羅 玲 蹇繼貴 鄭 勝

(三峽大學(xué) 理學(xué)院,湖北 宜昌 443002)

雙向聯(lián)想記憶(BAM)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由B.Kosko在1987年首次提出,該網(wǎng)絡(luò)近年來在聯(lián)想記憶、機(jī)器人控制、信號(hào)處理等方面有著重要應(yīng)用.眾所周知,慣性項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的分岔和混沌.在傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中加入慣性項(xiàng)得到的二階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引起了學(xué)者們的研究興趣,并取得了許多有趣的結(jié)果[1-4].

憶阻器與生物突觸在外界刺激下的電導(dǎo)變化驚人地相似,它是記錄和更新突觸權(quán)重的理想材料,因此憶阻器可以模擬神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的電突觸.近年來,將神經(jīng)元的激活結(jié)構(gòu)與記憶連接權(quán)重相結(jié)合的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)掀起了一股研究熱潮.由于外界突然的干擾和環(huán)境的變化,實(shí)際系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不斷變化,信息鎖定現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生.具有信息鎖定的網(wǎng)絡(luò)可能具有有限的模式,并且模式可以在不同的時(shí)間從一種模式跳轉(zhuǎn)到另一種模式.Markov鏈驅(qū)動(dòng)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)已被證明適合于模擬由大量突發(fā)隨機(jī)變化引起的系統(tǒng).因此,具有這種跳躍特性的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以由一種與Markov鏈相一致的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化而來,稱為Markovian憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).目前,已存在較多關(guān)于Markovian憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)性能的研究[5-7].然而,當(dāng)前對(duì)于Markovian憶阻二階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究較少.

在實(shí)際應(yīng)用中,由于網(wǎng)絡(luò)擁塞、丟包、丟失測量數(shù)據(jù)等原因,我們往往難以獲取所有神經(jīng)元的狀態(tài)信息.然而,狀態(tài)信息往往需要被了解才能達(dá)到一定的實(shí)際性能.因此,利用已有的網(wǎng)絡(luò)輸出測量值來估計(jì)神經(jīng)元的狀態(tài)具有重要意義.事實(shí)上,由于設(shè)備老化、模數(shù)轉(zhuǎn)換或舍入誤差等原因,當(dāng)狀態(tài)估計(jì)器以數(shù)字方式實(shí)現(xiàn)時(shí),實(shí)現(xiàn)誤差往往是不可避免的.因此,為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,設(shè)計(jì)的估計(jì)器應(yīng)允許一定的非脆弱性,使估計(jì)器參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí),系統(tǒng)能夠滿足給定的性能指標(biāo).當(dāng)前,已經(jīng)有了一些關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非脆弱狀態(tài)估計(jì)的研究結(jié)果[8-11],但幾乎沒有關(guān)于Markovian憶阻二階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱指數(shù)狀態(tài)估計(jì)的研究報(bào)告.基于上述考慮,本文研究時(shí)變時(shí)滯Markovian憶阻二階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱指數(shù)狀態(tài)估計(jì)問題,并通過求解LMI,得出估計(jì)器的顯式表達(dá)式.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 模型描述

本文中,Rn表示n維歐氏空間,Rn×m表示n×m維實(shí)矩陣的集合,上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置,*表示塊在矩陣中的轉(zhuǎn)置,λmax(W)和λmin(W)分別表示矩陣W的最大特征值和最小特征值.W＞0表示W(wǎng)是對(duì)稱正定矩陣,I表示單位陣,C([-∞,0],Rn)表示連續(xù)函數(shù)集.Z={1,2,…,n},Z~={1,2,…,m}.

令{a(t),t≥0}是定義在(Ω,F,P)上取值于有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}右連續(xù)的 Markov過程[6],其轉(zhuǎn)移概率為:

本文探討如下Markovain憶阻二階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

其中神經(jīng)元狀態(tài)向量

系數(shù)矩陣A?,C?,B?,D?為正定對(duì)角陣,時(shí)滯?(t)和θ(t)對(duì)于常數(shù)τ1,τ2,e1,e2滿足

激活函數(shù)

外部輸入u(t)∈Rn,v(t)∈Rm,

其中

切換跳躍值λq＞0,權(quán)重是常數(shù).令

介紹如下符號(hào):

其中i=1,2;j=3,4;Z=E,R;J=F,K;ζp∈Rn,ξp∈Rm,ζp與ξp的第p個(gè)元素為1,其余元素為0,(t)Γi(t)≤I,i=1,2,3,4.

類似文獻(xiàn)[10]中的分析,系統(tǒng)(1)可改寫為:

假設(shè)1:對(duì)于任意的x,y∈R(x≠y),有常數(shù)存在,使得下式成立:

系統(tǒng)(2)的測量輸出為:

其中:χκ(t)∈Rn,χμ(t)∈Rm為測量輸出,是已知的常矩陣,非線性擾動(dòng)σ1:R×Rm→Rm,σ2:R×Rn→Rn滿足下列不等式:

注1:與文獻(xiàn)[10]中存在兩個(gè)自由權(quán)重矩陣的測量輸出不同,本文在測量輸出(4)中引入了4個(gè)自由權(quán)重矩陣文獻(xiàn)[9-11]中的測量輸出為本文測量輸出的特殊形式,因此本文的測量輸出更具一般性.

