陳章位，祖洪飛，洪偉，毛晨濤

(1.杭州億恒科技有限公司，浙江 杭州310000；2.浙江理工大學 機械工程與自動控制學院，浙江 杭州310000；3.上海市醫(yī)療器械檢測所，上海200000；4.浙江大學 流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室，浙江 杭州310000)

0 引言

工業(yè)機器人的末端位姿精度是衡量其工作性能的重要指標[1],目前,測試機器人末端位姿精度的主要手段有激光跟蹤儀[2]、多相機視覺[3]、拉線傳感器[4]等。其中激光跟蹤儀因具有測量精度高、測量范圍大等優(yōu)點,在機器人性能測試系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。

激光跟蹤儀的測量原理是:在機器人的末端安裝可以原路反射激光的靶球,激光跟蹤儀向靶球發(fā)射激光并檢測靶球原路反射的激光,通過測量球坐標系的兩個角度量和一個距離量,即可實現(xiàn)三維空間坐標的測量[5]。兩個角度量由角度編碼器測量,距離量通過激光干涉法測量[6]。其中,角度測量誤差對激光跟蹤儀整體三維坐標的定位精度影響較大[7]。由于單個激光跟蹤儀只能測量點位坐標,很難用于姿態(tài)測量,目前一般采用在機器人末端安裝三個靶球進行分時測量的方法得到姿態(tài)信息[8]。Muralikrishnan[9]指出,激光跟蹤儀的測量誤差主要來源于軸的非正交性和非相交性、旋轉(zhuǎn)軸偏心、靶球的安裝誤差等幾何誤差或光學誤差[10]。采用多個激光跟蹤儀進行多基站測量可以減小單激光跟蹤儀測量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差,提升系統(tǒng)的測量精度[11-12]?；谝曈X相機原理的測量系統(tǒng)使用高速像機對被測對象的運動進行捕捉,依據(jù)投影定理對捕獲的多目圖像進行處理,利用共線方程擬合得到被測靶標的笛卡爾坐標,該方法具有快速、非接觸測量等優(yōu)點[13]。Zhang[14]等人通過雙目相機系統(tǒng)測量固定在機器人末端的QR碼,對比雙目圖像來擬合并估計末端位姿。拉線傳感器則通過鋼絲繩伸縮的位移信號來確定機器人末端與地面固定點間的距離,但只能獲取末端的一維信號,精度相對較低,并且鋼絲繩存在磨損現(xiàn)象。成世良[4]給出了使用拉線傳感器對機器人運動學校準的方法,并對拉線傳感器的測量誤差進行了分析。

在GB/T 12642《工業(yè)機器人性能規(guī)范及其試驗方法》[15]中詳細描述了工業(yè)機器人位姿精度定義以及不同測試方案。基于激光跟蹤儀的測試系統(tǒng)相比多相機視覺、拉線傳感等系統(tǒng)具有測量精度高、測量范圍大的優(yōu)點。此外,基于多基站激光跟蹤儀系統(tǒng)進行測量,可以減小單激光跟蹤儀測量的系統(tǒng)誤差和隨機誤差,提升系統(tǒng)的測量精度,且該方法根據(jù)機器人末端的多個測量點位置合成位姿信息進行位姿精度測試,大幅提升了測試效率。

本文針對機器人末端位姿精度測試的需求,提出基于多基站激光跟蹤儀的測量方法,采用三靶球測量方案,通過非線性最小二乘法求解轉(zhuǎn)站參數(shù),并融合多基站測量數(shù)據(jù)實現(xiàn)機器人末端位姿精度測試。

1 轉(zhuǎn)站原理和轉(zhuǎn)站參數(shù)辨識

激光跟蹤儀轉(zhuǎn)站是指利用多臺激光跟蹤儀同時測量時,將不同激光跟蹤儀對應(yīng)的不同測量坐標系下的測量數(shù)據(jù)進行統(tǒng)一的過程。

多個激光跟蹤儀同時測量時,選擇其中一個激光跟蹤儀為主站,其它激光跟蹤儀為子站。主站的測量坐標系不進行坐標變換,子站的測量坐標系經(jīng)過坐標變換與主站坐標系統(tǒng)一。

