廣東省中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 鄧啟龍

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題是近幾年高考的熱點(diǎn),也是高考復(fù)習(xí)中的重點(diǎn)和難點(diǎn).類似地,函數(shù)也存在拐點(diǎn)偏移,處理極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題,有一些成熟有效的方法,比如構(gòu)造對稱函數(shù)、利用對數(shù)平均不等式等.文[1]通過對函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)進(jìn)行探究,得到了處理函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的一種新方法.眾所周知,函數(shù)的拐點(diǎn)也是導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn),那么函數(shù)的拐點(diǎn)偏移和導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)偏移之間有什么聯(lián)系呢? 本文通過探究,得到了函數(shù)的拐點(diǎn)偏移和導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)偏移之間的關(guān)系.

1 極值點(diǎn)偏移

已知函數(shù)y=f(x)在(a,b)上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x0.

定義1若對任意滿足f(x1) =f(x2), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＜則函數(shù)f(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0左偏;

定義2若對任意滿足f(x1) =f(x2), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＞則函數(shù)f(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0右偏.

2 拐點(diǎn)偏移

已知函數(shù)y=f(x)在(a,b)上連續(xù),且在(a,b)內(nèi)只有一個拐點(diǎn)x0.

定義3若對任意滿足f(x1) +f(x2) = 2f(x0), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＜則函數(shù)f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0左偏;

定義4若對任意滿足f(x1) +f(x2) = 2f(x0), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2,都有x0＞則函數(shù)f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏.

3 深入探究

已知函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增且只有一個拐點(diǎn)x0,當(dāng)x ∈(a,x0)時,f′′(x)＜0,當(dāng)x ∈(x0,b)時,f′′(x)＞0,即函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)先上凸后下凸.函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)x0也是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn),于是f′(x)在(a,b)上先遞減后遞增,且只有一個極值點(diǎn)x0.若f′(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0右偏,從直觀圖象上看,f′(x)的函數(shù)圖象在x0右邊部分比左邊部分更陡峭, 即f′(x) 在(x0,b) 上比在(a,x0) 上變化快.因為f′(x)是f(x)函數(shù)圖象上點(diǎn)的切線斜率,所以f(x)函數(shù)圖象上點(diǎn)的切線斜率的變化速度越來越快,函數(shù)圖象在x0右邊部分比左邊部分更陡峭,于是f(x)拐點(diǎn)x0右偏.若f′(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0左偏,同理可推出f(x)拐點(diǎn)x0左偏.

但是以上推導(dǎo)不能代替證明,筆者經(jīng)過深入探究,得到以下定理并嚴(yán)格證明.

定理1已知函數(shù)f(x) 在(a,b) 上單調(diào)遞增且只有一個拐點(diǎn)x0, 當(dāng)x ∈(a,x0)時,f′′(x)＜0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時,f′′(x)＞0.若f′(x) 在(a,b) 上極值點(diǎn)x0右偏(左偏), 則f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏(左偏).

證 明設(shè)g(x) =f(x) +f(2x0?x), 則g′(x) =f′(x)?f′(2x0?x).

若f′(x) 在(a,b) 上極值點(diǎn)x0右偏, 則對任意滿足f′(x1) =f′(x2), 且a ＜ x1＜ x2＜ b的x1,x2, 都有x0＞即2x0?x1＞x2＞x0.由f′(x)在(x0,b)上單調(diào)遞增得f′(2x0?x1)＞ f′(x2) =f′(x1), 于 是f′(x1)?f′(2x0?x1)＜0.所以當(dāng)x ∈(a,x0)時,g′(x)＜0,g(x) 在(a,x0) 上單調(diào)遞減.同理可得g(x) 在(x0,b) 上單調(diào)遞增.于是當(dāng)x ∈(a,b) 且x /=x0時,g(x)＞g(x0), 即f(x)+f(2x0?x)＞2f(x0).

對任意滿足f(x1) +f(x2) = 2f(x0), 且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2, 有f(x1)+f(2x0?x1)＞2f(x0), 于是f(2x0?x1)＞2f(x0)?f(x1) =f(x2).因為f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,所以2x0?x1＞x2,即x0＞則函數(shù)f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏.

若f′(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0左偏, 同理可得f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0左偏.

定理1 給出了在(a,b)內(nèi)先上凸后下凸的單調(diào)遞增函數(shù)f(x)的拐點(diǎn)偏移情況的判定方法,若單調(diào)遞增(減)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)先下凸(上凸)后上凸(下凸),類似地,有以下定理(證明略):

定理2已知函數(shù)f(x) 在(a,b) 上單調(diào)遞增且只有一個拐點(diǎn)x0, 當(dāng)x ∈(a,x0)時,f′′(x)＞0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時,f′′(x)＜0.若f′(x) 在(a,b) 上極值點(diǎn)x0右偏(左偏), 則f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0左偏(右偏).

定理3已知函數(shù)f(x) 在(a,b) 上單調(diào)遞減且只有一個拐點(diǎn)x0, 當(dāng)x ∈(a,x0)時,f′′(x)＞0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時,f′′(x)＜0.若f′(x) 在(a,b) 上極值點(diǎn)x0右偏(左偏), 則f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏(左偏).

定理4已知函數(shù)f(x) 在(a,b) 上單調(diào)遞減且只有一個拐點(diǎn)x0, 當(dāng)x ∈(a,x0)時,f′′(x)＜0, 當(dāng)x ∈(x0,b)時,f′′(x)＞0.若f′(x) 在(a,b) 上極值點(diǎn)x0右偏(左偏), 則f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0左偏(右偏).

