鄭毓信 (南京大學(xué)哲學(xué)系 210093)

1 “小數(shù)”的啟示

何謂“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”(包括小學(xué)與中學(xué)階段)？由于相對(duì)于中學(xué)而言，這一論題應(yīng)當(dāng)說(shuō)在小學(xué)獲得了更多關(guān)注，因此，我們就可通過(guò)對(duì)于后一方面工作的綜合考察引出關(guān)于如何做好“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”的直接啟示．主要包括這樣幾點(diǎn)：

第一，“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”不應(yīng)僅僅被理解成將更高層面的一些內(nèi)容“下放”到較低層次，如將方程、負(fù)數(shù)等原先屬于中學(xué)的內(nèi)容提前到小學(xué)進(jìn)行教學(xué)．當(dāng)然，我們不應(yīng)完全排斥后一方面的工作，而應(yīng)進(jìn)行積極、慎重的探索與試點(diǎn)，但這又不應(yīng)被看成“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”的主要涵義，因?yàn)椋笳邞?yīng)當(dāng)集中于觀念的問(wèn)題，也即相應(yīng)的指導(dǎo)思想，包括后者對(duì)于具體內(nèi)容教學(xué)的指導(dǎo)與滲透．

第二，這是小學(xué)層面在論及數(shù)學(xué)教育改革時(shí)經(jīng)常提到的一個(gè)話(huà)題，即是“代數(shù)思維的滲透”，后者并被看成為小學(xué)教師更好從事算術(shù)內(nèi)容的教學(xué)指明了努力方向，特別是，我們應(yīng)當(dāng)切實(shí)做好由“程序性(操作性)觀念”向“結(jié)構(gòu)性(關(guān)系性)觀念”的轉(zhuǎn)變，這也就是指，教學(xué)中我們不應(yīng)唯一關(guān)注如何能夠通過(guò)正確的計(jì)算去求得所需的結(jié)果，而應(yīng)更加注重?cái)?shù)量關(guān)系、特別是等量關(guān)系的分析．以下就是這方面的一段相關(guān)論述：

小學(xué)低年級(jí)的教學(xué)中需要特別強(qiáng)調(diào)對(duì)等式的理解……在小學(xué)一年級(jí)時(shí)經(jīng)常會(huì)讓學(xué)生口算，比如3+4，這里值得注意的是我們要強(qiáng)調(diào)3+4“等于”7，而不要說(shuō)“得到”7．因?yàn)檫@里的等號(hào)有兩個(gè)層面的意義：一是計(jì)算結(jié)果，就是我們經(jīng)常說(shuō)的“得到”；二是表示“相等關(guān)系”．我們?cè)趯W(xué)生剛接觸等號(hào)時(shí)就要幫助他們建立起對(duì)等號(hào)的這種相等關(guān)系的理解．因此，有時(shí)候讓一年級(jí)的學(xué)生接觸 7=3+4這樣的算式是有必要的，因?yàn)樵谶@樣的算式中，你就沒(méi)法將等號(hào)說(shuō)成“得到”．當(dāng)然，這里也要嘗試讓學(xué)生理解7同樣也等于4+3，3+4=4+3……在這之后，可以讓學(xué)生嘗試看兩邊都不止一個(gè)數(shù)的等式，如17+29= 16+30……此外，還可以給學(xué)生利用相等關(guān)系判斷正誤的式子，比如，199+59=200+58，148+68=149+70-2，149+68=150+70-3．[1]

第三，盡管強(qiáng)調(diào)“代數(shù)思維的滲透”有一定道理，但這又應(yīng)被看成“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”的一個(gè)實(shí)例：盡管由此我們也可獲得關(guān)于后一方面工作的重要啟示，但仍然不應(yīng)以特殊代替一般，這也就是指，即使就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，我們也不應(yīng)將“代數(shù)思維的滲透”看成“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”的全部涵義，而應(yīng)從更高層面做出進(jìn)一步的研究．

上述分析對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)然也是成立的，包括我們應(yīng)當(dāng)針對(duì)中學(xué)教學(xué)的具體內(nèi)容做出相關(guān)研究，如初中數(shù)學(xué)教學(xué)是否應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)“變量思想的滲透”等．

