黃 朝，孔建益，鮮小東，王郢瑞，于普良

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081；3.武漢科技大學(xué)省部共建耐火材料與冶金國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢，430081)

柔性鉸鏈具有體積小、無間隙、無摩擦、靈敏度高、運(yùn)動平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)[1-3]，已越來越多地應(yīng)用于各種超精密運(yùn)動裝備中，如微納米驅(qū)動平臺、高精度校準(zhǔn)裝置和壓電驅(qū)動器的位移放大器[4-6]。柔性機(jī)構(gòu)的整體性能在一定程度上依賴于柔性鉸鏈的固有特性，因此，如何選擇和設(shè)計(jì)柔性鉸鏈具有重要的研究意義。

Paros等[7]研究了圓弧柔性鉸鏈，并推導(dǎo)出完整的柔度計(jì)算公式。Zettl等[8]建立了直圓柔性鉸鏈的有限元模型，完善了柔性鉸鏈的有限元分析方法。Smith等[9]推導(dǎo)出橢圓型柔性鉸鏈的柔度方程，拓展了柔性鉸鏈的研究領(lǐng)域。Chen等[10]通過改變橢圓最大偏心角設(shè)計(jì)出一種橢圓弧型柔性鉸鏈，基于卡氏第二定理推導(dǎo)了該類鉸鏈的柔度方程。Lobontiu等[11]引入兩種新型結(jié)構(gòu)，即拋物線型和雙曲線型柔性鉸鏈，并推導(dǎo)了相應(yīng)的解析方程，證明雙曲線型柔性鉸鏈比直圓型、橢圓型及拋物線型柔性鉸鏈具有更高的精度。Wang等[12]設(shè)計(jì)了一種非對稱的指數(shù)正弦型柔性鉸鏈，通過理論分析證明此類柔性鉸鏈相較于對稱型柔性鉸鏈有更高的運(yùn)動精度。Li等[13]給出冪函數(shù)型柔性鉸鏈的柔度方程，對其運(yùn)動精度進(jìn)行了分析，結(jié)果表明冪函數(shù)型柔性鉸鏈比正圓型和V型柔性鉸鏈具有更高的旋轉(zhuǎn)精度。

在柔性鉸鏈設(shè)計(jì)過程中，一般需要同時兼顧其結(jié)構(gòu)類型和結(jié)構(gòu)參數(shù)。設(shè)計(jì)者往往首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來選擇結(jié)構(gòu)類型，然后再根據(jù)鉸鏈的柔度方程來設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)參數(shù)。由于每種柔性鉸鏈的柔度方程都是獨(dú)特的，所以在柔性鉸鏈選型和設(shè)計(jì)時，設(shè)計(jì)者必須針對不同類型分別進(jìn)行計(jì)算，致使找到最適合的柔性鉸鏈來實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)最佳性能的難度增加，因此有必要建立一個適用于多種類型柔性鉸鏈的廣義模型。

本文提出一種新型的廣義柔性鉸鏈模型——圓錐倒角V型柔性鉸鏈，具體包括拋物線倒角V型、橢圓倒角V型、雙曲線倒角V型、拋物線型、橢圓弧型、雙曲線型及直梁型柔性鉸鏈，并以極坐標(biāo)下的圓錐曲線廣義方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度廣義方程，運(yùn)用這些方程可以同時進(jìn)行切口類型選擇和參數(shù)設(shè)計(jì)，從而優(yōu)化柔性鉸鏈的設(shè)計(jì)過程。

1 極坐標(biāo)下圓錐曲線的廣義方程

如圖1所示，圓錐倒角V型柔性鉸鏈的切口輪廓由圓錐曲線及其切線構(gòu)成，其幾何參數(shù)包括切口長度l、切口部分最小厚度t、寬度w以及切線部分與x軸之間的夾角φ。

圖1 圓錐倒角V型柔性鉸鏈簡圖

圖2所示為圓錐曲線及其準(zhǔn)線和焦點(diǎn)OF，在極坐標(biāo)系中，以焦點(diǎn)OF為原點(diǎn)，圓錐曲線可表示為：

圖2 極坐標(biāo)系中的圓錐曲線

(1)

式中：p(p>0)表示焦點(diǎn)與準(zhǔn)線之間的距離；離心率e(e>0)可表示為：

(2)

當(dāng)e>1時，圓錐曲線表示的是雙曲線；當(dāng)e=1時，圓錐曲線表示的是拋物線；當(dāng)0

如圖3所示，切口對應(yīng)到圓錐曲線的范圍設(shè)定為[-θn，θn]，其中θn=π/2，圓錐曲線部分范圍為[-θm，θm]，θm為圓錐曲線部分最大極角，切線部分可表示為：