文[1]通過對函數(shù)極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)進(jìn)行探究,得到了判定函數(shù)極值點(diǎn)偏移的非常有效的方法.由于函數(shù)的拐點(diǎn)偏移和導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)偏移存在以上關(guān)系,于是可以得到判定函數(shù)拐點(diǎn)偏移的以下定理:

定理5已知函數(shù)f(x) 在(a,b) 上單調(diào)遞增且只有一個拐點(diǎn)x0, 在(a,x0) 和(x0,b) 上f′′(x) 異號.若任意x ∈(a,b),f(4)(x)＞0(＜0)恒成立,則f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏(左偏).

證明1.若當(dāng)x ∈(a,x0)時,f′′(x)＜0,當(dāng)x ∈(x0,b)時,f′′(x)＞0, 則f′(x) 在(a,b) 內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x0, 當(dāng)x ∈(a,x0)時,(f′(x))′ ＜0,當(dāng)x ∈(x0,b)時,(f′(x))′ ＞0.由文[1]的定理1 得若任意x ∈(a,b),f(4)(x)＞0(＜0)恒成立,則f′(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0右偏(左偏).由本文的定理1 得f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏(左偏).

2.若當(dāng)x ∈(a,x0) 時,f′′(x)＞0, 當(dāng)x ∈(x0,b) 時,f′′(x)＜0, 則f′(x) 在(a,b) 內(nèi)只有一個極值點(diǎn)x0, 當(dāng)x ∈(a,x0)時,(f′(x))′ ＞0,當(dāng)x ∈(x0,b)時,(f′(x))′ ＜0.由文[1]的定理2 得若任意x ∈(a,b),f(4)(x)＞0(＜0)恒成立,則f′(x)在(a,b)上極值點(diǎn)x0左偏(右偏).由本文的定理2 得f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0右偏(左偏).

定理5 表明,對于單調(diào)遞增函數(shù),無論是先上凸后下凸還是先下凸后上凸,若f(4)(x)恒正(負(fù)),則拐點(diǎn)x0右偏(左偏).對于單調(diào)遞減函數(shù),類似地,有以下定理(證明略):

定理6已知函數(shù)f(x) 在(a,b) 上單調(diào)遞減且只有一個拐點(diǎn)x0, 在(a,x0) 和(x0,b) 上f′′(x) 異號.若任意x ∈(a,b),f(4)(x)＞0(＜0)恒成立,則f(x)在(a,b)上拐點(diǎn)x0左偏(右偏).

4 典型例題

下面給出幾個典型的函數(shù)拐點(diǎn)偏移問題,并結(jié)合本文的定理加以分析.

例1已知函數(shù)f(x) = ex ?若x1/=x2, 且f(x1)+f(x2)=2,證明:x1+x2＜0.

證明易得f′(x) = ex ?x ＞0 對任意x ∈R 恒成立,所以f(x)在R 上單調(diào)遞增.由f′′(x) = ex ?1 得f(x)在R 上只有一個拐點(diǎn)0, 且f′′(x) 在(?∞,0) 和(0,+∞)上異號.因為f′′′(x) = ex,f(4)(x) = ex, 所以任意x ∈R,f(4)(x)＞0 恒成立.由定理5 得f(x)在R 上拐點(diǎn)右偏,又f(x1)+f(x2)=2f(0),于是0＞得x1+x2＜0.

例2已知函數(shù)f(x) =x2+2 lnx+x,0＜x1＜x2且f(x1)+f(x2)=4.證明:x1+x2＞2.

證明易得f′(x)=2x++1＞0 對任意x ＞0 恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.由f′′(x)=得f(x)在(0,+∞)上只有一個拐點(diǎn)1,且f′′(x)在(0,1)和(1,+∞)上異號.因為f′′′(x) =所以任意x ＞0,f(4)(x)＜0 恒成立.由定理5 得f(x)在(0,+∞)上拐點(diǎn)左偏,又f(x1)+f(x2) = 2f(1),于是1＜得x1+x2＞2.

例3已知函數(shù)f(x) =x+?x2, 0＜x1＜x2且f(x1)+f(x2)=2.證明:x1+x2＞2.

證明易得

對任意x ＞0 恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.由f′′(x) =?2 得f(x)在(0,+∞)上只有一個拐點(diǎn)1,且f′′(x)在(0,1)和(1,+∞)上異號.因為

所以任意x ＞0,f(4)(x)＞0 恒成立.由定理6 得f(x)在(0,+∞) 上拐點(diǎn)左偏, 又f(x1) +f(x2) = 2f(1), 于是得x1+x2＞2.

例4已知函數(shù)f(x) =x2lnx ?0＜x1＜x2＜e且f(x1)+f(x2)=?3.證明:x1+x2＜2.

證明易得f′(x) = 2xlnx ?2x= 2x(lnx ?1)＜0 對任意x ∈(0,e)恒成立, 所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞減.由f′′(x) = 2 lnx得f(x)在(0,e)上只有一個拐點(diǎn)1,且f′′(x)在(0,1)和(1,e)上異號.因為f′′′(x) =所以任意x ∈(0,e),f(4)(x)＜0 恒成立.由定理6 得f(x) 在(0,e) 上拐點(diǎn)右偏, 又f(x1) +f(x2) = 2f(1), 于是1＞得x1+x2＜2.

函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題是考查導(dǎo)數(shù)的常見的題型,本文通過探究函數(shù)拐點(diǎn)偏移和導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)偏移的內(nèi)在聯(lián)系,得到了判定函數(shù)拐點(diǎn)偏移的非常有效的方法.