第四，與各種具體數(shù)學(xué)思想的分析相對(duì)照，所謂“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”應(yīng)當(dāng)更加重視圍繞數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)進(jìn)行分析思考，也即應(yīng)當(dāng)以這一方面的基本認(rèn)識(shí)自覺(jué)地指導(dǎo)日常的教學(xué)工作．以下就是這方面工作特別重要的兩個(gè)環(huán)節(jié)：

(1)關(guān)于數(shù)學(xué)教育基本目標(biāo)的認(rèn)識(shí)應(yīng)當(dāng)切實(shí)可行，而不應(yīng)停留于“大而空”的論述．例如，關(guān)于“深度學(xué)習(xí)”的以下論述就可被看成后一方面的一個(gè)典型例子：“深度學(xué)習(xí)‘深’在哪里？首先‘深’在人的心靈里，‘深’在人的精神境界上，還‘深’在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，‘深’在教學(xué)規(guī)律中．”[2]

更一般地說(shuō)，我們既應(yīng)明確肯定一般性教育理論的指導(dǎo)作用，但又應(yīng)當(dāng)從專(zhuān)業(yè)的角度做出進(jìn)一步的分析思考．例如，這顯然也是我們面對(duì)“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”這一總體性教育思想應(yīng)當(dāng)采取的立場(chǎng)，特別是，我們不應(yīng)滿(mǎn)足于能夠正確地去復(fù)述“核心素養(yǎng)”的“3個(gè)方面、6大要素、18個(gè)基本要點(diǎn)”，并能通過(guò)逐條對(duì)照去發(fā)現(xiàn)每一堂課的不足之處與努力方向；恰恰相反，作為數(shù)學(xué)教育工作者，我們應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步去思考數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)學(xué)科對(duì)于提升個(gè)人與社會(huì)的整體性素養(yǎng)究竟有哪些特別重要、甚至是不可取代的作用，并能通過(guò)“理論的實(shí)踐性解讀”很好落實(shí)于自己的每一天工作、每一堂課！

以下就是筆者在這一方面的具體思考：數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)應(yīng)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，特別是，能幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)更清晰、更深入、更全面、更合理地進(jìn)行思考，并能由理性思維逐步走向理性精神．[3]進(jìn)而，這又應(yīng)被看成“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”的主要涵義，即我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的教學(xué)很好落實(shí)上述的主張，而不應(yīng)滿(mǎn)足于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的教學(xué)．簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的這樣一個(gè)境界，即是“用深刻的思想啟迪學(xué)生”．

在此我們并應(yīng)對(duì)“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維”與“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”做出明確的區(qū)分．相信讀者由以下分析即可清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)，包括我們?yōu)槭裁床粦?yīng)將所謂的“三會(huì)”(會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界[4])看成數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)：大多數(shù)學(xué)生將來(lái)未必會(huì)從事數(shù)學(xué)或其他與數(shù)學(xué)直接相關(guān)的工作，“數(shù)學(xué)思維”也不是唯一合理的思維形式(對(duì)于“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”和“數(shù)學(xué)眼光”我們顯然也可引出同樣的結(jié)論)，從而，與后一主張相對(duì)照，我們就應(yīng)更加注重著名數(shù)學(xué)家波利亞的以下論述：“一個(gè)教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)．對(duì)學(xué)生灌注有益的思維習(xí)慣和常識(shí)也許不是一件太容易的事，一個(gè)數(shù)學(xué)教師假如他在這方面取得了成績(jī)，那么他就真正為他的學(xué)生們(無(wú)論他們以后是做什么工作的)做了好事．能為那些70%的在以后生活中不用科技數(shù)學(xué)的學(xué)生做好事當(dāng)然是一件最有意義的事情．”[5]

進(jìn)而，依據(jù)上面分析相信讀者也可更好理解筆者為什么又要提出努力做好“數(shù)學(xué)深度教學(xué)”這樣一個(gè)主張，后者即是指，數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)思維方法和策略過(guò)渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升，并應(yīng)幫助學(xué)生由在教師(或書(shū)本)指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，包括善于通過(guò)同學(xué)之間的合作與互動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人．簡(jiǎn)言之，這就是對(duì)于這里所說(shuō)的“高觀點(diǎn)”的進(jìn)一步解讀．[6]

