duì)模型。又將Mt/GI/st+GI模型拆成兩個(gè)Mt/G/∞串聯(lián)的排隊(duì)模型進(jìn)行近似分析，因此在不同制造服務(wù)環(huán)節(jié)i的資源配置和對(duì)應(yīng)緩存區(qū)內(nèi)的應(yīng)急裝備產(chǎn)品數(shù)量具有相同形式。

制造服務(wù)環(huán)節(jié)i的期望繁忙服務(wù)資源數(shù)量為

緩存區(qū)i內(nèi)的應(yīng)急裝備數(shù)量的期望值為

推論1制造服務(wù)資源可加性結(jié)合定理2可以推出核心制造商在包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的期望運(yùn)輸設(shè)備數(shù)量可拆分成兩類(lèi)不同產(chǎn)品分別計(jì)算，與直接計(jì)算聚合后所需期望繁忙運(yùn)輸設(shè)備數(shù)量一致，即

E[B4(t)]=E[B41(t)]+E[B42(t)]

(7)

證明：核心制造商完成自營(yíng)制造核心業(yè)務(wù)后產(chǎn)品離開(kāi)的速率函數(shù)為σ2(t)，結(jié)合定理2計(jì)算自營(yíng)制造完成后需要包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的期望繁忙設(shè)備數(shù)量E[B41(t)]；生產(chǎn)承包商完成生產(chǎn)外包非核心業(yè)務(wù)后產(chǎn)品離開(kāi)的速率函數(shù)為σ3(t)，結(jié)合定理2計(jì)算生產(chǎn)外包完成后需要包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的期望繁忙設(shè)備數(shù)量E[B42(t)]，即

其中，(t-w4)+表示若t-w4小于0則取0，否則取正值。同時(shí)可得λ4(t)=σ2(t)+σ3(t)，即產(chǎn)品到達(dá)包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的速率函數(shù)等于核心制造商完成自營(yíng)制造核心業(yè)務(wù)后產(chǎn)品離開(kāi)的速率函數(shù)加上生產(chǎn)承包商完成非核心業(yè)務(wù)后產(chǎn)品離開(kāi)的速率函數(shù)。

針對(duì)低服務(wù)水平QoS下即高放棄比例αi的應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)資源配置問(wèn)題，本文提出DISN-OL網(wǎng)絡(luò)近似算法。由管理人員設(shè)置每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)顧客的目標(biāo)放棄比例αi>0，則對(duì)應(yīng)緩存區(qū)內(nèi)應(yīng)急裝備產(chǎn)品的目標(biāo)等待時(shí)間為wi>0。每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)i的期望繁忙資源的數(shù)量為

(8)

對(duì)應(yīng)緩存區(qū)i內(nèi)的產(chǎn)品數(shù)量的期望值為

(9)

其中“∧”表示取小運(yùn)算。當(dāng)制造服務(wù)資源和對(duì)應(yīng)緩存區(qū)內(nèi)產(chǎn)品的數(shù)量在初始時(shí)刻t=0都為0時(shí)，利用定理2可求解每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的期望繁忙資源配置數(shù)量以及對(duì)應(yīng)緩存區(qū)內(nèi)的產(chǎn)品數(shù)量，其中，核心制造商在收貨理貨環(huán)節(jié)的期望員工數(shù)量為

(10)

核心制造商在收貨理貨環(huán)節(jié)的員工配置策略為

(11)

核心制造商在收貨理貨環(huán)節(jié)緩存區(qū)內(nèi)產(chǎn)品數(shù)量的期望值為

(12)

核心制造商在自營(yíng)制造環(huán)節(jié)的期望繁忙生產(chǎn)設(shè)備數(shù)量

(13)

核心制造商在自營(yíng)制造環(huán)節(jié)的生產(chǎn)設(shè)備配置策略為

(14)

核心制造商在自營(yíng)制造環(huán)節(jié)緩存區(qū)內(nèi)產(chǎn)品數(shù)量的期望值為

(15)

生產(chǎn)承包商在生產(chǎn)外包非核心業(yè)務(wù)環(huán)節(jié)的期望繁忙制造設(shè)備數(shù)量

(16)

生產(chǎn)承包商在生產(chǎn)外包非核心業(yè)務(wù)環(huán)節(jié)的制造設(shè)備配置策略為

(17)

生產(chǎn)承包商在生產(chǎn)外包非核心業(yè)務(wù)環(huán)節(jié)的緩存區(qū)內(nèi)產(chǎn)品數(shù)量的期望值

(18)

核心制造商在包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)期望繁忙運(yùn)輸設(shè)備數(shù)量

(19)

核心制造商在包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的運(yùn)輸設(shè)備配置策略

(20)

核心制造商在包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的緩存區(qū)內(nèi)產(chǎn)品數(shù)量的期望值

(22)

