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      剛體一般運(yùn)動(dòng)的描述

      2021-04-27 07:51:52邵瀚雍
      大學(xué)物理 2021年5期
      關(guān)鍵詞:歐拉角剛體歐拉

      邵瀚雍

      (北京師范大學(xué) 物理學(xué)系,北京 100875)

      一般運(yùn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)中最復(fù)雜的問題,因此國內(nèi)的理論力學(xué)教材大多對此介紹較少. 且由于剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)難度大,課時(shí)少,故多數(shù)同學(xué)跳過了剛體一般運(yùn)動(dòng)的內(nèi)容,但這恰是將剛體運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化成代數(shù)知識的極佳機(jī)會(huì),不得不說是一種遺憾.

      事實(shí)上,剛體的一般運(yùn)動(dòng)總能分解成基點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和繞過該點(diǎn)某軸線的定軸轉(zhuǎn)動(dòng),國外教材對此用代數(shù)語言給出了證明,但也沒有就代數(shù)理論和剛體運(yùn)動(dòng)的關(guān)聯(lián)進(jìn)行深入的探討.

      本文從正交矩陣講起,力圖用清晰簡明的語言,論證使用矩陣描述剛體運(yùn)動(dòng)的合理性和優(yōu)越性,并借用代數(shù)思想,將剛體運(yùn)動(dòng)和線性代數(shù)的知識聯(lián)系起來,希望能對理論力學(xué)的相關(guān)教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)起到一定的補(bǔ)充和幫助作用.

      1 參考系

      實(shí)驗(yàn)室參考系,即觀者所在的慣性參考系;本體參考系,即固連在剛體上,并與之共同運(yùn)動(dòng)的參考系,一般是非慣性系.

      固連在兩種參考系上的坐標(biāo)系各有利弊. 在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中,基矢對時(shí)間的微商為零,便于建立動(dòng)力學(xué)方程,但許多力學(xué)量在該系中較復(fù)雜并不斷變動(dòng);在本體坐標(biāo)系中,這些力學(xué)量雖然直觀簡單,恒定不變,但其坐標(biāo)軸的基矢處在變動(dòng)之中.

      在研究剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的問題時(shí),我們需要尋找這兩種系之間的關(guān)聯(lián),恰當(dāng)使用它們描述剛體的運(yùn)動(dòng)[1].

      2 剛體的一般運(yùn)動(dòng)

      剛體在空間不受約束自由運(yùn)動(dòng)時(shí),其自由度s=6. 一般選定廣義坐標(biāo)(xc,yc,zc,φ,θ,ψ)描述剛體的狀態(tài),其中xc、yc、zc為剛體質(zhì)心在實(shí)驗(yàn)室系中的笛卡爾坐標(biāo),φ、θ、ψ為剛體的本體系和實(shí)驗(yàn)室系坐標(biāo)變換對應(yīng)的歐拉角.

      剛體一般運(yùn)動(dòng)有4類特殊情況:平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)、平面平行運(yùn)動(dòng)、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng). 雖然它們形式各異,但可以證明如下兩點(diǎn)[2]:

      1) 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)總可以等效于繞過該定點(diǎn)某一軸線的定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

      2) 剛體一般運(yùn)動(dòng)總可以分解為某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和繞過該點(diǎn)某軸線的旋轉(zhuǎn).

      換言之,總可以將復(fù)雜的一般運(yùn)動(dòng),分解成過一點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(或由多個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成)與該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).

      第1點(diǎn)所談到的內(nèi)容,正是剛體運(yùn)動(dòng)歐拉定理. 該定理指出,對于基點(diǎn)固定的剛體,其運(yùn)動(dòng)可以分解為繞某個(gè)或多個(gè)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng). 根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)定理,我們可以將之推廣,即第2點(diǎn),沙勒定理. 該定理指出,剛體的最廣義位移等價(jià)于一個(gè)平移和一次旋轉(zhuǎn). 它們是本文的重點(diǎn),在證明前,需要先通過代數(shù)的語言,合理描述剛體的運(yùn)動(dòng),以便于后續(xù)的證明.