(2)盡管相關(guān)論述提到了三個(gè)“深化”或“提升”，但我們并不應(yīng)將其中的對(duì)立雙方，如“具體知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)”與“思維的學(xué)習(xí)”等，看成絕對(duì)地相互排斥、互不兼容的，我們更不應(yīng)脫離數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)去從事一般性思維策略的教學(xué)和努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)，而應(yīng)更加注重后者的滲透與指導(dǎo)，從而使我們的教學(xué)達(dá)到更大的深度．再者，由于中小學(xué)教學(xué)內(nèi)容不同，從而在這方面也應(yīng)有不同的要求，特別是，我們應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平很好地去把握相應(yīng)的“度”，而不應(yīng)好高騖遠(yuǎn)，脫離實(shí)際；但就總體而言，我們又應(yīng)始終堅(jiān)持促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展這樣一個(gè)總方向，特別是，努力做好以下一些方面的工作：聯(lián)系的觀點(diǎn)與思維的深刻性，變化的思想與思維的靈活性，總結(jié)、反思和再認(rèn)識(shí)與思維的自覺(jué)性．

第五，我們應(yīng)清楚地看到切實(shí)做好“高觀點(diǎn)指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”的現(xiàn)實(shí)意義：當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在很大程度上被看成完全集中于“習(xí)題教學(xué)”，現(xiàn)實(shí)中更可看到“題海戰(zhàn)術(shù)”泛濫這樣一個(gè)現(xiàn)象；但是，即使我們暫時(shí)不去論及如何才能很好地落實(shí)“立德樹(shù)人”這一基本目標(biāo)，僅僅依靠相關(guān)做法也難真正提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，而只是使我們的學(xué)生和教師始終處于巨大的壓力之下．因?yàn)?，正如人們普遍地認(rèn)識(shí)到，學(xué)生解題過(guò)程中思維策略的產(chǎn)生往往具有以下幾個(gè)特征[7]：1)非邏輯性，2)快速性，3)個(gè)體性，4)或然性，從而就與教學(xué)工作的方法論特征與規(guī)范性質(zhì)構(gòu)成了直接沖突．但在筆者看來(lái)，后者恰又更清楚地表明了這樣一點(diǎn)，即相對(duì)于各個(gè)具體的解題策略或數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視一般性思維策略與學(xué)生思維品質(zhì)的提升．另外，盡管解題策略的發(fā)現(xiàn)、包括結(jié)果的猜想等常常表現(xiàn)為頓悟，也就是“快思”的結(jié)果，但這恰又是數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)發(fā)揮的一個(gè)重要作用，即幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“長(zhǎng)時(shí)間的思考”，因?yàn)?，只有?jīng)過(guò)事后的長(zhǎng)時(shí)間思考相關(guān)發(fā)現(xiàn)才能得到詳細(xì)的展開(kāi)和清楚的表述，包括必要的檢驗(yàn)、理解與改進(jìn)；更一般地說(shuō)，我們又應(yīng)特別重視“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的工作，也即應(yīng)當(dāng)將此看成“長(zhǎng)時(shí)間思考”的主要內(nèi)容．

但是，上述目標(biāo)是否真的可行？以下就以初一數(shù)學(xué)教學(xué)為例對(duì)此做出具體分析．希望讀者也能聯(lián)系自己的教學(xué)做出進(jìn)一步的分析，這并可被看成先前所提到的“理論的實(shí)踐性解讀”這一思想的具體運(yùn)用．

2 用案例說(shuō)話(huà)：聚焦初一數(shù)學(xué)教學(xué)

除去具體內(nèi)容的教學(xué)以外，“習(xí)題教學(xué)”顯然也是數(shù)學(xué)教學(xué)十分重要的一個(gè)方面，更與“變化的思想與思維的靈活性”密切相關(guān)．由于筆者對(duì)此已專(zhuān)門(mén)撰文進(jìn)行了分析[8-10]，在此就不再贅述．