圖3 圓錐倒角V型柔性鉸鏈的截面圖

(3)

其中，

(4)

切口長度l的計(jì)算公式為：

(5)

圖4所示為具有不同切口曲線的圓錐倒角V型柔性鉸鏈之間的關(guān)系，對應(yīng)于不同范圍的e和φ，可得到不同類型的柔性鉸鏈。在圓錐倒角V型柔性鉸鏈廣義模型中，e>0、0≤φ≤φm、0≤θm≤θn，φm的計(jì)算公式為：

圖4 不同切口輪廓的圓錐倒角V型柔性鉸鏈之間的關(guān)系

(6)

當(dāng)φ=0時，模型代表直梁型柔性鉸鏈；當(dāng)0<φ<φm時，根據(jù)不同的e值，模型分別代表橢圓倒角V型、拋物線倒角V型和雙曲線倒角V型柔性鉸鏈；當(dāng)φ=φm時，根據(jù)不同的e值，模型分別代表橢圓弧型、拋物線型和雙曲線型柔性鉸鏈。

2 圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度方程

如圖3所示，將柔性鉸鏈切口部分垂直地劃分為無數(shù)塊長方體，dθ(dθ→0)所對應(yīng)的長方體的高度可表示為：

(7)

其中，

(8)

(9)

x與θ的關(guān)系可表示為：

(10)

對上式求導(dǎo)可得：

(11)

2.1 柔度矩陣

當(dāng)柔性鉸鏈切口處最小厚度t遠(yuǎn)小于切口長度l(t<0.2l)時，可將柔性鉸鏈視為一端固定且受彎矩、軸向載荷、剪切和扭轉(zhuǎn)作用的懸臂梁[14]，作用在鉸鏈上的載荷力(參見圖1)可定義為：

(12)

鉸鏈相應(yīng)的變形為：

(13)

由卡氏第二定理可得：

X=ChF

(14)

式中：Ch為柔度矩陣，可表示為

Ch=

(15)

鑒于柔度矩陣的對稱性，有αz/Fy=Δy/Mz、αy/Fz=Δz/My，柔度矩陣中的每一個柔度因子都可以由歐拉-伯努利梁理論推導(dǎo)而出。

2.2 關(guān)于z軸的角柔度

z軸是柔性鉸鏈的輸入軸，彎矩Mz對應(yīng)的關(guān)于z軸的角柔度可表示為：

在太原市平陽路君怡小區(qū)B座鋼筋混凝土不等肢剪力墻結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)的位移超過了規(guī)范規(guī)定的限值，設(shè)計(jì)人員通過合理地調(diào)整墻肢截面或連梁的截面高度來提高整體的剛度，從而滿足了規(guī)范規(guī)定的位移限值。對于設(shè)計(jì)中跨高比較大的連梁，有良好的地震耗能。而在剪力墻結(jié)構(gòu)中，往往洞口上形成的連梁跨高比均比較小，對抗震等級為一、二級且連梁跨高比≯2、墻肢厚≮200 mm時，可設(shè)置斜向交叉鋼筋或菱形斜筋與交叉斜筋組合的配筋方案，其延性均比較高，且具有良好的耗能能力。當(dāng)連梁寬度在350 mm以上時，可采用交叉暗撐。對在工程中出現(xiàn)超筋的連梁，通過合理配筋保證梁強(qiáng)剪弱彎，可具備一定的延性耗能能力。

(16)

式中：E為材料的彈性模量；Iz(θ)為角θ處梁截面相對于中性軸的轉(zhuǎn)動慣量；I1的計(jì)算公式為

(17)

通過施加力Fy，產(chǎn)生的等效力矩為Fy[l/2-epsinθ/(1+ecosθ)]，因此力Fy對應(yīng)的角柔度為

(18)

2.3 關(guān)于y軸的角柔度

彎矩My對應(yīng)的關(guān)于y軸的角柔度為：

(19)

其中，

(20)

通過施加力Fz，產(chǎn)生的等效力矩為-Fz[l/2-epsinθ/(1+ecosθ)]，因此力Fz對應(yīng)的角柔度為

(21)

2.4 沿z軸方向的線柔度

由于柔度矩陣的對稱性，彎矩My對應(yīng)的關(guān)于z軸的線柔度為：

(22)

(23)

式中：G為材料的剪切模量；k為材料的剪切系數(shù)，對于截面為矩形的梁，k取6/5[15]。

彎曲部分計(jì)算公式為：

(24)