      3 正交矩陣

      在線性代數(shù)理論中,正交矩陣A被定義為行向量、列向量皆正交且值為1的方陣[3],即滿足如下的性質(zhì)(E為單位陣):

      ATA=AAT=E

      (1)

      矩陣乘法等價(jià)于一次線性變換,換句話說,在數(shù)學(xué)里這種特殊的變換(正交變換)可以保持空間中任意兩點(diǎn)的歐式距離不變. 這意味著若將某向量v乘上正交矩陣A,得到的新向量長度不變,且空間的原點(diǎn)不變. 我們通常將這種變換稱為歐拉變換[4].

      此外,由于正交矩陣滿足:

      ATA=A-1A=E

      (2)

      正交變換一定存在逆變換,而且該逆變換很容易寫出:A-1=AT. 正交矩陣的這些特殊性質(zhì)在描述剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)展現(xiàn)出極大的優(yōu)越性,因此,我們常用它描述剛體運(yùn)動(dòng).

      4 剛體運(yùn)動(dòng)的代數(shù)表達(dá)[2]

      從物理上講,根據(jù)沙勒定理,剛體的運(yùn)動(dòng)可以分為兩種:定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng). 也就是第2節(jié)中提到的6個(gè)廣義坐標(biāo). 而上一節(jié)中提到的正交變換——?dú)W氏距離不變的線性變換,恰好可以準(zhǔn)確反映剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng). 換言之,剛體的定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程可以由一次歐拉變換來描述. 容易得知,這種變換對應(yīng)的正交矩陣R應(yīng)是一個(gè)含時(shí)矩陣,即R(t).

      僅僅描述旋轉(zhuǎn)過程是不夠的,還需要描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng). 易知,描述該運(yùn)動(dòng)只需在旋轉(zhuǎn)后添上一個(gè)簡單的平移矢量p即可.

      從數(shù)學(xué)上講,剛體的運(yùn)動(dòng),可以反過來看作是坐標(biāo)軸的運(yùn)動(dòng). 因此,假設(shè)兩組正交基分別為[e1,e2,e3] 和 [e′1,e′2,e′3]. 在這兩組基下,某向量v在這兩組基下的值分別為[a1,a2,a3]T和[a′1,a′2,a′3]T.

      因此有

      (3)

      于是,得到

      (4)

      已知a=[a1,a2,a3]T,a′=[a′1,a′2,a′3]T且定義如下:

      (5)

      則可以將上式寫為

      a=Ra′

      (6)

      稱R是旋轉(zhuǎn)矩陣. 可以看到,R矩陣是由兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基相乘而來,在線性代數(shù)中可以很容易證明,這樣得到的矩陣R是正交矩陣,或者反過來說,任何正交矩陣都可以拆分為兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣乘積.

      因此,旋轉(zhuǎn)矩陣R恰好是正交矩陣,而正交矩陣對應(yīng)的變換也恰好是兩組基之間的旋轉(zhuǎn)變換,也就是實(shí)驗(yàn)室系和本體系的歐拉變換;并且,任意實(shí)正交矩陣都能看作為一個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣. 值得一提的是,旋轉(zhuǎn)矩陣的集合稱之為特殊正交群:

      SO(n)={R∈n×n|RRT=E,detR=1}

      這個(gè)正交群可以描述n維空間的旋轉(zhuǎn)變換,在此只考慮n=3的情況.

      再考慮定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),可以將剛體的運(yùn)動(dòng)在數(shù)學(xué)上表示為

      a′=RTa+p

      (7)

      數(shù)學(xué)的正交矩陣(變換),對應(yīng)著歐式空間中距離不變的線性變換,而物理的旋轉(zhuǎn)矩陣(旋轉(zhuǎn)),對應(yīng)著剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的任意兩點(diǎn)保持相對距離不變的屬性. 這樣,在本節(jié)和上一節(jié)中已經(jīng)論證了剛體運(yùn)動(dòng)的代數(shù)表達(dá),這種代數(shù)的表達(dá)方式是相當(dāng)合適且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?