(1)如眾所知，研究對(duì)象由“數(shù)”擴(kuò)展到了由數(shù)和字母組成的“式”是中小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)明顯區(qū)別，當(dāng)然，對(duì)此我們不應(yīng)簡(jiǎn)單地理解成“量”的增加，因?yàn)?，這也意味著達(dá)到了更高的抽象層次，并為學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用“聯(lián)系的觀點(diǎn)”進(jìn)行分析思考、從而達(dá)到更大的認(rèn)識(shí)深度提供了很好的切入點(diǎn)，當(dāng)然，以后者為指導(dǎo)去從事教學(xué)也有益于學(xué)生更好地掌握相關(guān)的知識(shí)和技能．

具體地說(shuō)，盡管我們?cè)诖岁P(guān)注的主要是“式”的運(yùn)算，但又應(yīng)當(dāng)將此與學(xué)生已學(xué)過(guò)的數(shù)的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，更好地發(fā)揮“類(lèi)比”這一方法在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中的重要作用，特別是，我們應(yīng)以學(xué)生已學(xué)過(guò)的數(shù)的知識(shí)為背景幫助他們很好地建立關(guān)于新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的整體性認(rèn)識(shí)，從而就可在學(xué)習(xí)中獲得更大的自覺(jué)性．例如，“式的運(yùn)算”的學(xué)習(xí)也是按照由“加減”到“乘除”這樣一個(gè)順序逐步展開(kāi)的；我們還可通過(guò)“乘法公式”“因式分解”與小學(xué)所學(xué)的“速算法”和“數(shù)的分解”的直接類(lèi)比幫助學(xué)生更好掌握相關(guān)的內(nèi)容．當(dāng)然，除去所說(shuō)的“共同點(diǎn)”以外，我們也應(yīng)十分重視它們的不同點(diǎn)，即如“同類(lèi)項(xiàng)”概念的引入等.另外，盡管存在直接的類(lèi)比關(guān)系，但由于“乘法公式”與“因式分解”的學(xué)習(xí)更加集中，從而我們?cè)诮虒W(xué)中也就不應(yīng)唯一關(guān)注計(jì)算技能的掌握，而應(yīng)更加突出這樣一個(gè)思想，即我們應(yīng)當(dāng)善于根據(jù)需要與情境對(duì)“式”做出適當(dāng)變形，這可以看成“變化的思想與思維的靈活性”的具體應(yīng)用．

當(dāng)然，從更高的層面看，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)也有助于學(xué)生很好認(rèn)識(shí)成功應(yīng)用“類(lèi)比聯(lián)想”的這樣一個(gè)關(guān)鍵：“求同存異”．再者，由于學(xué)生在小學(xué)階段往往未能很好建立起關(guān)于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的整體性認(rèn)識(shí)，特別是清楚地認(rèn)識(shí)它的豐富性和層次性，因此，我們?cè)诮虒W(xué)中就應(yīng)首先引領(lǐng)學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容做出回顧和“再認(rèn)識(shí)”，從而很好地實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)目標(biāo)：“以發(fā)展代替重復(fù)，以深刻達(dá)成簡(jiǎn)約”．(1)也正因此，對(duì)于相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)我們就不應(yīng)認(rèn)為只是涉及到了一些具體技能、特別是有很多學(xué)生早已通過(guò)各種渠道進(jìn)行了學(xué)習(xí)就掉以輕心，即如教學(xué)中只是一帶而過(guò)，而沒(méi)有注意分析學(xué)生是否已經(jīng)達(dá)到了真正的理解，更未能認(rèn)真地思考如何能夠通過(guò)自己的教學(xué)使學(xué)生有新的提高．例如，通過(guò)“乘法公式”的學(xué)習(xí)我們即可對(duì)學(xué)生是否已經(jīng)達(dá)到了更高的抽象層次做出必要的檢驗(yàn)；另外，教學(xué)中我們顯然也應(yīng)注意避免這樣一種傾向，即僅僅從純形式的角度去理解相應(yīng)的“變化”，如“計(jì)算”與“因式分解”，但卻未能很好地指明我們究竟為什么要做出這樣的變化，包括我們又如何能夠通過(guò)相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)提升學(xué)生的思維品質(zhì)．