DISN-OL近似算法對(duì)低服務(wù)水平QoS的求解非常有效，且具有數(shù)學(xué)解析式，但對(duì)高服務(wù)水平QoS下應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)的資源配置問(wèn)題用DISN-OL求解的效果并不理想，因此繼續(xù)用修正的DISN-MOL近似算法以滿(mǎn)足低目標(biāo)放棄比例。

2.3 高QoS下的DISN-MOL近似算法

考慮應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)資源配置問(wèn)題中帶有高服務(wù)水平QoS約束即低目標(biāo)放棄比例αi，筆者進(jìn)一步開(kāi)發(fā)了DISN-MOL近似算法，該算法結(jié)合了單節(jié)點(diǎn)DIS-MOL近似算法和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)DISN-OL近似算法。分別先由DISN-OL算法推出每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)i所需的服務(wù)資源E[Bi(t)]，再轉(zhuǎn)化得到各制造服務(wù)環(huán)節(jié)的修正到達(dá)率

(23)

(24)

其中，δk表示當(dāng)緩存區(qū)中有k個(gè)顧客時(shí)的放棄率，πj表示隊(duì)伍中有j個(gè)顧客的穩(wěn)態(tài)概率。對(duì)于任意時(shí)刻t，遍歷搜索制造服務(wù)資源的最優(yōu)配置數(shù)量，尋找最小非負(fù)整數(shù)si使得顧客的期望等待時(shí)間E[Wsi(∞)]≤wi。同時(shí)緩存區(qū)i內(nèi)應(yīng)急裝備數(shù)量的期望值為

(25)

3 算例驗(yàn)證

新型冠狀病毒肺炎(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新冠肺炎”)COVID-19在2020年爆發(fā)，引發(fā)了全球公共衛(wèi)生重大事件。為防止疫情擴(kuò)散，不同國(guó)家和地區(qū)分別采取居家辦公學(xué)習(xí)、減少公共出行、擴(kuò)大核酸檢測(cè)等應(yīng)對(duì)措施。隨著生產(chǎn)生活的逐步恢復(fù)，Morgen Stanley預(yù)測(cè)美國(guó)將在2021年春季爆發(fā)第二波疫情，如圖3所示，新冠肺炎患者確診人數(shù)具有時(shí)間波動(dòng)性。在常態(tài)化疫情防控措施下，醫(yī)療衛(wèi)生物資等應(yīng)急裝備的需求呈現(xiàn)出相應(yīng)的時(shí)序性特征，符合NHPP的假設(shè)。

圖3 Morgen Stanley預(yù)測(cè)COVID-19在美國(guó)確診趨勢(shì)Fig.3 Diagnosis trend of COVID-19 in the US by Morgen Stanley prediction

在應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)EE-SOMN中，相應(yīng)的產(chǎn)品到達(dá)當(dāng)前制造服務(wù)環(huán)節(jié)的過(guò)程服從NHPP。應(yīng)急裝備產(chǎn)品到達(dá)的速率函數(shù)為正弦函數(shù)λ1(t)=a+bsin(c(t-φ))，表示在不同的時(shí)間范圍內(nèi)產(chǎn)品到達(dá)的波動(dòng)性[16-18]，T為計(jì)劃時(shí)間，φ為相位差。

3.1 低QoS下的EE-SOMN系統(tǒng)

結(jié)合圖2的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，研究低服務(wù)水平QoS下EE-SOMN系統(tǒng)。制造服務(wù)環(huán)節(jié)的目標(biāo)放棄比例α1=0.15,α2=0.12,α3=0.12,α4=0.1，外部產(chǎn)品到達(dá)收貨理貨環(huán)節(jié)的速率函數(shù)參數(shù)為a=100,b=20,c=1,φ=π/2，每個(gè)環(huán)節(jié)的制造服務(wù)速率μ1=5,μ2=3,μ3=2,μ4=4,，每個(gè)環(huán)節(jié)的客戶(hù)放棄率θ1=1,θ2=1.5,θ3=1.5,θ4=2，自營(yíng)制造核心業(yè)務(wù)的比例為p=0.6，則生產(chǎn)外包非核心業(yè)務(wù)的比例為1-p=0.4，四個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)分別為i=1,2,3,4，T=13表示最大計(jì)劃期為13個(gè)月。

假設(shè)外部產(chǎn)品到達(dá)收貨理貨環(huán)節(jié)的速率函數(shù)λ1(t)為正弦函數(shù)，每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的資源配置數(shù)量為si(t)。在圖4中，藍(lán)色實(shí)線(xiàn)si-alg(t)表示制造服務(wù)環(huán)節(jié)i資源配置數(shù)量的DISN-OL近似算法值，紅色虛線(xiàn)si-sim(t)表示在仿真中的實(shí)際取值。s1(t)表示在收貨理貨環(huán)節(jié)的員工配置策略，s2(t)表示自營(yíng)制造核心業(yè)務(wù)環(huán)節(jié)的生產(chǎn)設(shè)備配置策略，s3(t)表示生產(chǎn)外包非核心業(yè)務(wù)環(huán)節(jié)的制造設(shè)備配置策略，s4(t)表示包裝運(yùn)輸環(huán)節(jié)的設(shè)備配置策略。