如圖1所示,采用3個激光跟蹤儀A,B,C同時測量,設(shè)某位型下工具中心點為TCP,多基站為公共測量點pi(i=1,2,…,n)。令激光跟蹤儀A為主站,不失一般性,分析主站A與子站B的轉(zhuǎn)站關(guān)系。設(shè)公共點pi在主站A的測量坐標系下的齊次坐標為pA i=[xAiyAizAi1]T,在子站B的測量坐標系下為pB i=[xBiyBizBi1]T,則轉(zhuǎn)站公式為

圖1 多基站轉(zhuǎn)站示意圖

式中:TAB為主站A到子站B的坐標轉(zhuǎn)換矩陣;X,Y,Z為從主站坐標系到子站坐標系的平移變換坐標量;ψ,θ,φ為主站坐標系和子站坐標系旋轉(zhuǎn)變換角度量,分別對應(yīng)于ZYX歐拉角繞X軸,Y軸,Z軸方向轉(zhuǎn)動量。

當激光跟蹤儀數(shù)量大于兩個時,需要利用式(1)和式(2)進行轉(zhuǎn)站(將所有的子站坐標參數(shù)轉(zhuǎn)換到主站測量坐標系下),從而使所有基站的測量坐標系統(tǒng)一。實現(xiàn)轉(zhuǎn)站測量的前提是辨識式(2)中旋轉(zhuǎn)平移變換矩陣中包含的6個未知參數(shù),即ψ,θ,φ,X,Y,Z。這6個參數(shù)可以通過以下方法辨識:選擇所有跟蹤儀公共測量工作空間中的任意多個測量點(推薦為7個);對于每一個測量點,均可根據(jù)式(1)寫出3個等式方程;代入不同激光跟蹤儀的測量數(shù)據(jù),最后得到包含6個未知數(shù)的非線性等式方程組(如果是7個測量點,則對應(yīng)21個方程);該方程組的方程個數(shù)大于未知量個數(shù),采用LM法求其非線性最小二乘解[16]。

2 坐標系對齊

圖2 是單激光跟蹤儀測試系統(tǒng)中機器人基坐標系、工具坐標系{n}、測量坐標系{m}的示意圖。激光跟蹤儀測量的點位數(shù)據(jù)是靶球的中心點(TCP)坐標,而靶球中心點在末端法蘭盤的坐標未知,需要在機器人不同位型下通過激光跟蹤儀的測量結(jié)果對TCP坐標進行標定得到。此外,由于激光跟蹤儀的測量結(jié)果是在其測量坐標系下的,需要先將其與基坐標系對齊,再進行位姿精度評價。

圖2 單激光跟蹤儀測試系統(tǒng)示意圖

2.1 TCP坐標計算

如圖3所示,設(shè)工具中心點TCP(靶球)在末端法蘭盤坐標系下的齊次坐標為機器人在不同位型下的TCP坐標是固定不變的,可通過測量多組位型求解。

圖3 TCP坐標示意圖

圖4 是機器人在位型i和位型j下的工具坐標系,所對應(yīng)的靶球中心點分別為Pi和Pj。

圖4 TCP坐標計算方案

Pi和Pj的坐標既可以在機器人基坐標系下描述,也可以在激光跟蹤儀的測量坐標系下描述,但無論在哪種固定坐標系下,Pi和Pj之間的距離為定值。在測量坐標系下,Pi和Pj的距離計算公式為

Pi和Pj在基坐標系下的名義距離為

若機器人各個位型的基坐標系-工具坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣Tb(i)n已知,式(4)可進一步表示為TCP工具坐標的形式,由約束條件可得

式中:f(a,α,d,β,θi)為MDH模型參數(shù)a,α,d,β,θi到基坐標系-工具坐標系轉(zhuǎn)換矩陣的非線性映射。

2.2 測量坐標系與基坐標系轉(zhuǎn)換

對于測量坐標系與基坐標系轉(zhuǎn)換的標定,選取20個位型進行末端靶球的位置測量,則任意一個位型下的靶球中心點i在測量坐標系的坐標可以表示為

3 多基站位姿精度測試及數(shù)據(jù)處理

機器人末端位姿精度的多基站測試方案如圖5所示,機器人末端法蘭盤上安裝三個靶球A,B,C(實物如圖3所示),這三個靶球的坐標由三個激光跟蹤儀分別測量。每個激光跟蹤儀的TCP坐標和測量坐標系-基坐標系轉(zhuǎn)換均采用第2節(jié)的方法標定,同時,由于三個靶球的測量在不同的測量坐標系下進行,通過第1節(jié)的轉(zhuǎn)站方法將兩個子站的測量坐標均表示在主站的測量坐標系下。