系統(tǒng)(2)的估計(jì)器為:

系統(tǒng)(5)的測量輸出為:

其中κ(t)的估計(jì)值的估計(jì)值Rm.估計(jì)增益

隨機(jī)變量ε1(t),ε2(t)∈R是在(0,1)區(qū)間取值的伯努利分布序列,描述控制器增益波動(dòng)隨機(jī)發(fā)生的可能性,Pr{ε1(t)=1}=ε1,Pr{ε1(t)=0}=1-ε1,Pr{ε2(t)=1}=ε2,Pr{ε2(t)=0}=1-ε2,ε1,ε2∈[0,1]為已知常數(shù).為實(shí)對(duì)角矩陣為增益波動(dòng),形式如下:

注2:當(dāng)ε1=0,ε2=0,系統(tǒng)(6)為(2)的普通狀態(tài)估計(jì)器.

注3:本文考慮了與增益矩陣相關(guān)的增益波動(dòng),其發(fā)生概率服從伯努利分布.文獻(xiàn)[11]將增益波動(dòng)發(fā)生的概率取為1.因此,本文的研究結(jié)果更具有現(xiàn)實(shí)意義和通用性.

可得到誤差系統(tǒng)為:

系統(tǒng)(9)的初始值為:

定義如下符號(hào):

1.2 基本定義和引理

定義1[3]若存在正數(shù)ω＞1,e＞1使得下式成立:

則稱系統(tǒng)(6)為系統(tǒng)(2)的指數(shù)狀態(tài)估計(jì)器.

引理1[12]對(duì)實(shí)矩陣Ξ(t),N,M,有ΞT(t)Ξ(t)＜I成立,則對(duì)任意的υ＞0,下式成立:

2 主要結(jié)果

定理基于假設(shè)1和假設(shè)2,若存在數(shù)β1＞0,β2＞0,矩陣對(duì)角矩陣Xi＞0,(i=1,2,3,4),矩陣使得下式成立:

Ω中其余元素全為0.那么系統(tǒng)(6)是系統(tǒng)(2)的指數(shù)狀態(tài)估計(jì)器,其增益矩陣是

證明:構(gòu)造如下Lyapunov泛函:

計(jì)算V(t)沿著(7)的隨機(jī)導(dǎo)數(shù),有:

根據(jù)假設(shè)2,可得:

由假設(shè)1,對(duì)于對(duì)角矩陣Xi＞0,(i=1,2,3,4),有:

由式(4)可得到:

將式(16)和式(17)代入式(14),并將其與式(13),(15),(18)～(23)整合可得:

對(duì)式(8)進(jìn)行Schur補(bǔ)運(yùn)算,結(jié)合引理1,有:

因此,LV(t)＜0,V(t)＜V(0).

所以可得到:

由定義1可知系統(tǒng)(6)是(2)的指數(shù)狀態(tài)估計(jì)器.

注4:已存在關(guān)于一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8,11]和分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9,10]的非脆弱狀態(tài)估計(jì)問題的研究,但是還沒有關(guān)于時(shí)變時(shí)滯Markovian憶阻二階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱指數(shù)狀態(tài)估計(jì)問題的相關(guān)研究.因此,本文的研究結(jié)果是新的.

注5:文獻(xiàn)[4]通過變量替換將慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換成普通一階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)研究了其狀態(tài)估計(jì)問題,本文直接研究了BAM二階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱指數(shù)狀態(tài)估計(jì)問題,且本文系統(tǒng)中考慮了Markovian跳躍參數(shù),因此本文的研究豐富了已有研究結(jié)果.

3 數(shù)值仿真

考慮系統(tǒng)(1)具有兩個(gè)模態(tài),參數(shù)如下:

由假設(shè)1可知:

由式(5)得:^Z1=0.4,^Z2=0.6,取

由假設(shè)2經(jīng)過簡單計(jì)算可得:

求解LMI(8)可得:

因此,由定理可知,系統(tǒng)(6)是(2)的指數(shù)狀態(tài)估計(jì)器.

圖1描述狀態(tài)κ1(t),μ1(t)與其估計(jì)值的軌跡,圖2描述狀態(tài)κ2(t),μ2(t)與其估計(jì)值的軌跡,圖3描述估計(jì)誤差漸近收斂到0,圖4描述Markov鏈.

圖1 神經(jīng)元狀態(tài)κ1(t),μ1(t)與其估計(jì)值軌跡

圖2 神經(jīng)元狀態(tài)κ2(t),μ2(t)與其估計(jì)值軌跡

圖3 估計(jì)誤差

圖4 Markov鏈

4 結(jié) 論

基于Lyapunov泛函方法,不等式技巧以及Barbalat引理,本文研究了Markovian憶阻二階BAM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱指數(shù)狀態(tài)估計(jì)問題,給出了證明估計(jì)器存在的充分條件.通過引入測量函數(shù),將目標(biāo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為不確定系統(tǒng),避免了大量的計(jì)算負(fù)擔(dān).最后給出了仿真結(jié)果證明了所設(shè)計(jì)的估計(jì)器的可行性.筆者后續(xù)將研究二階BAM四值神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非脆弱同步問題.