圖4 低QoS下資源配置數(shù)量Fig.4 Resource allocation under low QoS

圖5 低QoS下顧客的期望等待時(shí)間Fig.5 Expected delay of customer under low QoS

針對(duì)低服務(wù)水平QoS下的應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)DISN-OL近似算法求解各制造服務(wù)環(huán)節(jié)的資源配置策略。圖5中對(duì)應(yīng)緩存區(qū)內(nèi)產(chǎn)品實(shí)際的等待時(shí)間Wi(t)都近似逼近目標(biāo)等待時(shí)間wi，有效驗(yàn)證了DISN-OL算法。在圖5的數(shù)值結(jié)果中存在初始下降現(xiàn)象，因?yàn)樗膫€(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)分別在時(shí)刻t=w1，t=w1+w2，t=w1+w3，t=w1+w4+min(w2,w3)開(kāi)始配置資源，故算法仍然具有有效性。

通過(guò)DISN-OL近似算法求解各制造服務(wù)環(huán)節(jié)的資源配置策略，圖6中對(duì)應(yīng)緩存區(qū)i內(nèi)應(yīng)急裝備產(chǎn)品實(shí)際的放棄比例PoAi都趨向穩(wěn)定于目標(biāo)放棄比例α1=0.15，α2=0.12，α3=0.12,α4=0.1，有效驗(yàn)證，DISN-OL算法。

圖6 低QoS下顧客的放棄比例Fig.6 Abandonment probability under low QoS

3.2 高QoS下的EE-SOMN系統(tǒng)

結(jié)合圖2的排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型，考慮高服務(wù)水平QoS下的EE-SOMN系統(tǒng)。四個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的目標(biāo)放棄比例分別為α1=0.05，α2=0.02，α3=0.02，α4=0.01；其他系統(tǒng)參數(shù)均同3.1節(jié)。

假設(shè)外部產(chǎn)品到達(dá)收貨理貨環(huán)節(jié)的速率函數(shù)同為λ1(t)，每個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的資源配置數(shù)量為si(t)。圖7中紅線(xiàn)si-sim(t)和藍(lán)線(xiàn)si-alg(t)完全重合，說(shuō)明制造服務(wù)資源在仿真中的實(shí)際取值由DISN-OL算法得到的資源配置近似值嚴(yán)格決定，從而驗(yàn)證了在給定目標(biāo)放棄比例αi下筆者提出的DISN-MOL算法的有效性。

圖7 高QoS下資源配置數(shù)量Fig.7 Resource allocation under high QoS

針對(duì)高服務(wù)水平QoS下的應(yīng)急裝備制造服務(wù)網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)DISN-MOL改進(jìn)算法求解各個(gè)制造服務(wù)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)資源配置策略。圖8中緩存區(qū)內(nèi)的產(chǎn)品實(shí)際等待時(shí)間Wi(t)都實(shí)現(xiàn)了不超過(guò)目標(biāo)等待時(shí)間wi，有效驗(yàn)證了DISN-MOL改進(jìn)算法。因假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為空，后3組曲線(xiàn)的開(kāi)始階段實(shí)際等待時(shí)間先上升再穩(wěn)定逼近目標(biāo)等待時(shí)間，驗(yàn)證了改進(jìn)算法能有效配置資源。

圖8 高QoS下客戶(hù)的期望等待時(shí)間Fig.8 Expected delay of customer under high QoS

通過(guò)DISN-MOL改進(jìn)算法求解動(dòng)態(tài)資源配置策略，圖9中每個(gè)緩存區(qū)內(nèi)客戶(hù)實(shí)際的放棄比例PoAi(t)分別趨向穩(wěn)定于目標(biāo)放棄比例(α1=0.05,α2=0.02,α3=0.02,α4=0.01)，從而有效驗(yàn)證了DISN-MOL改進(jìn)算法。

圖9 高QoS下客戶(hù)的放棄比例Fig.9 A bandonment probability under high QoS

4 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)的高波動(dòng)性和高時(shí)效性，本文建立了有客戶(hù)放棄的時(shí)變排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)模型。基于排隊(duì)理論構(gòu)造各制造服務(wù)環(huán)節(jié)的最小化資源配置策略，同時(shí)控制應(yīng)急裝備的實(shí)際放棄比例低于目標(biāo)放棄比例。針對(duì)低服務(wù)水平的應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)提出DISN-OL算法，以及針對(duì)高服務(wù)水平的應(yīng)急裝備制造網(wǎng)絡(luò)提出改進(jìn)DISN-MOL算法，分別得到相應(yīng)的制造服務(wù)資源配置策略。在數(shù)值算例中通過(guò)離散事件仿真驗(yàn)證了兩種網(wǎng)絡(luò)近似算法的有效性。