綜上，力Fz沿z軸的線柔度為：

(25)

其中，

(26)

2.5 沿y軸方向的線柔度

同理，由于柔度矩陣的對稱性，彎矩Mz對應(yīng)的沿y軸的線柔度為：

(27)

參照對Δz/Fz的推導(dǎo)，也可得出力Fy對應(yīng)的沿y軸的線柔度為：

(28)

其中，

(29)

2.6 沿x軸方向的線柔度

沿x軸方向的線柔度可表示為：

(30)

2.7 關(guān)于x軸的角柔度

由于柔性鉸鏈的每一個無窮小矩形條都可以看作是一個恒定的矩形截面梁，根據(jù)文獻(xiàn)[16]中給出的近似扭轉(zhuǎn)方程，關(guān)于x軸的角柔度可以表示為：

(31)

3 有限元分析驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的柔度方程的正確性，下面采用有限元分析方法來計(jì)算柔性鉸鏈的各個柔度因子。首先通過Solidworks軟件建立鉸鏈三維模型如圖5所示。用HyperMesh軟件劃分網(wǎng)格單元，選取Solid186單元類型，Solid186是一個高階三維20節(jié)點(diǎn)固體結(jié)構(gòu)單元，具有任意的空間各向異性。然后建立質(zhì)量點(diǎn)，設(shè)置為Mass21單元，創(chuàng)建MPC約束。最后在有限元分析軟件中進(jìn)行計(jì)算，對于每一類柔性鉸鏈，均在其一端固定而在另一端施加單位載荷，計(jì)算得到的位移就是相應(yīng)的柔度因子。

圖5 有限元模型

表1列出了8組圓錐倒角V型柔性鉸鏈的幾何參數(shù)，柔性鉸鏈的寬度w均為10 mm，材質(zhì)為彈簧鋼，其楊氏模量E為207 GPa，剪切模量G為81 GPa。

表1 圓錐倒角V型柔性鉸鏈仿真模型的參數(shù)

表2列出了上述柔性鉸鏈模型的柔度因子的理論計(jì)算值(用C表示)和有限元分析結(jié)果(用F表示)，并給出了兩者之間的相對誤差(|F-C|/|C|)。鑒于柔度矩陣的對稱性，表2中只給出αz/Mz、αy/My、Δz/My、Δz/Fz、Δy/Mz、Δy/Fy、Δx/Fx和αx/Mx的值。由表2可見，這些柔度因子的理論計(jì)算值和有限元分析結(jié)果的誤差均在10%以內(nèi)，具有較好的一致性。

表2 柔度因子的理論計(jì)算值(用C表示)與有限元分析結(jié)果(用F表示)的比較

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

選取3個柔度因子αz/Mz、Δy/Mz和Δy/Fy，通過實(shí)驗(yàn)對所提出的柔度方程進(jìn)行驗(yàn)證。加工了4個柔性鉸鏈，其設(shè)計(jì)參數(shù)如表3所示。每個柔性鉸鏈均被加工成類似于“I”形，如圖6所示。鉸鏈材料選用彈簧鋼65Mn，采用慢走絲電火花線切割技術(shù)進(jìn)行加工。

表3 圓錐倒角V型柔性鉸鏈試樣參數(shù)

圖6 柔性鉸鏈試樣簡圖

圖7所示為實(shí)驗(yàn)平臺，包括激光位移傳感器(型號為KEYENCE?LK-G155H，分辨率為0.5μm)、光學(xué)平板、支撐桿、變壓器、砝碼(從10 g到500 g)以及柔性鉸鏈試樣。兩根支撐桿固定在光學(xué)平板上，感測頭和柔性鉸鏈試樣分別由光軸連接件固定于支撐桿上，柔性鉸鏈試樣一端固定，另一端通過砝碼施加載荷。如圖7(a)所示，施加力Fx以產(chǎn)生力矩Mz=FxL，測量得到相應(yīng)的位移即可計(jì)算出柔度因子Δy/Mz，由于變形量足夠小，所以角位移αz≈tanαz，可計(jì)算出柔度因子αz/Mz[17]。如圖7(b)所示，可測量出在力Fy作用下的位移，計(jì)算出柔度因子Δy/Fy。表4中列出了理論計(jì)算值(用C表示)與實(shí)驗(yàn)值(用X表示)的對比，相對誤差(|X-C|/|C|)均在8%以內(nèi)。

表4 柔度因子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果(用X表示)與理論計(jì)算值(用C表示)的比較