圖5 多基站位姿精度測試方案

在第i個位型下,三個靶球中心點在各自測量坐標系下的坐標分別為將B,C子站的測量點位根據(jù)式(1)轉(zhuǎn)換至主站A上表示,將在主站坐標系下表示的三個靶球點位置信息進行融合,可表示為

在第i個位型下,利用三個靶球點位置信息可以合成機器人末端的姿態(tài),可將姿態(tài)描述為3×3矩陣Qi,即

式中:oi,ei均 為3×1的 列 向 量。ai=ei×ai。其中,{·}3×1表示取該列向量的前3項組成的3×1列向量。3×1矩陣表示的姿態(tài)Qi也可以轉(zhuǎn)化為歐拉角的表示方法[18],即

式中:Qi(j,k)為Qi矩陣的第j行第k列的元素。γai,γbi,γci為單位為rad的歐拉角。

4 多基站測試精度的標準器實驗分析

為了驗證多基站相對單基站對位置測試精度的提升作用,本課題組在浙江省計量科學研究院的直線導軌標準器上(如圖6所示)進行了實驗。直線導軌標準器將三臺激光干涉儀的測量結(jié)果進行融合作為基準,其測量不確定度為1μm。通過如圖7所示的校準過程,直線導軌標準器將量值傳遞給多基站測試系統(tǒng)和單基站測試系統(tǒng)。將所有的激光跟蹤儀通過I/O通訊口與主從控制單元連接,并將所有的采樣頻率設(shè)置一致,保證硬件同步。開始測試時,同步觸發(fā)所有的激光跟蹤儀,采集的位置數(shù)據(jù)中同時包含時間戳信息,可用于后續(xù)的分析與對齊,保證軟件上的同步。在直線導軌的滑塊上安裝三個靶球,采用三個激光跟蹤儀同時測量,得到三個基站下的靶球位置坐標,根據(jù)式(8)計算多基站測量的靶球位置。

圖6 直線導軌標準器實驗裝置

圖7 多基站測試的直線導軌標準器實驗裝置

使用直線導軌標準器分別對三基站測試系統(tǒng)和單基站測試系統(tǒng)進行校準。圖8給出了三基站和單基站測試的定位精度校準結(jié)果對比。其中黑色和藍色分別代表多基站和單基站的測試結(jié)果,單基站測試結(jié)果直接采用了主站的測量數(shù)據(jù)。

由圖8可知,多基站測試的最大定位誤差為0.008 mm,而單基站測試的最大定位誤差為0.013 mm。相對于單基站測試,多基站測試的定位誤差降低了38.5%。同時,采用三基站測試方案的定點重復誤差為±0.0048 mm,而單基站的定點重復誤差為±0.0083 mm,三基站測試的定點重復誤差降低了42.2%。

圖8 多基站與單基站測試的定位精度對比

使用直線導軌標準器分別對三基站測試系統(tǒng)和單基站測試系統(tǒng)的動態(tài)重復精度進行校準。直線導軌標準器重復運行一段軌跡10次,基于三基站測試系統(tǒng)和單基站測試系統(tǒng)分別測量計算軌跡起始點與終止點的距離。動態(tài)重復精度對比如表1所示。

表1 動態(tài)重復精度(距離精度)對比 mm

由表1可知,對應(yīng)3段400,300,200 mm的不同距離校準試驗中,多基站測試的距離誤差均比單基站測試的距離誤差小,動態(tài)重復誤差相對單基站測試降低了60%?？偨Y(jié)以上基于直線導軌標準器的校準結(jié)果可知,多基站的測試方案相對于單基站測試方案,可以明顯提升定點定位精度和重復精度,以及動態(tài)重復精度。

