浙江省杭州第十四中學(xué)(310006) 何波祿

1 教學(xué)問題診斷與設(shè)計思路

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)A 版必修第一冊》第五章第四節(jié)課的內(nèi)容.

學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí),對用描點法研究函數(shù)圖象并不陌生,但由于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)自身的特殊性,在作圖環(huán)節(jié)可能會遇到如下問題:

(1)對于借助三角函數(shù)線描點感到“突?！?

(2)“五點法”作圖時,難以想象為什么要取五個關(guān)鍵點,為什么不用這樣子的點;

(3)作余弦函數(shù)圖象時,不易聯(lián)系誘導(dǎo)公式根據(jù)圖象變換得到圖象.

基于以上分析,本節(jié)課的教學(xué)重點為繪制正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和五點法作圖;教學(xué)難點為如何利用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)圖象.

教學(xué)設(shè)計遵循從局部到整體,從特殊到一般的原則,以問題驅(qū)動教學(xué),問題設(shè)置層層深入,引導(dǎo)學(xué)生思考“利用單位圓中的正弦線描任意點(x0,sinx0)”,從而攻克“利用單位圓中的正弦線作y= sinx,x ∈[0,2π]的圖象”這個難點;再讓學(xué)生模仿作函數(shù)y=sinx,x ∈R 的圖象,展示有問題的學(xué)生作圖,啟發(fā)學(xué)生“找出體現(xiàn)圖象形狀特征的五個關(guān)鍵點”;通過直接給出誘導(dǎo)公式六,提示學(xué)生直接從正弦曲線平移得到余弦曲線.運用多媒體及數(shù)學(xué)軟件等輔助教學(xué)手段可以極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,用觀察、啟發(fā)、探究相結(jié)合的方式組織教學(xué).

2 教學(xué)過程

2.1 溫故知新,導(dǎo)入新課

回顧正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的概念,對于一個新的函數(shù),我們通常借助函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì),本節(jié)課我們就一起作出正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生用研究函數(shù)的基本思路研究三角函數(shù).

2.2 正弦函數(shù)圖象

問題1: 我們最常用的作圖方法是什么?

問題2: 用描點法作正弦函數(shù)圖象時,如何在直角坐標(biāo)系中作出點

4.若學(xué)生回答可以取一些特殊點, 追問你打算取哪些點? (并作圖尋找問題,說明取的點不足以反映出函數(shù)圖象的特征)

問題3: 對于任意實數(shù)x0,如何作出點T(x0,sinx0)?

預(yù)設(shè)追問: 1.正弦值是如何定義的?

2.你能用一條線段表示正弦值嗎?

對于任意實數(shù)x0(教師在直角坐標(biāo)系的x軸上標(biāo)出點x0,見圖1),用單位圓中的正弦線刻畫sinx0的大小,教師板演描點T(x0,sinx0)的完整過程,并與學(xué)生一起總結(jié)如下步驟:

第一步,新建直角坐標(biāo)系并作單位圓,記單位圓與x軸的交點為點B;

第二步,作角,我們可以通過如下方式實現(xiàn): 從點B開始逆時針取弧長所對應(yīng)的圓心角即為x0;

第三步,作正弦線,過點P作x軸的垂線,交x軸于點M,則MP即為正弦線,MP=sinx0;

第四步,用尺子測量MP的長度;

圖1

第五步,描點,在直角坐標(biāo)系中描出橫坐標(biāo)為x0,縱坐標(biāo)為MP的點T(x0,sinx0).

我們可以將上述描點方法再簡化些,若把兩個直角坐標(biāo)系的x軸放置在同一水平線上,只要平移點即可.

在單位圓中取弧長x0, 可以通過如下方式實現(xiàn): 假設(shè)|OC|=x0,令點O與單位圓上的點B重合,讓圓滾動起來,使得點P與點C重合時,停止圓的滾動,那么由圓的運動軌跡知教師可以用幾何畫板作演示,見圖2.

圖2

【設(shè)計意圖】利用正弦線描點是本節(jié)課的難點,教師通過不斷追問的方式從特殊到一般,小步前進攻克難點,并且利用PPT,幾何畫板等教學(xué)輔助手段給予演示,生動形象,吸引學(xué)生觀察、思考、分析,對描點步驟進行歸納總結(jié),促進學(xué)生知識體系的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的形成.

掌握了利用正弦線描點的方法, 就可以畫正弦函數(shù)在[0,2π]的圖象,教師幾何畫板演示作圖: 把x軸上從0 到2π這一段分成12 等份,使x0的值分別為它們所對應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點將圓周12 等分,再按上述畫點T(x0,sinx0)的方法,就可以平移得到自變量取這些值時對應(yīng)的函數(shù)圖象上的點,最后用光滑的曲線連接起來就得到了函數(shù)y=sinx,x ∈[0,2π]的圖象(圖3).

圖3

我們知道在區(qū)間[0,2π] 上取的點越多, 畫出越多的點T(x0,sinx0),得到的函數(shù)圖象越精確,嘗試將其100 等分(圖4),1000 等分(圖5)并觀察.顯然點越多,圖象越精確,將區(qū)間[0,2π]1000 等分得到的描點圖,點很密集,看上去幾乎是一條連續(xù)的曲線.

【設(shè)計意圖】通過幾何畫板呈現(xiàn)出用平移正弦線的方法繪制函數(shù)y=sinx,x ∈[0,2π]圖象的過程,并展示對單位圓進行100 等分,1000 等分后對應(yīng)的描點圖,生動形象,吸引學(xué)生眼球,讓學(xué)生加深印象.