圖7 實(shí)驗(yàn)設(shè)備：(a)用于計(jì)算αz/Mz和Δy/Mz；(b)用于計(jì)算Δy/Fy

柔性鉸鏈的實(shí)驗(yàn)誤差主要來自以下幾個潛在因素：(1)加工的不確定性，加工樣品與設(shè)計(jì)樣品之間存在一定誤差；(2)測量系統(tǒng)的不確定性，由于測量系統(tǒng)所造成的誤差；(3)所施加載荷的不確定性，施加載荷由砝碼質(zhì)量所決定，砝碼質(zhì)量真實(shí)值與其標(biāo)定值可能存在誤差。

5 性能分析與比較

由于柔性鉸鏈的平面運(yùn)動(繞z軸的旋轉(zhuǎn)、沿x軸的平動和沿y軸的平動)在實(shí)際工況中占主導(dǎo)地位，因此本文采用數(shù)值模擬分析方法，基于解析模型研究柔性鉸鏈尺寸參數(shù)對鉸鏈平面柔度的影響。

在圓錐倒角V型柔性鉸鏈的廣義模型中，e、p、t、w和φ為設(shè)計(jì)參數(shù)，柔性鉸鏈的切口曲線由e、p和φ共同確定，柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)特征則由t和w共同確定。

為了研究切口曲線對鉸鏈柔度的影響：首先將t、w和φ分別設(shè)為0.5 mm、10 mm和π/6，將e和p的取值范圍分別設(shè)為0.1～1.9和3～13 mm，得到圖8所示的鉸鏈平面柔度與e、p之間的關(guān)系；然后將e、p、t和w分別設(shè)為0.6、5.33 mm、0.5 mm和10 mm，將φ的取值范圍設(shè)為0～5π/18，得到圖9所示的鉸鏈平面柔度與φ之間的關(guān)系。為了研究結(jié)構(gòu)特征對鉸鏈柔度的影響，將e、p和φ分別設(shè)為0.6、5.33 mm和π/6，將t和w的取值范圍分別設(shè)為0.1～1 mm和6～15 mm，得到圖10所示的鉸鏈平面柔度與t和w之間的關(guān)系。

由圖8可見，4個柔度因子均隨e和p的增大而非線性增加。其中，Δx/Fx和αz/Mz的增長率隨著e和p的增大而逐漸降低，而Δy/Fy和Δy/Mz的增長率隨著e和p的增大而逐漸提高。

(a)Δx/Fx (b)Δy/Fy

由圖9可見，4個柔度因子均隨φ的增加而非線性減少，而且柔度因子的變化率隨著φ的增大而逐漸降低，最終趨于穩(wěn)定。當(dāng)數(shù)值不再變化時，即得到傳統(tǒng)圓錐曲線型柔性鉸鏈的柔度值，這表明在設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t和w相同的情況下，圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度大于傳統(tǒng)的圓錐曲線型柔性鉸鏈的柔度。

(a)Δx/Fx (b)Δy/Fy

由圖10可見，4個柔度因子均隨t和w的增大而非線性減少，而且柔度因子的變化率隨著t和w的增加而逐漸降低，其中，對于Δy/Fy、Δy/Mz和αz/Mz的變化，t比w的影響程度更大。

(a)Δx/Fx (b)Δy/Fy

6 結(jié)語

本文設(shè)計(jì)了一種新型的廣義柔性鉸鏈，即圓錐倒角V型柔性鉸鏈，包含拋物線倒角V型、橢圓倒角V型、雙曲線倒角V型、拋物線型、橢圓弧型、雙曲線型及直梁型柔性鉸鏈。通過對設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t、w和φ的設(shè)定，可同時實(shí)現(xiàn)此類柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)類型和結(jié)構(gòu)參數(shù)的綜合設(shè)計(jì)。

然后推導(dǎo)了圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度方程，并進(jìn)行了有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究。理論計(jì)算值與有限元分析結(jié)果的誤差在10%以內(nèi)，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差在8%以內(nèi)，證明了柔度方程的正確性和有效性。

最后基于柔度方程分析了設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t、w和φ對所設(shè)計(jì)的柔性鉸鏈平面柔度的影響規(guī)律。研究表明，柔度因子隨著設(shè)計(jì)參數(shù)e和p的增大而增大，隨著設(shè)計(jì)參數(shù)φ、t和w的增大而減??；在設(shè)計(jì)參數(shù)e、p、t和w相同的情況下，圓錐倒角V型柔性鉸鏈的柔度大于傳統(tǒng)的圓錐曲線型柔性鉸鏈的柔度。