      5 旋轉(zhuǎn)變換的本征問題

      剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定理指出,對于基點(diǎn)固定的剛體,其一般運(yùn)動(dòng)都可以分解為繞某個(gè)或多個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng).

      根據(jù)定理,假設(shè)轉(zhuǎn)軸對應(yīng)的空間列向量為p,由于轉(zhuǎn)軸并不會(huì)因?yàn)閯傮w轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生任何變化(剛體本身就在繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)),因此,當(dāng)發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時(shí),p應(yīng)當(dāng)保持不變. 這對應(yīng)著數(shù)學(xué)中的不變子空間理論. 請看定理[4]:

      設(shè)φ是線性空間V上的線性映射(變換),而總能找到V的子空間U,使得

      φ(U)?U

      即子空間U的任意元素p在線性映射φ的像Imφ中依然是p本身,稱U為φ的不變子空間.易得,φ總有兩種特殊的不變子空間U,分別是零子空間和全空間V,并稱之為平凡子空間.

      可以發(fā)現(xiàn),在三維旋轉(zhuǎn)映射R下,有一個(gè)我們最關(guān)注的非平凡不變子空間,這個(gè)子空間恰好就是轉(zhuǎn)軸所處直線對應(yīng)的子空間.

      上述內(nèi)容也可以在拓?fù)淅碚撝欣斫獬捎成涞牟粍?dòng)點(diǎn)原理(Brouwer’s Fixed-point Theorem).

      (8)

      因此,由Rp=1p,得知p為旋轉(zhuǎn)變換φ的本征函數(shù),λ為變換φ的本征值,這恰好就是線性代數(shù)中熟知的矩陣特征值問題:

      Ap=λp

      (9)

      所以若要證明歐拉定理,可以將定理的證明等價(jià)于證明旋轉(zhuǎn)矩陣R的特征值組中必然有一特征值λ1=1.

      本征值與本征函數(shù)對刻畫線性系統(tǒng)的普遍性質(zhì)和演化規(guī)律有著重要意義. 它是所有線性體系中最根本的特點(diǎn). 如果能得到線性體系對應(yīng)的本征值與本征函數(shù),就可以通過線性組合的方法描述或解釋這一體系更為普遍的規(guī)律.

      6 歐拉運(yùn)動(dòng)定理的證明和推論

      歐拉運(yùn)動(dòng)定理的論證過程在H.Goldstein所著的Classical Mechanics[6]和Beatty M.F. 所著的Principles of Engineering Mechanics: Kinematics中都有著詳細(xì)的描述. 兩本書巧妙利用矩陣和線性代數(shù)理論證明了歐拉定理,而我們的證明過程也借鑒了其中的思想.

      設(shè)旋轉(zhuǎn)矩陣為R,歐拉定理中所描述的軸線為p,則有:Rp=p.

      根據(jù)上一節(jié)中內(nèi)容,若需要證明旋轉(zhuǎn)過程中存在始終不變的軸線p,則等價(jià)于證明矩陣R具有特征值λ1=+1.

      容易證明旋轉(zhuǎn)矩陣R為正交矩陣,所以由RTR=RRT=E,可得:

      (R-E)RT=E-RT

      (10)

      |R-E||RT|=|E-RT|

      (11)

      設(shè)旋轉(zhuǎn)前后兩組正交基的基點(diǎn)重合于剛體的定點(diǎn),且初始基為標(biāo)準(zhǔn)正交基. 則可以得出初始旋轉(zhuǎn)矩陣為三階單位陣E.因此,根據(jù)矩陣乘法,后續(xù)的旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式的值|R|和|RT|仍為+1.