圖4

圖5

回到12 等分的幾何畫板課件, 直接用幾何畫板作出y= sinx的圖象,它與用單位圓中的正弦線作的圖在[0,2π]上是重合的,其余部分有“周而復(fù)始”的特征,引導(dǎo)學(xué)生回答若不借助作圖軟件,你能作出完整的正弦函數(shù)圖象嗎?

問題4: 如何在直角坐標(biāo)系中作出y=sinx,x ∈R 的剩余圖象?

追問: 理論依據(jù)是什么?

因為終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值, 所以函數(shù)y=sinx,x ∈[2kπ,2(k+1)π),k ∈Z 且k /=0 的圖象,與函數(shù)y=sinx,x ∈[0,2π)的圖象的形狀完全一致,只要將函數(shù)y=sinx,x ∈[0,2π)的圖象向左、向右平行移動(每次2π個單位長度),就可以得到y(tǒng)=sinx,x ∈R 的圖象(圖6),教師用PPT 展示平移過程,我們稱正弦函數(shù)的圖象為正弦曲線.

圖6

【設(shè)計意圖】教師對學(xué)生的猜想追問理論依據(jù),對學(xué)生的回答進行補充說明,從“周而復(fù)始”的現(xiàn)象引發(fā)思考,再用誘導(dǎo)公式予以理論支持,利用PPT 課件演示平移過程,得到y(tǒng)=sinx,x ∈R 的圖象.

2.3 五點法作圖

下面請學(xué)生自己模仿圖6 作正弦曲線,展示學(xué)生的作圖(圖7),觀察圖7,找出不規(guī)范的地方,比如最高點離平衡位置的距離與最低點離平衡位置的距離不一致,相鄰兩個零點間的距離也不一致,引導(dǎo)學(xué)生思考,抓住哪些點能幫助我們畫出標(biāo)準(zhǔn)的圖象.

圖7

問題5: 在作正弦函數(shù)y= sinx,x ∈[0,2π]圖象時,應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵點?

圖8

【設(shè)計意圖】首先讓學(xué)生模仿作圖,充分暴露學(xué)生存在的問題,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注最高點,最低點和平衡位置的點,提出利用五點法作簡圖的必要性與合理性,再總結(jié)歸納五點法作圖的步驟,教師把五點法作圖過程在黑板上進行詳細(xì)板演.

2.4 余弦函數(shù)圖象

【設(shè)計意圖】通過問題形式,讓學(xué)生從正弦函數(shù)與余弦函數(shù)解析式之間的關(guān)系聯(lián)想得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系,用PPT 課件演示平移的過程,明確應(yīng)用圖象變換作余弦曲線的方法.

追問1: 如果把圖6 中上下兩個直角坐標(biāo)系都去掉,你能區(qū)分哪個是正弦曲線,哪個是余弦曲線嗎?

追問2: 我們再把直角坐標(biāo)系加上,這時你能區(qū)分哪個是正弦曲線,哪個是余弦曲線嗎?

根據(jù)追問引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦曲線和余弦曲線的相同點:形狀一樣,不同點: 在直角坐標(biāo)系中的位置不一樣.

【設(shè)計意圖】為研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)做準(zhǔn)備.

下面請你用“五點法”作出函數(shù)y=cosx,x ∈[0,2π]的簡圖.

【設(shè)計意圖】類比作y=sinx,x ∈[0,2π]的簡圖,讓學(xué)生學(xué)會用五點作圖法作y= cosx,x ∈[0,2π]的簡圖,鞏固五點法作圖方法,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力和動手實踐能力.

2.5 實踐與應(yīng)用

例1 畫出下列函數(shù)的簡圖:

(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];

(2)y=?cosx,x ∈[0,2π].

學(xué)生采用的作圖方式主要有兩種: 五點法,圖象變換法.用希沃授課助手展示學(xué)生的解答,請其他同學(xué)指出存在的問題并加以糾正,特別是曲線的凹凸性.

【設(shè)計意圖】通過例題練習(xí)使學(xué)生明白作函數(shù)簡圖時常用“五點法”和“圖象變換法”這兩種方式.

2.6 歸納小結(jié)

先由學(xué)生反思學(xué)習(xí)內(nèi)容并回答,教師再補充完善.

1.作正弦曲線、余弦曲線的圖象,一般有幾何作圖法(三角函數(shù)線),描點法(五點法,最常用),圖象變換法;

2.五點法作圖的步驟是: 列表,描點,連線.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生小結(jié)本節(jié)課的主要知識, 養(yǎng)成學(xué)習(xí)——總結(jié)——學(xué)習(xí)的好習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納能力和語言表達(dá)能力.

3 教學(xué)反思

本節(jié)課以問題驅(qū)動方式進行教學(xué),以6 大問題為主線貫穿課堂始末,以問題解決為教學(xué)線索,并在計算機輔助教學(xué)下,學(xué)生的思維由問題開始,由問題深化,逐步解鎖教學(xué)重點,突破教學(xué)難點.

首先給出問題1 至問題3,引導(dǎo)學(xué)生思考“利用單位圓中的正弦線描任意點(x0,sinx0)”,從而攻克“利用單位圓中的正弦線作y= sinx,x ∈[0,2π]的圖象”這個難點,之后用幾何畫板演示正弦函數(shù)的幾何作圖法,生動形象,吸引學(xué)生眼球,讓學(xué)生加深印象.接著設(shè)置問題4,引導(dǎo)學(xué)生回答出關(guān)鍵詞“平移”,得到正弦曲線.再讓學(xué)生模仿作圖,啟發(fā)學(xué)生“找出體現(xiàn)圖象形狀特征的關(guān)鍵點”,引出“五點法作圖”.設(shè)置問題6,引導(dǎo)學(xué)生利用正弦曲線作出余弦曲線.最后通過練習(xí)加以鞏固.