當(dāng)然，“式”的引入也更清楚地表明了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的層次性質(zhì)——從認(rèn)識(shí)的角度看，這意味著達(dá)到了更高的抽象層次，包括這樣一個(gè)更深層次的認(rèn)識(shí)：我們應(yīng)將“優(yōu)化”看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)．

(2)如果說(shuō)“由少到多，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”即可被看成數(shù)學(xué)發(fā)展的基本形式，那么，數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的發(fā)展就可被歸結(jié)為“化多為少，化復(fù)雜而簡(jiǎn)單”，從而也就更清楚地表明了這樣一點(diǎn)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是一個(gè)不斷優(yōu)化的過(guò)程，而不僅僅是指知識(shí)和技能以及“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”的簡(jiǎn)單積累，盡管后者確又可以被看成為認(rèn)識(shí)的發(fā)展和深化提供了現(xiàn)實(shí)的可能性和必要的途徑．

特殊地，我們顯然也可從上述角度更好認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)方程的意義，包括通過(guò)這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生很好認(rèn)識(shí)“優(yōu)化”對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性，從而逐步地學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，并能真正成為學(xué)習(xí)的主人．

進(jìn)而，從上述角度我們顯然也可更好理解筆者的這樣一個(gè)看法：如果說(shuō)小學(xué)階段教師不允許學(xué)生用由各種非正規(guī)渠道提前學(xué)到的方程方法去求解算術(shù)應(yīng)用題尚有一定道理，因?yàn)?，這時(shí)學(xué)生對(duì)于方程的掌握往往只是一種機(jī)械的運(yùn)用，而未能達(dá)到真正的理解，而且，算術(shù)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生學(xué)會(huì)思維也有重要作用；那么，在初中學(xué)習(xí)方程時(shí)再做出類(lèi)似的規(guī)定，也即只允許學(xué)生用方程方法、而不準(zhǔn)用算術(shù)方法去求解問(wèn)題，就可說(shuō)完全沒(méi)有道理．因?yàn)?，解題教學(xué)最重要的目標(biāo)就是努力提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，而后者主要地又是指我們能否綜合地、靈活地應(yīng)用各種方法去解決問(wèn)題，而不是指所使用的方法是否符合某種外部的硬性規(guī)定——也正因此，上述規(guī)定事實(shí)上就只能被看成解題活動(dòng)“程式化和機(jī)械化”的一種表現(xiàn)．[11]

與此相對(duì)照，我們應(yīng)當(dāng)更加重視如何能夠幫助學(xué)生很好認(rèn)識(shí)方程方法相對(duì)于算術(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)，又由于優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)主要取決于我們能否使之真正成為學(xué)生的自覺(jué)選擇，而非基于外部壓力的被動(dòng)服從．因此，我們?cè)诮虒W(xué)中也就應(yīng)當(dāng)特別重視比較與反思的工作，這也就是指，教學(xué)中我們不僅不應(yīng)禁止學(xué)生用算術(shù)方法求解問(wèn)題，還應(yīng)積極鼓勵(lì)他們用多種不同的方法去解決問(wèn)題，特別是，更應(yīng)有意識(shí)地放慢節(jié)奏讓學(xué)生有更多時(shí)間進(jìn)行比較和體會(huì)，包括認(rèn)真的反思，從而就不僅可以順利地實(shí)現(xiàn)相關(guān)的過(guò)渡或優(yōu)化，也可通過(guò)這一過(guò)程很好地體會(huì)到養(yǎng)成長(zhǎng)時(shí)間思考的習(xí)慣和能力、特別是“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的重要性．

最后，我們還可通過(guò)方程的教學(xué)幫助學(xué)生具體地去體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)展的基本形式和途徑，后者即是指，盡管相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有一定的時(shí)間差，但在學(xué)生已經(jīng)掌握了一元一次方程的相關(guān)知識(shí)以后，我們即可引導(dǎo)他們對(duì)將來(lái)的學(xué)習(xí)做出“預(yù)測(cè)”，也即研究對(duì)象“由一元到多元”“由一次到高次”“由方程到不等式”等發(fā)展的合理性，包括這樣一個(gè)重要的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的發(fā)展主要表現(xiàn)為“化多為少，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，我們并應(yīng)善于通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想、通過(guò)化歸去實(shí)現(xiàn)上述的目標(biāo)．