      由式(11)可得

      |R-E|=|E-RT|=|E-RT|T=|E-R|

      (12)

      因此,有

      |R-E|=|E-R|=|-1(R-E)|

      (13)

      |-1(R-E)|=(-1)n|R-E|

      (14)

      其中n為矩陣維數(shù),也是空間維數(shù). 所以得到

      |R-E|=(-1)n|R-E|

      (15)

      剛體所處為三維空間,n=3,所以

      |R-E|=-|R-E|=0

      (16)

      最終得出|R-E|=0,即矩陣R至少有一個(gè)特征值λ1=+1,歐拉運(yùn)動(dòng)定理得證.

      需要多談兩個(gè)問題:

      其一[1],如果剛體所處空間不為奇數(shù)維度,而是偶數(shù)維度,則得不到|R-E|=0的結(jié)論,也就是說歐拉運(yùn)動(dòng)定理在二維、四維等偶數(shù)維空間失效. 所以,平面內(nèi)不存在歐拉定理,因?yàn)楫?dāng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),任何位于平面內(nèi)的矢量均會(huì)發(fā)生改變,唯有沿轉(zhuǎn)軸方向的矢量不發(fā)生改變,但此時(shí)它與平面垂直,并不在平面內(nèi).

      這是一個(gè)相當(dāng)有意思的推論,這意味著我們所處的三維空間并不是隨便確定的.

      其二,是旋轉(zhuǎn)矩陣R是否還存在別的特征值?答案是肯定的. 利用矩陣的久期方程:

      |R-λE|=0

      (17)

      可以發(fā)現(xiàn),這是一個(gè)關(guān)于λ的三次方程. 高斯的代數(shù)基本定理指出,該一元三次方程在復(fù)數(shù)域中必然存在三個(gè)根. 在文獻(xiàn)[7]中,我們可以根據(jù)矩陣的跡tr(R)求得另外兩個(gè)特征值分別為

      λ2,3=e±iΩ

      (18)

      也就是說,旋轉(zhuǎn)矩陣的另外兩個(gè)復(fù)特征值的輻角,恰好為歐拉定理中繞固定軸線p的旋轉(zhuǎn)角Ω.

      這里給出兩個(gè)特殊情況:

      1)λ1,2,3=+1:此時(shí)Ω=0,意味著剛體保持了初始時(shí)刻的狀態(tài),為平凡解.

      2)λ1=+1;λ2,3=-1:此時(shí)Ω=π,意味著剛體繞軸轉(zhuǎn)過了180°,剛體任意兩點(diǎn)之間的矢量p′都做了關(guān)于p的空間坐標(biāo)反演操作.

      而沙勒定理是歐拉定理的一個(gè)直接推論. 該定理的證明如下.

      剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為剛體中某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)并疊加上剛體對該點(diǎn)的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng). 而根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)定理,后一運(yùn)動(dòng)可以認(rèn)為是繞過該點(diǎn)的某一軸線的轉(zhuǎn)動(dòng). 因此,剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為某點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和繞過該點(diǎn)某軸線的旋轉(zhuǎn). 沙勒定理得證.

      至此,我們完成了剛體一般運(yùn)動(dòng)中沙勒定理的證明,論證了剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可以分解為某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

      矩陣語言雖然簡練,但不能直觀反映物理實(shí)質(zhì). 這里需要尋找一種物理的描述辦法刻畫剛體的運(yùn)動(dòng),這就是所謂的歐拉角,也是前面所述的3個(gè)廣義坐標(biāo)φ、θ、ψ.

      7 歐拉角

      在天體和力學(xué)領(lǐng)域里,為了完備、清晰地刻畫剛體運(yùn)動(dòng),分別用了章動(dòng)角θ、進(jìn)動(dòng)角φ和自轉(zhuǎn)角ψ來描述.這些稱呼來自陀螺的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng),如圖1所示.