多基站測試方案還可以實現(xiàn)動態(tài)姿態(tài)測試,而單基站測試無法實現(xiàn)姿態(tài)測試。使用圖9所示的轉(zhuǎn)臺標準器(不確定度0.001°)對多基站測試系統(tǒng)進行校準。

圖9 多基站測試的轉(zhuǎn)臺標準器實驗裝置

在轉(zhuǎn)臺標準器的末端法蘭平面上固定三個不共線的靶球,三臺激光跟蹤儀分別測量對應(yīng)的靶球點坐標,獲取轉(zhuǎn)臺末端的位姿測量信息。通過式(10)～(12),計算得到轉(zhuǎn)臺位姿的歐拉角測量值。比對標準器的歐拉角數(shù)值,得到三個角度測試誤差如圖10所示,多基站激光跟蹤儀系統(tǒng)的姿態(tài)角度測試誤差不高于0.013°。

圖10 多基站測試的轉(zhuǎn)臺實驗姿態(tài)(角度)精度

5 機器人末端位姿精度測試

依據(jù)GB/T 12642《工業(yè)機器人性能規(guī)范及其試驗方法》[15],采用三基站測試方案對圖11所示型號為IRB14000的工業(yè)機器人末端位姿精度進行測試。在機器人末端法蘭盤上安裝有三個靶球,當這三個靶球不共線時能夠準確地反映機器人末端的位姿信息,如圖12所示。

圖11 工業(yè)機器人的多基站測試實驗系統(tǒng)

圖12 測試靶球的空間分布情況

測試系統(tǒng)的姿態(tài)測試精度與三個靶球的相對距離有關(guān),距離越大,則相應(yīng)的姿態(tài)測試精度越高,但有可能會造成測試不便,碰撞到其他物體。因此,綜合以上因素考慮,三個靶球之間的相對距離約為5 cm。

任意選取5個點位測試其位姿精度,測試結(jié)果見表2。

由表2可知,5個點位中,最大定位誤差為0.325 mm,最大姿態(tài)角度誤差為0.072°。

表2 位姿精度測量結(jié)果

為了進一步測試機器人末端的軌跡精度,全機器人末端分別進行直線軌跡和圓軌跡運動。指令直線軌跡與實測軌跡上的采樣點位姿三維圖如圖13所示。

圖13 指令直線軌跡和實測軌跡圖

直線軌跡運行過程中各個采樣點與指令軌跡的定位誤差和姿態(tài)誤差,如圖14,15所示。其中,t從0到1表示軌跡從開始到結(jié)束?？梢钥闯?該直線軌跡的最大定位誤差為0.587 mm,最大角度誤差為0.165°。

圖16 是指令圓軌跡和實測軌跡上的采樣點位姿三維圖如圖16所示,圖17和圖18分別為圓軌跡運行過程中各個采樣點與指令軌跡的定位誤差和姿態(tài)誤差。

由圖17,18可知該圓軌跡的最大定位誤差為0.582 mm,最大的角度誤差為0.203°。

圖14 直線軌跡的定位誤差

圖15 直線軌跡的姿態(tài)(角度)誤差

圖16 指令圓軌跡和實測軌跡圖

圖17 圓軌跡的定位誤差

圖18 圓軌跡的姿態(tài)(角度)誤差

6 結(jié)論

文章提出了基于多基站激光跟蹤儀的機器人位姿精度測試方法,通過在直線導軌和轉(zhuǎn)臺標準器上對三基站激光跟蹤儀測量系統(tǒng)進行精度驗證,證明了相對單基站測試,三基站測試的定位誤差降低了38.5%,定點重復誤差降低了42.2%;三基站能夠完成單基站所不能實現(xiàn)的姿態(tài)測試功能,且姿態(tài)角度誤差不高于0.013°。此外,根據(jù)工業(yè)機器人位姿精度的測試需求,通過非線性最小二乘法實現(xiàn)了TCP坐標、基坐標系-測量坐標系的對齊,采用三基站測試方法對型號為IRB14000的工業(yè)機器人的點位、軌跡的位姿精度進行測試和評價。本文的研究將對機器人位姿精度測試技術(shù)發(fā)展起到推動作用,為促進國產(chǎn)機器人技術(shù)發(fā)展提供支撐。