(3)盡管上述分析集中于“式的運(yùn)算”與“方程”的教學(xué)，我們顯然也可從同一角度對(duì)初一數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容做出分析，包括它們各自又有什么特殊之處．

例如，除去“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的豐富性和層次性以外，負(fù)數(shù)的引入顯然也有助于我們更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的開(kāi)放性和發(fā)展性，特別是，現(xiàn)實(shí)需要并非促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的唯一因素，在很大程度上也是由數(shù)學(xué)的內(nèi)在因素決定的，或者說(shuō)，就是表現(xiàn)出了很強(qiáng)的相對(duì)獨(dú)立性．因?yàn)椋@正是這方面的一個(gè)基本事實(shí)：“負(fù)數(shù)不是測(cè)量出來(lái)的．凡是能夠量出來(lái)的都是正數(shù)．”進(jìn)而，由以下論述我們即可更好地認(rèn)識(shí)教學(xué)中突出這樣一點(diǎn)的重要性：“負(fù)數(shù)是由具體數(shù)學(xué)向形式數(shù)學(xué)的第一次轉(zhuǎn)折．要完全掌握這種轉(zhuǎn)折中出現(xiàn)的問(wèn)題，需要有高度的抽象能力．”(克萊因語(yǔ))“我認(rèn)為超越直觀而運(yùn)用推理方法的首先是負(fù)數(shù)．”(弗賴(lài)登塔爾語(yǔ))

另外，“冪的運(yùn)算”的學(xué)習(xí)顯然也為我們更好理解“化多為少，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”這樣一個(gè)思想提供了重要的契機(jī)，因?yàn)?，由高?jí)運(yùn)算(乘方、乘除)向較低層次運(yùn)算(乘、加減)的轉(zhuǎn)變正是“冪的運(yùn)算”的明顯特點(diǎn)，從而，我們也就可以以此為背景做出進(jìn)一步的思考，即我們能否借助“冪的運(yùn)算”實(shí)現(xiàn)運(yùn)算的簡(jiǎn)化——如眾所知，從歷史的角度看，正是后一方面思考直接導(dǎo)致了“對(duì)數(shù)計(jì)算法”的創(chuàng)建，盡管后者的重要性由于計(jì)算機(jī)的發(fā)明已不復(fù)存在，但仍可被看成通過(guò)適當(dāng)變化解決問(wèn)題的又一范例．

再則，就幾何內(nèi)容的教學(xué)而言，我們則應(yīng)突出這樣一個(gè)思想：“數(shù)學(xué)家有這樣的傾向，一旦依賴(lài)邏輯的聯(lián)系能取得更快的進(jìn)展，他就置實(shí)際于不顧．”[12]我們更應(yīng)通過(guò)自己的教學(xué)幫助學(xué)生很好理解采取這一做法的優(yōu)越性，也即我們應(yīng)當(dāng)按照“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”“由一維到高維”這樣一個(gè)順序、而不是日常的認(rèn)識(shí)順序去從事相關(guān)的研究，包括逐步形成這樣一個(gè)更加重要的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要功能就是有助于人們思維方式與行為方式的改進(jìn)．

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，正如波利亞的上述引言所已表明的，我們不應(yīng)將“邏輯思維”“數(shù)學(xué)思維”與“常識(shí)(和有益的思維習(xí)慣)”絕對(duì)地對(duì)立起來(lái)，而應(yīng)清楚地看到它們之間的同一性；當(dāng)然，我們?cè)诖怂鶓?yīng)追求的不是“常識(shí)”的簡(jiǎn)單回歸，而是其在更高層面的重構(gòu)．(2)在筆者看來(lái)，我們也可從后一角度去理解弗賴(lài)登塔爾的這樣一個(gè)論述：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是人們的常識(shí)．”[13]

(4)通過(guò)上述途徑我們顯然也可幫助學(xué)生很好適應(yīng)由“初等數(shù)學(xué)思維”向“高層次數(shù)學(xué)思維”的過(guò)渡，而不至于因?yàn)橹行W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在這方面有不同要求而出現(xiàn)一時(shí)無(wú)法適應(yīng)中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況．