      圖1 陀螺定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)示意圖

      為了便于描述歐拉角的具體意義,可將剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)通過坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn),依次分成3個(gè)步驟,如圖2—圖4,這里在每個(gè)步驟后面都寫上了對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣R. 每一次的旋轉(zhuǎn)并不是任意的,它們都可以在圖1的陀螺運(yùn)動(dòng)中找到對應(yīng),轉(zhuǎn)動(dòng)順序是進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)、自轉(zhuǎn),如下所示.

      1) 繞Oz0軸進(jìn)動(dòng)φ:圖2(a)→(b)

      圖2 進(jìn)動(dòng)示意圖

      從Ox0y0z0到Ox′y′z′的旋轉(zhuǎn)矩陣為

      (19)

      2) 繞Ox′軸(節(jié)線ON)章動(dòng)θ:圖3(a)→(b)

      圖3 章動(dòng)示意圖

      從Ox′y′z′到Ox″y″z″的旋轉(zhuǎn)矩陣為

      (20)

      3) 繞Oz″軸自轉(zhuǎn)ψ:圖4(a)→(b)

      圖4 自動(dòng)示意圖

      從Ox″y″z″到Oxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣為

      (21)

      經(jīng)過上面的三次旋轉(zhuǎn)變換,可以得到描述剛體的任意旋轉(zhuǎn)的總變換矩陣:

      R*=RψRθRφ

      (22)

      由前面的結(jié)論可知,所有的變換矩陣都是正交矩陣,均由變換前后的兩組基底相乘而來(此處為一組基的轉(zhuǎn)置和另一組基之間的矩陣乘法).

      (23)

      將不同的角速度對應(yīng)的基矢利用旋轉(zhuǎn)矩陣得到的函數(shù)關(guān)系展開化簡,可以得到如下的結(jié)論:

      ω在實(shí)驗(yàn)室系的坐標(biāo)軸投影為

      (24)

      ω在本體系的坐標(biāo)軸投影為

      (25)

      這樣,我們得到了剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)中繞某一軸線旋轉(zhuǎn)的角速度ω的實(shí)際物理意義,即可以把這一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)對應(yīng)的轉(zhuǎn)角Ω分解到3個(gè)有意義的歐拉角(也就是φ、θ、ψ)上去.

      不過,需要強(qiáng)調(diào)的是,在導(dǎo)出歐拉角的時(shí)候,所經(jīng)歷的三次連續(xù)旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)軸的選取順序其實(shí)存在著隨意性. 只要每次選定的旋轉(zhuǎn)軸不與上一次相同,便可以任意選取. 因此,在右手系中我們有3×2×2=12種不同的旋轉(zhuǎn)方法,這稱為歐拉角的順規(guī).

      大多數(shù)的理論力學(xué)教材所采用的是x順規(guī),即第二次旋轉(zhuǎn)繞x軸(前文中的節(jié)線ON),而多數(shù)的量子物理、核物理的教材所采用的是y順規(guī),即第二次旋轉(zhuǎn)繞y軸.

      在工程中,為了彌補(bǔ)前兩種順規(guī)在變換前后的坐標(biāo)系區(qū)分程度低的缺點(diǎn),常采用第三種常見順規(guī):xyz順規(guī)[2],這樣得到的3個(gè)角就分別是飛機(jī)的偏航角(Yaw)、俯仰角(Pitch)和滾動(dòng)角(Roll).

      8 總結(jié)

      在本文中,我們介紹了正交矩陣在描述剛體運(yùn)動(dòng)的優(yōu)越性,并將之應(yīng)用到剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中,隨后利用旋轉(zhuǎn)矩陣證明了剛體運(yùn)動(dòng)的沙勒定理,這意味著復(fù)雜的剛體一般運(yùn)動(dòng)可以由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來描述. 之后,我們從物理給出了剛體定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圖像,并用歐拉角來描述這樣的運(yùn)動(dòng). 剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)在數(shù)學(xué)上和物理上都全部得以描述.

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