在此還可特別提及筆者針對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出的這樣兩個(gè)“大道理”：1)小學(xué)關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“比較”這一核心概念，從而幫助學(xué)生很好掌握“大小”“倍數(shù)”“分?jǐn)?shù)”“比”等概念，也應(yīng)幫助學(xué)生逐步建立關(guān)于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的整體性認(rèn)識(shí)，特別是清楚地認(rèn)識(shí)它的豐富性與層次性、開(kāi)放性與統(tǒng)一性等，并能真正做好“化多為少”“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，包括更好認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的關(guān)系．2)小學(xué)幾何教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“度量”這一核心概念，很好發(fā)揮直觀認(rèn)知的作用，也應(yīng)努力實(shí)現(xiàn)對(duì)于“度量幾何”與“直觀幾何”的必要超越，即應(yīng)對(duì)圖形的特征性質(zhì)及其相互關(guān)系的邏輯分析予以足夠的重視．顯然，如果小學(xué)數(shù)學(xué)能夠按照這樣的思想去進(jìn)行教學(xué)，傳統(tǒng)上中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之間的巨大間距就將不復(fù)存在．顯然，基于同樣的理由，中學(xué)(特殊地，初中)數(shù)學(xué)教師也應(yīng)認(rèn)真地去思考什么是中學(xué)(初中)數(shù)學(xué)教學(xué)的“大道理”，從而為學(xué)生將來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好必要的準(zhǔn)備．

(5)我們還可從同一角度對(duì)其他一些密切相關(guān)的問(wèn)題做出自己的分析，如教學(xué)中為什么應(yīng)給學(xué)生更多的表述機(jī)會(huì)，包括積極提倡“合作學(xué)習(xí)”這樣一種學(xué)習(xí)方式．因?yàn)?，這些都十分有益于學(xué)生的深入思考，如表述前主體顯然必須對(duì)自己的想法做出梳理、評(píng)價(jià)與改進(jìn)，仔細(xì)傾聽(tīng)別人的想法也十分有助于學(xué)生通過(guò)比較、反思與再認(rèn)識(shí)對(duì)自己的已有想法做出改進(jìn)，等等．當(dāng)然，教師也應(yīng)在這些方面給學(xué)生必要的指導(dǎo)，而不只是停留于“大聲地說(shuō)、仔細(xì)地聽(tīng)”這樣的一般性要求．

再者，就當(dāng)前而言，這應(yīng)當(dāng)說(shuō)又是特別重要的一個(gè)認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)應(yīng)是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思維、樂(lè)于思維，而不是學(xué)會(huì)解題，我們更不應(yīng)唯一集中于如何能夠通過(guò)大量練習(xí)、機(jī)械記憶和簡(jiǎn)單模仿使學(xué)生在各類(lèi)考試中取得較好成績(jī).毋寧說(shuō)，即使在這一方面我們也應(yīng)通過(guò)更高層面的分析切實(shí)做到“少而精”，包括通過(guò)“習(xí)題教學(xué)”的改進(jìn)更有效地促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，從而自然也就能夠取得更好的成績(jī)．

最后，盡管我們?cè)诖耸且猿跻粩?shù)學(xué)教學(xué)作為直接對(duì)象進(jìn)行分析的，但相關(guān)結(jié)論顯然具有超出這一范圍的普遍意義，后者即是指，無(wú)論就小學(xué)、初中或高中的數(shù)學(xué)教學(xué)，或是課堂教學(xué)和習(xí)題教學(xué)而言，我們都應(yīng)以“促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展”作為主要的指導(dǎo)思想，并以“深度教學(xué)”作為改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方向．筆者在這方面有這樣一個(gè)看法：只有在上述方向做出持續(xù)努力，也即很好地落實(shí)不同階段數(shù)學(xué)教學(xué)的同一性與連續(xù)性，我們才能對(duì)于“努力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)”這一教育的總體性目標(biāo)做出自己的應(yīng)有貢獻(xiàn)，并切實(shí)防止與糾正因深深陷入“應(yīng)試教育”而無(wú)法自拔這樣一個(gè)巨大的危險(xiǎn)．

愿我們大家都能在上述方向做出切實(shí)的努力！